姜 陽, 趙勇武, 李晴晴, 張軍星, 蔣 馳, 董 文

(1.空軍預警學院,湖北 武漢430019;2.上海無線電設(shè)備研究所,上海201109)

0 引言

被動雷達導引頭接收目標輻射的電磁信號,并對目標的角度進行估計,估計精度直接影響制導系統(tǒng)性能。隨著被動雷達導引頭技術(shù)的發(fā)展,采用極化天線成為一種趨勢。與圓極化天線相比,線極化天線可以對極化角度進行估計。極化信息可以提高被動雷達導引頭的分辨力、抗干擾能力等性能。本文針對三正交偶極子天線,研究極化互質(zhì)陣列的高精度、低復雜度測角算法。

極化敏感陣列由多個電磁矢量傳感器組成,目前針對極化敏感陣列的算法大部分是基于均勻陣列的,且陣元間距為半波長。陣元間距過近導致互耦效應明顯[1],致使波達方向(direction of arrival,DOA)估計和極化角度估計算法性能急劇下降。并且均勻線陣對陣元間的互相關(guān)信息利用不充分,存在信息冗余。因此,減少互耦效應、提高信息利用率將會明顯提高雷達測向性能。文獻[2-5]提出了將電磁矢量傳感器進行稀疏布陣的方法,將陣元間距設(shè)置為大于半波長,從而減少互耦效應。而包括最小冗余陣[6]和嵌套陣[7]在內(nèi)的稀疏陣列布陣是無規(guī)律的,即當陣元數(shù)較多的時候,無法迅速找出排列方法。將三正交電磁矢量傳感器布陣為互質(zhì)陣列,可使稀疏布陣方式有規(guī)律可循。但由于每個陣元相當于由三個方向的線極化天線組成,使得計算復雜度增加,因此如何降低計算復雜度成為極化敏感陣列測向的一個難點。

為減少計算復雜度,文獻[8]利用正交偶極子天線組成陣列,并結(jié)合四元數(shù)算法將協(xié)方差矩陣維度降低一半,但該算法無法直接應用于三正交偶極子天線。文獻[9-11]提出了基于電磁矢量傳感器的嵌套陣算法,通過增加陣元間距提高估計精度,并利用矢量叉乘的方法去模糊。為了得到更加通用的陣列形式,互質(zhì)陣列被提出。與嵌套陣列原理相同,互質(zhì)陣列是由兩個陣元數(shù)與陣元間距都互質(zhì)的均勻線陣,共用同一個原點排列而成,其中的任意兩個互質(zhì)的陣元間距都是半波長的整數(shù)倍。但由于新生成的虛擬陣列存在孔洞,導致陣元的利用率無法達到最大化。文獻[12]提出了一種基于六維電磁矢量傳感器的差合成方法,利用協(xié)方差矩陣形成虛擬陣列,并使用多重信號分類(multiple signal classification,MUSIC)算法進行DOA估計。該算法計算量較大,并且在小快拍數(shù)情況下性能急劇下降。

針對如何減少互耦效應、在擴展陣列孔徑的同時降低計算復雜度的問題,本文提出了一種基于三正交偶極子互質(zhì)陣列的極化稀疏算法。該算法充分利用了極化陣列接收通道多的優(yōu)勢,在得到虛擬線陣的協(xié)方差矩陣后,將稀疏后的協(xié)方差矩陣進行去噪處理。

1 極化互質(zhì)陣列數(shù)學模型

考慮一個稀疏的線陣,該線陣由兩個均勻線陣組成,如圖1所示。第一條均勻線陣的陣元數(shù)為M,陣元間距為Nd,d=λ/2,λ為入射信號波長;第二條均勻線陣的陣元數(shù)為N,陣元間距為Md,M和N兩個數(shù)互質(zhì)。此時兩個均勻線陣除第一個起始點外,沒有與起始點間距相同的陣元。當兩個均勻線陣共同排列成一條線陣時,形成了一條由M+N-1個陣元組成的稀疏的互質(zhì)線陣。

圖1 兩個均勻線陣結(jié)構(gòu)

假設(shè)M＜N,可以從線陣1和線陣2的位置差中挑選出一條間距為半波長的均勻線陣?；ベ|(zhì)線陣的陣元位置差C m,n和位置差的集合S可以表示為

將數(shù)量較少的子陣變?yōu)?M個,且間距不變,實際的物理陣元變?yōu)?M+N-1個。這時的陣元間距差可以形成一個從-(2M-1)Nd到(2M-1)Nd的虛擬線陣,其中的連續(xù)點可組成從-(MN+M-1)d到(MN+M-1)d的虛擬均勻線陣,這樣就可以估計出MN+M-1個信源,極大地提高了陣元的利用率。以M=3,N=2為例,物理陣元與虛擬陣元如圖2所示。

圖2 虛擬均勻線陣結(jié)構(gòu)

對優(yōu)化后的互質(zhì)陣列進行分析,并假設(shè)每個陣元由三正交偶極子組成,如圖3所示。圖中:p m(m=1,2,…,2M+N-1)是第m個陣元到原點的距離,與互質(zhì)陣列的M、N具體取值有關(guān);θ為俯仰角;φ為方位角。

圖3 三正交偶極子稀疏線陣

假設(shè)有K個遠場窄帶信號入射到極化互質(zhì)陣列上,K個入射信號的俯仰角為 {θ1,θ2,…,θK}。由于是線陣,設(shè)置方位角φ=90°,之后的方位角若不加說明則自動代入。當信號為完全極化電磁波時,陣列的第m(1≤m≤2M+N-1)個陣元接收到的第k個入射信號可表示為

式中:s k(t)為t時刻的第k個信號的復包絡;ρk為第k個信號的幅度;f為信號頻率。三正交偶極子天線可以接收電磁波極化信息,則第k個信號沿坐標軸三個方向的極化敏感向量[e x,k,e y,k,e z,k]T可表示為

式中:γk∈ [0,90°),為極化輔助角;ηk∈[-180°,180°),為極化相位差。將陣列接收模型寫成矩陣形式[8],可表示為

式中:A(θ)為導向矢量;X x(t)、X y(t)、X z(t)分別為陣列接收向量X(t)在x、y、z方向上的分量;E x(θ,γ,η)、E x(θ,γ,η)、E z(θ,γ,η)分別為極化敏感矩陣在x、y、z方向上的分量;S(t)為信號矩陣;N x(t)、N x(t)、N z(t)分別為噪聲矩陣N(t)在x、y、z方向上的分量。將陣列接收向量X(t)分解成x、y、z軸的三個方向的接收信號是為了方便矩陣重構(gòu)。為方便起見,下文中E x(θ,γ,η),E y(θ,γ,η),E z(θ,γ,η)和A(θ)分別寫成E x,Ey,E z和A。

2 矩陣重構(gòu)

由式(6)可知,極化陣列輸出的信號X x(t)、X y(t)、X z(t)中均含有空域?qū)蚴噶緼,而根據(jù)來波方向和極化角度不同,E x、E y、E z將會取不同的值。當γk為極限值時,會導致某一個電偶極子輸出的值很小,甚至為0。例如,當γk=0時,e x,k=e z,k=0,這種值稱為失效值。當不考慮噪聲時,接收信號的協(xié)方差矩陣是3(2M+N-1)×3(2M+N-1)維,其表達式為

式中:E[·]為數(shù)學期望函數(shù)。

對協(xié)方差矩陣R XX進行向量化,可以得到一個9(2M+N-1)2×1維的向量

式中:vec(·)為矩陣向量化運算。這時從9(2M+N-1)2×1維的向量中挑選出2(2M+N-1)+1個元素,形成一個從-(MN+M-1)d到(MN+M-1)d的虛擬均勻線陣。構(gòu)建虛擬均勻線陣將要面臨兩個問題:

a)如何避免因為空間角度和極化角度引起個別電偶極子的輸出很小,甚至為0,產(chǎn)生失效值的問題;

b)由于噪聲的存在,協(xié)方差矩陣是一個估計值,如何利用所有的輸出數(shù)據(jù)減小誤差的問題。

針對第一個問題,重構(gòu)式(7)的協(xié)方差矩陣,得到一個新的(2M+N-1)×(2M+N-1)維協(xié)方差矩陣

由式(9)可知,此時已經(jīng)避免了由于極化信息引起的極小值,甚至零值,從重構(gòu)的協(xié)方差矩陣R'XX中挑選出的虛擬矩陣將不會存在失效值。

針對第二個問題,設(shè)互質(zhì)陣列物理陣元位置ni,nj(1≤i≤2 M,1≤j≤N)的集合為D,此時陣元位置差集合S可表示為

由式(10)可知,陣元位置差的集合S里的元素是對稱的,當m∈S時,-m∈S也成立。因此,下文只討論正半軸的虛擬陣元。設(shè)集合S可組成的虛擬均勻線陣的集合為Z,則Z滿足

得到一個加權(quán)函數(shù)r(m),即協(xié)方差矩陣中相同物理量的平均值,表達式為

式中:card(·)為求集合中元素個數(shù)的函數(shù);M(m)為滿足ni-nj=m的陣元位置(ni,nj)的集合。因此,虛擬的均勻線陣的第m個陣元的輸出可以表示為

3 基于矩陣重構(gòu)的稀疏算法

3.1 前后向空間平滑解相干

通過對極化互質(zhì)陣列的輸出矩陣進行重構(gòu),得到了一個虛擬的標量均勻線陣,其自由度由2M+N-1擴大到了2MN+2M-1。通過式(13)對協(xié)方差矩陣進行篩選,組成虛擬均勻線陣的輸出向量,使原本不相關(guān)的信號變?yōu)橄嚓P(guān),即式(15)中z'的自相關(guān)矩陣是秩為1的秩虧矩陣。利用空間平滑算法,在犧牲一部分自由度的基礎(chǔ)上,恢復z′的自相關(guān)矩陣的秩。前后向空間平滑原理如圖4所示。

圖4中,虛擬的均勻線陣被轉(zhuǎn)化成了P個子陣,每個子陣包含u個陣元。其中,zfp為前向平滑的第p個子陣的接收數(shù)據(jù),可表示為

圖4 前后向空間平滑的子陣劃分

式中:RS=S(t)SH(t),H表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置。

為了將協(xié)方差矩陣恢復成滿秩,需要對各個子陣的協(xié)方差矩陣進行加和平均,即

而后向空間平滑與之類似,不同的是子陣從最后一個往前劃分,并取共軛。其表達式為

單向空間平滑如果想要解相干,至少需要K/2個子陣,才能把協(xié)方差矩陣恢復成滿秩。而前后向空間平滑雖然也會損失陣列孔徑,但比單向空間平滑的損失小。也就是說,當有K個相關(guān)信號入射到陣列時,若每個子陣的陣元數(shù)為K+1個,使用單向平滑的方法共需要2K個陣元,而雙向平滑只需要3K/2個。而當陣元數(shù)N一定時,雙向平滑的方法最多可以分辨出2N/3個相關(guān)信號,而單向平滑的方法只能分辨出N/2個相關(guān)信號。

3.2 極化稀疏DOA估計算法

由于信源的來波方向只占整個空域的一小部分,所以把來波方向在空域中進行展開所得到的信號向量一定是稀疏的。則式(15)的接收數(shù)據(jù)z'的協(xié)方差矩陣可以表示為

若信源數(shù)K滿足

可以對RXX進行特征值分解,表達式為

式中:UXS和UXN分別為入射信號和噪聲對應的特征向量所組成的矩陣;ΛXS是由K個較大特征值所組成的對角矩陣;ΛXN是由3(2M+N-1)-K個小特征值組成的對角矩陣。則當信源數(shù)已知時,噪聲功率

式中:ΛXN(i,i)為ΛXN中位置為(i,i)的元素。

因此,當信源未知時,可以使用特征值中最小的值進行噪聲功率估計,矩陣重構(gòu)后的噪聲功率σ～2=3σ^2。 對式(15)的接收數(shù)據(jù)z'進行去噪處理,表達式為

將式(35)代入式(21)和式(26),得到去噪后的前后向空間平滑后的協(xié)方差矩陣,然后用代替Rz,此時的秩為MN+M。 由于式(31)中,0范數(shù)的求解是一個非線性多項式求解問題,所以引入1范數(shù),把原始的非凸函數(shù)變?yōu)橥购瘮?shù),可以表示為

式中:ξ為正則化參數(shù)。

4 仿真結(jié)果

假設(shè)極化互質(zhì)陣列中兩個子陣的陣元數(shù)分別為M=3和N=5。此時的極化互質(zhì)陣列的物理陣元數(shù)為2M+N-1=10,通道數(shù)為10。輸入信號為12個不相關(guān)的窄帶信號。仿真搜索步長為1°,搜索范圍為-80°～+80°,擬合誤差ξ=4,通過3組仿真實驗,對算法性能進行評估。為消除隨機誤差影響,每項實驗均進行500次蒙特卡羅實驗,用均方根誤差來評價算法的估計精度。

(1)單快拍仿真實驗

單快拍情況下,對本文提出的極化稀疏算法與形成虛擬線陣后直接使用MUSIC的算法(以下稱為I-Co-MUSIC算法)的性能進行仿真對比。設(shè)信噪比為0 d B,快拍數(shù)為1,則當12個信號入射到極化互質(zhì)陣列時,兩種算法經(jīng)過單次實驗所形成的空間譜如圖5所示?？梢钥闯?基于子空間算法的I-Co-MUSIC算法在單快拍情況下已經(jīng)失效,而本文提出的極化稀疏算法在單快拍情形下仍然可以估計出12個信號,證明了極化稀疏算法在單快拍情況下,性能要優(yōu)于I-Co-MUSIC算法。

圖5 兩種算法空間譜對比

(2)不同快拍下仿真實驗

對算法的DOA估計精度隨快拍數(shù)的變化情況進行仿真。設(shè)信噪比為-5 dB,快拍數(shù)由50變化到500,步長為50。此時極化稀疏算法和I-Co-MUSIC算法的俯仰角估計精度隨快拍數(shù)的變化曲線如圖6所示?？芍?在快拍數(shù)小于200時,極化稀疏算法精度更高,當快拍數(shù)大于350時,I-Co-MUSIC算法精度更高。

圖6 不同快拍數(shù)下估計俯仰角的均方值誤差

(3)不同信噪比下仿真實驗

對算法的DOA估計精度隨信噪比的變化情況進行仿真。設(shè)快拍數(shù)為100,信噪比為(-10～0)d B,步長為1 d B,其他仿真條件不變。極化稀疏算法和I-Co-MUSIC算法的估計均方根誤差隨信噪比的變化曲線如圖7所示。可知,信噪比小于-4 dB時,極化稀疏算法俯仰角估計精度略高于I-Co-MUSIC算法,但是當信噪比逐漸增大,I-Co-MUSIC算法估計精度會超過極化稀疏算法。結(jié)合實驗2,可知極化稀疏算法和I-Co-MUSIC算法,都可以完成信源數(shù)多于陣元數(shù)的DOA估計。

圖7 不同信噪比下俯仰角估計的均方根誤差

5 結(jié)論

本文研究了由三正交偶極子構(gòu)成的極化互質(zhì)線陣的DOA估計問題,提出了一種接收數(shù)據(jù)矩陣重構(gòu)的方法。該方法充分利用所有的接收數(shù)據(jù),形成一個虛擬的均勻線陣,其陣元數(shù)大于實際物理陣元數(shù),可以達到擴大陣列空間、提高陣元利用率的目的。形成虛擬線陣后原本不相干的信號變?yōu)橄喔尚盘?使用前后向空間平滑進行解相干,可以降低孔徑損失。該算法利用了空域中信號的稀疏性及三正交偶極子的自身特性對協(xié)方差矩陣進行去噪處理,并使用稀疏算法進行DOA估計。仿真結(jié)果證明,該算法有較好的估計精度。