張和平，朱燦梅

（1.凱里學(xué)院，貴州凱里 556011；2.凱里市第十五中學(xué)，貴州凱里 556011）

疫情防控期間，貴州省推出“陽(yáng)光校園·空中黔課”的線(xiàn)上教學(xué)活動(dòng)，講授“一段函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題”專(zhuān)題課程，深受啟發(fā)，受益匪淺.然而，線(xiàn)上教學(xué)中如何處理知識(shí)、技能與思想的關(guān)系，如何充分揭示數(shù)學(xué)思想、培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)等問(wèn)題，值得思考，也是開(kāi)放式線(xiàn)上教學(xué)大眾督導(dǎo)的益處和進(jìn)步.在此，筆者通過(guò)問(wèn)題變式的討論，以期拋磚引玉.

1 教學(xué)復(fù)述與思考

教學(xué)問(wèn)題：若直線(xiàn)y=-3x+b與雙曲線(xiàn)在1 ≤x≤4 的范圍內(nèi)有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是____________.

授課過(guò)程：如圖1 所示，一次函數(shù)y=-3x+b是一組平行直線(xiàn)，使用代入法求參數(shù)b的取值范圍.依題意，直線(xiàn)y=-3x+b與雙曲線(xiàn)y=在1 ≤x≤4的范圍內(nèi)有公共點(diǎn)，把x1=1 和x2=4 代 入y=，求得y1=2，y2=，即得兩交點(diǎn)是（1，2）和把x1=1，y1=2 和x2=4，y2=分別代入直線(xiàn)y=-3x+b，求得b1=5，b2=.所以，b的取值范圍是：

一點(diǎn)思考：由教學(xué)過(guò)程發(fā)現(xiàn)，一方面，從教師上課中的直觀(guān)構(gòu)圖（圖1）可看出，存在2 個(gè)明顯失誤：一是對(duì)直線(xiàn)y=-3x+b一次項(xiàng)系數(shù)性質(zhì)沒(méi)有把握，造成繪制直線(xiàn)草圖方向偏差大而出現(xiàn)錯(cuò)誤.圖1 中繪制b（1由x1=1，y1=2 求得）在b（2由x2=4，y2=確定）上方，與結(jié)果表述（b1＜b2）矛盾.說(shuō)明對(duì)直線(xiàn)y=ax+b的一次項(xiàng)系數(shù)（a=-3）缺乏最基本的判斷，一次函數(shù)y=-3x+b圖像與正比例函數(shù)y=-3x圖像是平行直線(xiàn)，一次項(xiàng)系數(shù)a=-3確定了直線(xiàn)的方向變化情況；二是在1 ≤x≤4的范圍內(nèi)直線(xiàn)y=-3x+b與雙曲線(xiàn)的公共點(diǎn)是右交點(diǎn)（作為教師應(yīng)該明白），而繪制草圖1是左交點(diǎn)，沒(méi)有正確把握交點(diǎn)的情況.另一方面，本課程教學(xué)中主要使用代入法求解b的取值范圍，方法簡(jiǎn)單，技巧可操作性強(qiáng)，但沒(méi)有實(shí)現(xiàn)向聯(lián)系、問(wèn)題引領(lǐng)的深度教學(xué)轉(zhuǎn)變［1］，特別是缺乏解釋b取值范圍存在性原理，沒(méi)有很好揭示本專(zhuān)題蘊(yùn)含的函數(shù)、方程、化歸、幾何直觀(guān)等重要數(shù)學(xué)思想，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng).

此題也曾是2019年QZ市HA 縣初中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題的一道填空題，主要考查初中學(xué)生對(duì)2個(gè)重要函數(shù)性質(zhì)以及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想掌握情況，題目綜合性較強(qiáng)，在教學(xué)中不應(yīng)該就題論題，應(yīng)該解決一類(lèi)問(wèn)題的本原性原理，更要注重蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想的分析.

2 問(wèn)題解答與討論

首先，確定b值存在性問(wèn)題.由已知直線(xiàn)y=-3x+b與雙曲線(xiàn)有公共點(diǎn)，通過(guò)聯(lián)立方程求解公共交點(diǎn)，即解方程組整理得3x2-bx+2=0.由判別式Δ=b2-24，令Δ=b2-24 ≥0，解得，或說(shuō)明當(dāng)或時(shí)，直線(xiàn)y=-3x+b與雙曲線(xiàn)有公共點(diǎn).而且可以計(jì)算，y=時(shí)的唯一公共交點(diǎn)是

第二步，討論b在指定區(qū)域內(nèi)的取值范圍.依題意，在指定范圍內(nèi)確定b值，要考慮這樣幾個(gè)問(wèn)題：①在指定區(qū)域內(nèi)，x與b是否建立有對(duì)應(yīng)關(guān)系？②在關(guān)系式中隨著x增大，b如何變化？③是否通過(guò)構(gòu)建直觀(guān)圖像判斷b的變化趨勢(shì)？

帶著這些問(wèn)題，利用已知條件試圖建立x和b之間的關(guān)系.由上述方程組，把（2）式代入（1），整理得，說(shuō)明x和b之間能夠建立關(guān)系，即每一個(gè)xi(i=1,2,…,n)都對(duì)應(yīng)一個(gè)bi(i=1,2,…,n).根據(jù)一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)性質(zhì)，由每一個(gè)bi(i=1,2,…,n)構(gòu)成無(wú)數(shù)條直線(xiàn)簇都與直線(xiàn)y=ax平行.先畫(huà)直線(xiàn)y=-3x的圖像，如圖2所示.當(dāng)時(shí)，在上每一個(gè)點(diǎn)確定的每條直線(xiàn)y=-3x+bi都與直線(xiàn)y=-3x平行，根據(jù)構(gòu)建圖像（圖2）可知，都隨x的增大而增大.把x1=1，y1=2 和x2=4，分別代入直線(xiàn)y=-3x+b，求得b1=5，由以上分析，在1 ≤x≤4的范圍內(nèi)b的取值范圍是

圖2

上述的教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)構(gòu)建方程組探討了b值的根源性問(wèn)題，把問(wèn)題延伸到在定義域內(nèi)確定b的取值范圍的教學(xué)，體現(xiàn)了對(duì)函數(shù)思想、方程思想、化歸思想的培養(yǎng)［2］.在第二步討論b在指定區(qū)域內(nèi)的取值范圍教學(xué)中，依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)描繪關(guān)于b值范圍的趨勢(shì)變化圖像，凸顯函數(shù)思想和幾何直觀(guān)思想［3］在教學(xué)中的運(yùn)用.在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，先是求定義域內(nèi)b的取值范圍到指定區(qū)域內(nèi)b的取值范圍的一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)由一般性原理到特殊值、整體性到局部的數(shù)學(xué)思想［3］.教學(xué)中要心中有思想，站高一級(jí)思考問(wèn)題、降低一位來(lái)解決學(xué)生的實(shí)際問(wèn)題，要由傳授知識(shí)、技能教學(xué)深化到加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的滲透培養(yǎng).

變式練習(xí)與思考：

一次函數(shù)系數(shù)改變符號(hào)變式問(wèn)題：如果直線(xiàn)y=3x+6 與雙曲線(xiàn)在1 ≤x≤4 有公共交點(diǎn)，求b的取值范圍.

問(wèn)題設(shè)疑：經(jīng)過(guò)計(jì)算，得b1=5，，依據(jù)前面結(jié)果表達(dá)方式，答案是不是為什么？

簡(jiǎn)單分析：如圖3所示，依據(jù)直線(xiàn)y=3x+6的一次項(xiàng)系數(shù)a=3大致描繪一次函數(shù)圖像.隨著x的增大，b逐漸變小，從而，正確答案是

圖3

通過(guò)上述解題分析可知，本專(zhuān)題教學(xué)如果設(shè)計(jì)為如下問(wèn)題，對(duì)學(xué)生認(rèn)知和解題將會(huì)有一定幫助：

（1）討論直線(xiàn)y=-3x+b與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)情況，并確定參數(shù)b的取值范圍；

（2）若直線(xiàn)y=-3x+b與雙曲線(xiàn)在1 ≤x≤4的范圍內(nèi)有公共點(diǎn)，求b的取值范圍.

3 問(wèn)題變式與探究

把上述問(wèn)題變式為如下問(wèn)題：

（1）討論y=-3x+6與的交點(diǎn)情況，并確定參數(shù)b的取值范圍；

（2）若直線(xiàn)y=-3x+6與雙曲線(xiàn)在1 ≤x≤4的范圍內(nèi)有公共點(diǎn)，求b的取值范圍.

此變式是由直線(xiàn)方程參數(shù)變?yōu)榍€(xiàn)方程有參數(shù)，圖像及其變化都較為復(fù)雜，對(duì)初中學(xué)生是深度變式，需要分析不同情況進(jìn)行解決.

整理得3x2-6x+b=0，由判別式Δ=36 -12b，令36 -12b=0，解得b=3；Δ ＜0，解得b＞3；Δ ＞0，解得b＜3.所以，當(dāng)b=3時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有唯一一個(gè)公共交點(diǎn)；當(dāng)b＞3時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)沒(méi)有公共交點(diǎn)；當(dāng)b＜3時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有2個(gè)公共交點(diǎn)，但要考慮b≠0情況.

②直線(xiàn)y=-3x+6 的圖像是確定的，建立直角坐標(biāo)系，先畫(huà)此圖像.根據(jù)雙曲線(xiàn)y=(b≠0)性質(zhì)，如圖4所示，隨著b增大，雙曲線(xiàn)(b≠0)沿著直線(xiàn)y=x移動(dòng)遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn).

圖4

聯(lián)立（3）（4）解方程組，解得b=xy=-3x2+6x.根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，二次函數(shù)b=-3x2+6x開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（1，6），即當(dāng)1 ≤x時(shí)，二次函數(shù)b=-3x2+6x嚴(yán)格遞減，如圖5 所示.因此，計(jì)算得當(dāng)x=1時(shí)，b=3；當(dāng)x=4時(shí)，b=-24.

圖5

現(xiàn)在討論b值變化情況及取值范圍：根據(jù)前述可知，當(dāng)b≤3（b≠0）時(shí)，直線(xiàn)y=-3x+6 與雙曲線(xiàn)有公共交點(diǎn)，而且b=3 時(shí)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切，即b=3 最大臨界值.根據(jù)題意，可繪制如圖6所示的幾何圖形.

圖6

當(dāng)x從1→4 變化時(shí)，直線(xiàn)y=-3x+6 上點(diǎn)A（1，3）沿該直線(xiàn)下移至點(diǎn)D（4，-6），由直觀(guān)圖形和b=-3x2+6x核算可知，當(dāng)x=2時(shí)，b=0（即y=0的一條直線(xiàn)）.由此可知，當(dāng)x=2，即b=0時(shí)，是雙曲線(xiàn)在一、三象限和二、四象限的分界點(diǎn).

經(jīng)上述討論，在1 ≤x≤4范圍內(nèi)，b的取值范圍是-24 ≤b＜0和0 ＜b≤3.

由解題教學(xué)看出，參數(shù)變?yōu)殡p曲線(xiàn)函數(shù)問(wèn)題，難度變得復(fù)雜.由雙曲線(xiàn)性質(zhì)判斷曲線(xiàn)的圖像變化趨勢(shì)，隨著指定點(diǎn)由B向C移動(dòng)，一次函數(shù)值將由點(diǎn)A 移動(dòng)到點(diǎn)D，是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化過(guò)程.這個(gè)變化過(guò)程中，當(dāng)x無(wú)限趨近于2時(shí)，雙曲線(xiàn)圖像將由在一、三象限變到二、四象限，x=2是分界點(diǎn).這個(gè)教學(xué)過(guò)程中不僅體現(xiàn)了函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合、化歸思想、幾何直觀(guān)、空間觀(guān)念和邏輯推理等初等數(shù)學(xué)中的基本思想［4］，更是滲透了由靜態(tài)向動(dòng)態(tài)、有限向無(wú)限的高等數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)變，不僅讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美妙所在，享受數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)快樂(lè).

變式練習(xí)與分析：

（1）一次函數(shù)系數(shù)改變符號(hào)的變式思考：若直線(xiàn)y=3x+6與雙曲線(xiàn)在1 ≤x≤4的范圍內(nèi)有公共點(diǎn)，求b的取值范圍.

簡(jiǎn)要分析：首先利用根判別式確定直線(xiàn)y=3x+6 與雙曲線(xiàn)存在公共交點(diǎn)b的取值范圍，經(jīng)計(jì)算，當(dāng)b≥-3時(shí)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有公共交點(diǎn).

然后確定在1 ≤x≤4的范圍內(nèi)b的取值范圍.聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)函數(shù)，建立方程組：

計(jì)算得：b=3x2+6x，此二次函數(shù)開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)P（-1，-3），說(shuō)明二次函數(shù)b=3x2+6x在-1 ≤x上（嚴(yán)格）遞增.所以，當(dāng)1 ≤x≤4時(shí)，b的取值范圍是：9≤b≤72.

（2）變換函數(shù)的變式思考：

①已知函數(shù)y=3x+6與y=x2-c（c為常數(shù)）的圖像有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則常數(shù)c的值為多少？

②已知函數(shù)y=3x+6 與y=x2-c（c為常數(shù)）在1 ≤x≤4 范圍內(nèi)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則常數(shù)c的值為多少？

簡(jiǎn)要分析：對(duì)于問(wèn)題①，需要聯(lián)立2個(gè)函數(shù)構(gòu)建方程組，消元化歸為一元二次方程，依題意利用判別式求解，并判別2 個(gè)函數(shù)在有2 個(gè)交點(diǎn).對(duì)于問(wèn)題②，需要思考兩個(gè)問(wèn)題：一是探討時(shí)，交點(diǎn)是否在指定范圍內(nèi)；二是在1 ≤x≤4范圍內(nèi)只有一個(gè)公共點(diǎn)，需要考慮兩端界點(diǎn)情況.由問(wèn)題①可知，c=時(shí)，則，該值在1 ≤x≤4 范圍內(nèi)，符合條件；考慮兩個(gè)端點(diǎn)問(wèn)題：（1）當(dāng)x=1 時(shí)，計(jì)算得c=-8，函數(shù)y=3x+6 與y=x2+8 有2 個(gè)共同點(diǎn)，即A（1，9），B（2，12），如圖7所示，不符合題意條件.

圖7

從圖7中可看出，當(dāng)c從變化到-8時(shí)，函數(shù)y=3x+6與y=x2-c都有2個(gè)公共點(diǎn).而且判斷出兩函數(shù)兩交點(diǎn)A（1，9）和B（2，12）是不符合條件的臨界點(diǎn)，x=2是臨界點(diǎn)的右交點(diǎn)，即相當(dāng)于x=2時(shí)c=-8不符合條件.因此，在1 ≤x≤2指定區(qū)域內(nèi)兩函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，計(jì)算出只有符合條件.當(dāng)x=4時(shí)，解得c=-2，聯(lián)立兩函數(shù)y=3x+6與y=x2+2，解得兩交點(diǎn)P（-1，3），C（4，18），在1 ≤x≤4指定范圍內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意.所以，函數(shù)y=3x+6與y=x2-c（c為常數(shù)）在1 ≤x≤4范圍內(nèi)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則常數(shù)c的值為：和-8 ＜c≤-2.

值得注意的是，此變換函數(shù)的變式題與原教學(xué)專(zhuān)題有相同之處，在指定1 ≤x≤4范圍內(nèi)計(jì)算左端點(diǎn)x=1時(shí)都存在左、右兩交點(diǎn)問(wèn)題，而且是右交點(diǎn)符合條件，解題過(guò)程中在繪制圖形或是求解參數(shù)時(shí)可能容易忽視，甚至造成錯(cuò)解.

由上述變式教學(xué)討論可知，一段函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題的變式形式是多種多樣的，可以通過(guò)交換、改變兩個(gè)函數(shù)的參數(shù)，可以變換其中一個(gè)函數(shù)及其參數(shù)，也可以變換指定不同定義域范圍等變式，都可能構(gòu)建成為一個(gè)好的變式探究問(wèn)題.對(duì)于一段函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)中，需要通過(guò)聯(lián)立構(gòu)建方程組，從問(wèn)題的本原性探討b的取值范圍，再把問(wèn)題延伸到在定義域內(nèi)確定b的取值范圍的教學(xué)，滲透了函數(shù)、方程和化歸等數(shù)學(xué)思想，呈現(xiàn)由一般到特殊、整體到局部的數(shù)學(xué)思維過(guò)程.依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)在指定定義域范圍內(nèi)描繪b值范圍的變化趨勢(shì)圖像，不僅體現(xiàn)函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合、空間觀(guān)念和幾何直觀(guān)在教學(xué)中的運(yùn)用，更是呈現(xiàn)了由靜態(tài)向動(dòng)態(tài)、有限向無(wú)限的高等數(shù)學(xué)思想的滲透，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美妙，享受數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)快樂(lè)，為進(jìn)一步數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供感性認(rèn)識(shí)和理性思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).