杜 明，趙燕飛，范書(shū)瑞，賈穎淼，吳佳飛

(1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，石家莊 050081；2.天津市海河管理中心，天津 300231；3.河北工業(yè)大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津 300401)

多旋翼飛行器又稱無(wú)人機(jī)，其構(gòu)造簡(jiǎn)單緊湊、行動(dòng)十分靈巧、運(yùn)動(dòng)格外穩(wěn)定[1]，在軍事領(lǐng)域與民用領(lǐng)域均展露出很大的應(yīng)用價(jià)值，四旋翼機(jī)已廣泛應(yīng)用于航空攝影、遙感測(cè)量、實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)、軍事偵察、農(nóng)藥噴灑等行業(yè)[2-4]。但是其同樣擁有續(xù)航時(shí)間短、載重量低等問(wèn)題，在配送東西過(guò)程中難免會(huì)遇到懸掛的東西掉落的問(wèn)題，造成無(wú)人機(jī)的不平衡，如何讓無(wú)人機(jī)在懸掛質(zhì)量突然增加或者減少的情況下能夠快速恢復(fù)平衡是一大難點(diǎn)。

如今，隨著無(wú)人機(jī)的研究逐漸深入，中外的諸多科研機(jī)構(gòu)和大學(xué)都對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)進(jìn)行了很深入的研究。目前相關(guān)專家提出了很多四旋翼無(wú)人機(jī)的控制方法，其中最經(jīng)典的就是比例積分微分(proportion integration differentiation，PID)控制[5]。PID控制有著原理簡(jiǎn)單、控制技術(shù)成熟、易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)。Ji等[6]提出了傾斜四旋翼機(jī)的新概念，獨(dú)立控制無(wú)人機(jī)的旋轉(zhuǎn)與平移，建立了一個(gè)完整的動(dòng)力學(xué)模型，其中考慮了參數(shù)不確定性和外部干擾，提出了一種自適應(yīng)快速有限時(shí)間控制方法，最后通過(guò)對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了控制器的有效性和魯棒性。Zhang等[7]提出了一種預(yù)測(cè)滑膜控制方法，并將其應(yīng)用于飛行器的運(yùn)動(dòng)控制中。實(shí)現(xiàn)了在干擾環(huán)境下的跨域過(guò)渡，最后通過(guò)與PID控制器的對(duì)比仿真，驗(yàn)證了控制方案的可行性與魯棒性。Cervantes-Rojas等[8]開(kāi)發(fā)了一種自適應(yīng)控制器來(lái)解決四旋翼機(jī)的軌跡跟蹤問(wèn)題，提出了利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊推理系統(tǒng)進(jìn)行交互作用的模式。在室外環(huán)境進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，證明了基于動(dòng)態(tài)域名服務(wù)(dynamic domain name server，DNNs)和高木-關(guān)野(Takagi-Sugeno，T-S)技術(shù)相結(jié)合的算法相對(duì)于經(jīng)典的控制器具有更好的性能。南京航空航天大學(xué)從1958年開(kāi)始才進(jìn)行無(wú)人機(jī)方面的研究。王源等[9]提出直接坐標(biāo)法控制無(wú)人機(jī)的飛行軌跡，實(shí)現(xiàn)四旋翼無(wú)人機(jī)自主導(dǎo)航控制，有效地保證系統(tǒng)穩(wěn)定性和響應(yīng)的快速性。2015年北京航空航天大學(xué)提出了一套基于自抗擾控制的姿態(tài)解算法[10]，該算法很好地解決了無(wú)人機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)耦合性高和建模產(chǎn)生的狀態(tài)誤差問(wèn)題，所設(shè)計(jì)的自抗擾控制系統(tǒng)在快速響應(yīng)、無(wú)超調(diào)的前提下，具有很強(qiáng)的抗干擾能力以及較高的控制效率。2018年，王春陽(yáng)等[11]提出了一種基于線性自抗擾的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案，可以很好地克服無(wú)人機(jī)的強(qiáng)耦合性、模型不確定性以及外部干擾問(wèn)題，滿足無(wú)人機(jī)姿態(tài)調(diào)節(jié)快速和高穩(wěn)定度的控制要求。

在充分了解無(wú)人機(jī)的結(jié)果和飛行原理的前提下，現(xiàn)利用最簡(jiǎn)單也最經(jīng)典的PID控制，調(diào)整PID參數(shù)，使無(wú)人機(jī)在懸掛質(zhì)量突然改變的情況下快速恢復(fù)平衡，持續(xù)穩(wěn)定飛行，在Simulink上搭建系統(tǒng)模型，得到仿真結(jié)果，證明飛行器可以得到穩(wěn)定有效的控制，提高飛行器的性能。

1 數(shù)學(xué)模型建立

1.1 坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

四旋翼無(wú)人機(jī)在空間飛行時(shí)，為了方便地描述無(wú)人機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)方程，建立了四旋翼飛行器的機(jī)體坐標(biāo)系，它的坐標(biāo)原點(diǎn)是飛行器的中心，xy水平面即是4個(gè)旋翼所在的水平面，z軸垂直于xy水平面。此種坐標(biāo)系建立在飛行器本身上最為方便,可以用B表示。地面坐標(biāo)系是建立在假設(shè)地面為水平面的基礎(chǔ)上，一般用E表示。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：θ、ψ、φ為歐拉角，用來(lái)描述E系到B系轉(zhuǎn)換需要的角度；θ為俯仰角，表示無(wú)人機(jī)與水平面之間形成的夾角；ψ為偏航角，表示無(wú)人機(jī)在地面的投影和地軸之間的夾角；φ為滾轉(zhuǎn)角，表示無(wú)人機(jī)繞中心對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)過(guò)的角度。

1.2 動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型

無(wú)人機(jī)的數(shù)學(xué)模型可以分為線性運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型和角運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，線性運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型可以根據(jù)經(jīng)典力學(xué)的理論來(lái)描述。由于無(wú)人機(jī)各項(xiàng)參數(shù)十分復(fù)雜，在最后對(duì)控制效果影響較小的前提下，做以下假設(shè)。

(1)將四旋翼飛行器視為剛體，在飛行器的聚合中心有著均勻的紋理和質(zhì)量中心分布。

(2)忽略飛行器的四個(gè)旋翼與其相應(yīng)電機(jī)之間的摩擦以及四旋翼飛行器中的空氣摩擦。

(3)由于四旋翼飛行器的飛行高度不是很高，因此受到地球重力的影響也非常小，所以認(rèn)為它受到的重力在飛行過(guò)程中受到的重力不變，即重力加速度不會(huì)改變。

(4)假設(shè)由旋翼旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的升力垂直于相應(yīng)的旋翼，則該升力的大小與旋翼的轉(zhuǎn)速的平方呈線性關(guān)系。

四旋翼飛行器飛行過(guò)程中飛行過(guò)程中主要受到3個(gè)力的影響，這3個(gè)力是旋翼產(chǎn)生的拉力，飛行過(guò)程中的阻力和來(lái)自地面的重力[12]?？傻盟男盹w行器在地面坐標(biāo)系中的受力表達(dá)式[式(6)]，四旋翼飛行器的線性運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型表達(dá)式[式(7)]。

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：L為電機(jī)軸中心到無(wú)人機(jī)質(zhì)心之間的距離；Jr為旋翼的轉(zhuǎn)動(dòng)變量；c為空氣阻力系數(shù)；p、r、q為機(jī)體沿三軸方向的角速度分量；d為反扭矩系數(shù)，且Ω=Ω1+Ω2-Ω3-Ω4。

因?yàn)樗男盹w行器的結(jié)構(gòu)對(duì)稱，所以機(jī)體整體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以用式(10)表示，即

(11)

式(11)中：I為剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)變量；Ixx、Iyy、Izz為3個(gè)方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

將式(10)與式(11)綜合便可以得到四旋翼飛行器在機(jī)體坐標(biāo)系中的角運(yùn)動(dòng)表達(dá)式，如式(12)所示。

(12)

2 PID控制方法

2.1 PID結(jié)構(gòu)

姿態(tài)控制算法主要是采用串級(jí)PID控制[13]，這種控制系統(tǒng)不僅原理簡(jiǎn)單、魯棒性強(qiáng)，而且通用性高。四旋翼飛行器運(yùn)動(dòng)過(guò)程中需要控制的量包括3個(gè)位置量：x、y、z和3個(gè)姿態(tài)控制量：θ、φ、ψ。單個(gè)閉環(huán)PID控制器[14]很容易減慢系統(tǒng)處理速度。由于姿態(tài)角的變化與位置坐標(biāo)的變化之間存在因果關(guān)系，因此控制系統(tǒng)采用順序控制進(jìn)行雙重設(shè)計(jì)閉環(huán)PID控制。內(nèi)環(huán)是用于調(diào)整無(wú)人機(jī)姿態(tài)角變化的姿態(tài)控制環(huán)，外環(huán)是用于控制無(wú)人機(jī)位置坐標(biāo)變化的位置控制環(huán)。這種串級(jí)控制方法往往都會(huì)取得不錯(cuò)的效果。

PID的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，PID的輸入信號(hào)為e(t)，輸出信號(hào)為u(t)。它主要可以分為比例、微分和積分三部分，比例是PID控制器的基礎(chǔ)部分，一切都是圍繞比例部分作用的。積分部分是為了消除因比例部分帶來(lái)的穩(wěn)態(tài)誤差，而微分部分則是抑制積分帶來(lái)的超調(diào)作用。這三部分的不同組合將會(huì)帶來(lái)不同的作用，因此調(diào)整3個(gè)控制系數(shù)對(duì)于PID控制來(lái)說(shuō)十分重要。

圖1 PID結(jié)構(gòu)

e(t)=i(t)-r(t)

(13)

(14)

式中：i(t)為PID輸入的信號(hào)；r(t)為系統(tǒng)實(shí)際輸出的信號(hào)；Kp為比例系數(shù)；Ti為積分時(shí)間常數(shù)；Td為微分時(shí)間常數(shù)。

參數(shù)整定是PID控制器的核心，也是其最難的部分，直接在控制系統(tǒng)中通過(guò)不斷的試驗(yàn)去調(diào)整參數(shù)，這種方式簡(jiǎn)單不需要很復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，并且調(diào)試成功后更加貼近實(shí)際應(yīng)用，但缺點(diǎn)就是太過(guò)耗費(fèi)時(shí)間并且對(duì)試驗(yàn)人員的經(jīng)驗(yàn)要求很高。實(shí)驗(yàn)調(diào)整PID的參數(shù)步驟如下。

(1)合理確定一個(gè)采樣周期，確保系統(tǒng)能夠穩(wěn)定運(yùn)行。

(2)調(diào)整系數(shù)的大小直到系統(tǒng)將要出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，與此同時(shí)，仔細(xì)觀察記錄比例系數(shù)和臨界振蕩周期。

(3)利用數(shù)學(xué)公式解算出PID控制器參數(shù)。

2.2 數(shù)字模型的簡(jiǎn)化

為了方便四旋翼飛行器的控制器設(shè)計(jì)，需要考慮到實(shí)際情況增加約束條件，進(jìn)而使數(shù)學(xué)模型在合理的范圍內(nèi)得到最大程度的簡(jiǎn)化。當(dāng)小型四旋翼飛行器在室內(nèi)慢速飛行時(shí)，由于沒(méi)有風(fēng)力的干擾，且轉(zhuǎn)動(dòng)速度十分緩慢，所以能夠添加以下約束條件。

(1)忽略空氣阻力因素帶來(lái)的干擾，即把空氣阻力矩和空氣阻力的大小看作0。

(2)因?yàn)閷?shí)驗(yàn)用的是小型四旋翼飛行器，其4個(gè)螺旋槳無(wú)論是質(zhì)量還是尺寸都十分小，因此忽略陀螺效應(yīng)力矩，即Jr為0。

為了方便描述，令

(15)

當(dāng)在無(wú)風(fēng)條件下或者是只對(duì)無(wú)人機(jī)產(chǎn)生小角度干擾的環(huán)境下，低速穩(wěn)定飛行或到達(dá)懸停狀態(tài)時(shí)進(jìn)行無(wú)人機(jī)實(shí)驗(yàn)，由于無(wú)人機(jī)的飛行姿態(tài)角度變化很小，所以空氣阻力因素和陀螺效應(yīng)都可以暫時(shí)忽略，故可以在上面的基礎(chǔ)上進(jìn)一步簡(jiǎn)化無(wú)人機(jī)的數(shù)學(xué)模型，從而達(dá)到如式(16)、式(17)所示的最簡(jiǎn)模型。

(16)

(17)

2.2 外環(huán)位置控制算法

位置控制環(huán)可通過(guò)PID計(jì)算獲得運(yùn)動(dòng)方向上的3個(gè)預(yù)期加速度，例如預(yù)期位移與實(shí)際位移之間的差，各方向的計(jì)算公式為

(18)

式(18)中：kPi、kIi、kDi(i=x,y,z)分別為比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)；xd、yd、zd為3個(gè)方向上的預(yù)期位移；x、y、z為實(shí)際位移。

圖2 位置控制流程圖

由式(19)可得U1，再輸入期望偏航角得出期望的滾轉(zhuǎn)角和期望的俯仰角為

U1=

(19)

(20)

式(20)中：下角標(biāo)e表示該物理量的期望值。

2.4 內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制算法

在內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制也是串級(jí)結(jié)構(gòu)，首先將外環(huán)送來(lái)的期望姿態(tài)和實(shí)際反饋回來(lái)的值輸入給角度控制器，角速度控制器根據(jù)期望角速度與實(shí)際角速度算出U2、U3和U4的值，最后將其變換為電機(jī)的期望拉力解算出各旋翼的期望轉(zhuǎn)速公式為

(22)

式中：kPi、kIi、kDi(i=2,3,4)分別為比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)。

圖3 姿態(tài)控制流程圖

期望角速度的計(jì)算公式為

(23)

白煞留下和鐵衛(wèi)連夜清理黑旗會(huì)分壇，因?yàn)榕c黑旗會(huì)博弈須要充裕的銀子作基礎(chǔ)，所以蕭飛羽臨走時(shí)吩咐將所有值錢的東西帶去安和莊，余下的事情交給樊虎帶領(lǐng)的伙計(jì)。白煞和鐵衛(wèi)搜索發(fā)現(xiàn)天問(wèn)大師和紫陽(yáng)道長(zhǎng)要找的少林俗家弟子之首的白云飛竟然囚禁在地牢里。

經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)，最終得到這些PID控制系數(shù)如表1所示。

表1 PID參數(shù)

2.5 Simulink仿真結(jié)果分析

利用上述求出來(lái)的PID參數(shù)進(jìn)行模型的構(gòu)建，在Simulink中進(jìn)行仿真，得到的外環(huán)位置仿真結(jié)果如圖4所示，其中黑色曲線為x軸的期望位置與實(shí)際位置，紅色曲線為y軸的期望位置與實(shí)際位置，綠色曲線是z軸的期望位置與實(shí)際位置。

圖4 位置仿真結(jié)果

仿真模型中預(yù)期坐標(biāo)為x=10，y=3、6、8，z=1、-3、-6、-4、-2，由仿真曲線可知，x點(diǎn)在4 s內(nèi)實(shí)現(xiàn)了無(wú)人機(jī)從初始坐標(biāo)到預(yù)期坐標(biāo)的平滑過(guò)渡，穩(wěn)態(tài)誤差在±4范圍內(nèi)；y點(diǎn)在1 s內(nèi)實(shí)現(xiàn)無(wú)人機(jī)從原來(lái)坐標(biāo)到預(yù)期坐標(biāo)的平滑過(guò)渡，穩(wěn)態(tài)誤差在±1范圍內(nèi)，超調(diào)量較小，很快進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)；z點(diǎn)在1.4 s后趨于平穩(wěn)，高度波動(dòng)較大，但響應(yīng)速度快。整體來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)可以取得較好的控制效果，使系統(tǒng)迅速穩(wěn)定下來(lái)。

在Simulink中進(jìn)行仿真得到姿態(tài)控制效果，其中俯仰角、滾轉(zhuǎn)角、航偏角的變化分別如圖5所示。

圖5 俯仰角、滾轉(zhuǎn)角和航偏角曲線圖

圖5(a)和圖5(b)中，俯仰角和滾轉(zhuǎn)角在曲線波動(dòng)后基本穩(wěn)定在期望值零點(diǎn)，其曲線波動(dòng)較大，最大達(dá)到60，最小將近-100，但是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性較好，基本可以在1.5 s內(nèi)近似恢復(fù)期望值0。圖5(c)中，無(wú)人機(jī)偏航角賦值為1,，使無(wú)人機(jī)方向不發(fā)生變化，無(wú)人機(jī)在0.2 s內(nèi)進(jìn)入固定偏航角狀態(tài)，能夠維持穩(wěn)定。由此可以看出系統(tǒng)調(diào)整速度很快，穩(wěn)定性良好，取得了較好的控制效果。

3 滑膜控制器的設(shè)計(jì)

3.1 控制器設(shè)計(jì)

控制器所要達(dá)到的目標(biāo)是使四旋翼無(wú)人機(jī)能夠在一個(gè)固定的高度進(jìn)行相對(duì)懸停，并以指數(shù)趨近律為核心來(lái)設(shè)計(jì)滑膜動(dòng)態(tài)控制器[15]。通過(guò)公式推導(dǎo)將3個(gè)歐拉角θ、ψ、φ解耦，分別對(duì)其進(jìn)行控制以實(shí)現(xiàn)整體飛行控制，以下是推導(dǎo)過(guò)程

通過(guò)反饋線性化，得到的線性系統(tǒng)公式為

(24)

(25)

(26)

(27)

為了方便后續(xù)推導(dǎo)，令

(28)

已知s=Cηi，對(duì)其求一階導(dǎo)數(shù)，可得

(29)

式(29)中：C為常系數(shù)，ε>0,k>0,i=1,2,3；-ks為指數(shù)趨近項(xiàng)；-εsgn(s)為等速趨近項(xiàng)。

將式(24)代入式(29)中，得到式(30)，即

ui=(CiBi)-1(-CiAiηi)+s

(30)

式(30)中：Ci=[15 1],Bi=[0bi]T,ε=10，k=3.5，i=1,2,3，ηi=[1 1]T,利用趨近律對(duì)四旋翼飛行器的高度z實(shí)時(shí)控制和反饋。則狀態(tài)方程為

(31)

式(31)中：f1=[0-g]T，g為重力加速度。

(32)

設(shè)切換函數(shù)為

(33)

由高度誤差變化率可得

(34)

將式(31)和式(33)代入式(29)中，可得式(35)，其中c=30,ε=10,k=3。

(35)

3.2 仿真結(jié)果分析

圖6是高度z的變化曲線，在圖6中可以看到，高度z的曲線在1.5 s內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定，并且沒(méi)有超調(diào)。由此可知設(shè)計(jì)的滑?？刂破骺梢允顾男頍o(wú)人機(jī)在一個(gè)固定的高度進(jìn)行相對(duì)懸停，圖6懸停在5 m處，滑膜控制器可以實(shí)現(xiàn)對(duì)無(wú)人機(jī)的控制。

圖6 高度z的變化曲線

4 結(jié)論

分析了無(wú)人機(jī)的運(yùn)動(dòng)原理，建立了完備的數(shù)學(xué)模型。在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上做了一個(gè)仿真驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)了無(wú)人機(jī)的期望飛行。驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型的正確性。得到的主要結(jié)論如下。

(1)在基本限制條件下進(jìn)行受力分析，進(jìn)一步得到了無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)的線性運(yùn)動(dòng)模型以及角運(yùn)動(dòng)模型，最后根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件再進(jìn)行模型的簡(jiǎn)化，有利于后期的模型計(jì)算。

(2)在Simulink中搭建出仿真模型，經(jīng)過(guò)多次嘗試得到的PID控制系統(tǒng)參數(shù)可以有效地區(qū)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，取得較好的控制效果。

(3)設(shè)計(jì)滑膜控制器，并在Simulink中搭建出相應(yīng)的仿真模型，可以實(shí)現(xiàn)期望的效果，使四旋翼無(wú)人機(jī)能夠在一個(gè)固定的高度進(jìn)行相對(duì)懸停。