吳 瓊， 李兆展， 林艷紅， 胡國(guó)平， 周 豪

(1.中國(guó)人民解放軍93861部隊(duì)，陜西 三原 713800；2.空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院， 陜西 西安 710051)

0 引 言

波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)估計(jì)在雷達(dá)、聲納以及通信等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，學(xué)者們相繼提出了多重信號(hào)分類(multiple signal classification,MUSIC)算法和基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計(jì)信號(hào)參數(shù)(estimating signal parameters via rotational invariance techniques，ESPRIT)算法等經(jīng)典的DOA估計(jì)算法。為便于研究，經(jīng)典的DOA估計(jì)算法常假設(shè)接收的噪聲是高斯白噪聲[1,2]，但這在現(xiàn)實(shí)的電磁環(huán)境中難以滿足，實(shí)際接收的噪聲可能是高斯色噪聲，此時(shí)經(jīng)典DOA估計(jì)算法的性能將下降甚至失效[3]。針對(duì)這一問(wèn)題，先后提出了空間差分算法、預(yù)白化算法、高階累積量算法等。其中，文獻(xiàn)[4,5]針對(duì)相干和獨(dú)立信源在高斯色噪聲下的DOA估計(jì)問(wèn)題，利用噪聲協(xié)方差矩陣滿足Toeplitz矩陣結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，通過(guò)空間差分算法消除色噪聲的影響。然而，空間差分算法只適用于相干和獨(dú)立信源共存的條件下，當(dāng)僅存在獨(dú)立信源時(shí)，算法將失效。文獻(xiàn)[6]基于僅含色噪聲的采樣數(shù)據(jù)對(duì)陣列接收信號(hào)進(jìn)行預(yù)白化，使色噪聲變?yōu)榘自肼?，以便后續(xù)的DOA估計(jì)。但在實(shí)際測(cè)向時(shí)，僅含色噪聲的數(shù)據(jù)難以取得，因此該算法的實(shí)用性不夠強(qiáng)。高斯噪聲的四階以上累積量為零，利用這一特性可有效消除高斯色噪聲的影響。文獻(xiàn)[7]提出一種基于四階累積量的Toeplitz矩陣重構(gòu)算法，在高斯色噪聲和弱信噪比條件下仍然具有較高的估計(jì)精度。文獻(xiàn)[8]利用多輸入多輸出(multi-input multi-output,MIMO)雷達(dá)的旋轉(zhuǎn)不變性構(gòu)造四階累積量矩陣來(lái)消除高斯色噪聲，并利用PM算法估計(jì)DOA。文獻(xiàn)[9]提出了具有高分辨率的2qMUSIC算法。然而，這些算法均基于均勻密布線陣，陣元有效自由度仍有提升空間。針對(duì)上述問(wèn)題，Pal等人將高階累積量與嵌套陣相結(jié)合，提出基于高階累積量的2q階嵌套陣[10]，在顯著擴(kuò)展陣列有效自由度(degree of freedom,DOF)的同時(shí)抑制了高斯色噪聲，實(shí)現(xiàn)了色噪聲條件下的高精度DOA估計(jì)。然而，其2q階嵌套陣對(duì)應(yīng)的“差聯(lián)合陣列”存在一定的孔洞，當(dāng)應(yīng)用MUSIC等算法時(shí)，僅能使用其中連續(xù)陣元，而離散的陣元被浪費(fèi)。

對(duì)此，本文利用MIMO雷達(dá)能夠形成“和差聯(lián)合陣列”的特點(diǎn)，提出一種基于高階累積量的2q階嵌套MIMO陣列，提高了有效自由度，從而實(shí)現(xiàn)更高精度的DOA估計(jì)。

1 高階累積量

(1)

式中cx(I)為隨機(jī)變量x1,x2,…,xk的r階累積量，mx(Ip)為其符號(hào)集為Ip的矩。

若x1,x2,…,xk均為零均值隨機(jī)變量，則式(1)將大為簡(jiǎn)化。以四階累積量為例，根據(jù)式(1)有

c4x(x1,…,x4)=E{x1x2x3x4}-E{x1x2}E{x3x4}-

E{x1x3}E{x2x4}-E{x1x4}E{x2x3}

(2)

對(duì)于零均值的高斯隨機(jī)過(guò)程，其二階累積量和二階矩均等于其方差σ2，其高階(三階及三階以上)累積量恒為零。因此，當(dāng)信源為非高斯分布而噪聲為高斯分布時(shí)，可利用高階累積量算法來(lái)消除高斯噪聲[9～12]。

2 基于高階累積量的2q階嵌套MIMO陣列

文獻(xiàn)[11]提出一種基于高階累積量的2q階嵌套陣，通過(guò)計(jì)算高階累積量矩陣并矢量化構(gòu)造虛擬2q階“差聯(lián)合陣列”，從而實(shí)現(xiàn)自由度的擴(kuò)展。以N=8的四階嵌套陣(q=2)為例，其物理陣元位置如圖1(a)所示，為[0,1,2,5,8,17,26,53]，對(duì)應(yīng)的虛擬陣列陣元位置如圖1(b)所示?？梢?jiàn)2q階嵌套陣列能夠用較少的陣元實(shí)現(xiàn)較高的自由度，相應(yīng)的角度估計(jì)性能也將得到提高。然而，從圖1(b1)也可看到，虛擬陣列并非是連續(xù)的，在82,83,86,91,92,94,95等處存在間斷，而常用的MUSIC,ESPRIT等算法均要求陣列為連續(xù)陣，因此,正半軸間斷點(diǎn)81右邊的這些有效自由度難以利用，造成了有效自由度的浪費(fèi)。

由圖1(b)分析可知，2q階嵌套陣?yán)脴?gòu)造高階累積量和矢量化形成虛擬的“差聯(lián)合陣列”，使自由度得到了擴(kuò)展。然而，其僅僅是針對(duì)接收陣進(jìn)行了優(yōu)化，并未將自由度擴(kuò)展的潛力充分發(fā)揮出來(lái)。

圖1 8陣元四階嵌套陣物理位置及其對(duì)應(yīng)的虛擬陣列示意

MIMO雷達(dá)能夠發(fā)射正交波形，并在接收端通過(guò)匹配濾波形成“和聯(lián)合陣列”，從而擴(kuò)展接收陣虛擬孔徑[13]。受到這一啟發(fā)，提出一種2q階嵌套MIMO陣列。首先利用MIMO雷達(dá)匹配濾波特性將自由度加以擴(kuò)展，隨后再對(duì)接收數(shù)據(jù)構(gòu)造高階累積量協(xié)方差矩陣并矢量化，形成2q階“和差聯(lián)合陣列”，從而進(jìn)一步擴(kuò)展有效自由度。

設(shè)2q階嵌套MIMO陣列的陣元數(shù)為N，由于接收陣列原點(diǎn)處需要放置一個(gè)參考陣元，因此，只需考慮對(duì)余下的N0=N-1個(gè)陣元的位置進(jìn)行優(yōu)化即可。而根據(jù)文獻(xiàn)[11]，僅考慮接收的情況下，可將N0個(gè)陣元?jiǎng)澐譃?q階子陣，各階子陣的陣元個(gè)數(shù)為

(3)

式中m和n分別為N0+2q-1除以2q所得的除數(shù)和余數(shù)，即

N0+2q-1=2qm+n0≤n≤2q-1

(4)

對(duì)于第一階至第2q-1階子陣，各子陣中陣元的坐標(biāo)位置為

(5)

而第2q階子陣的陣元位置為

(6)

由于MIMO雷達(dá)能夠通過(guò)接收端的匹配濾波形成“和聯(lián)合陣列”，在第二步計(jì)算高階累積量并矢量化過(guò)程中能形成“差聯(lián)合陣列”，因此，為了使最終的“和差聯(lián)合陣列”自由度盡可能大，應(yīng)使式(5)和式(6)中的陣元之和最大，且形成的連續(xù)虛擬陣元盡可能多。為此，將N0中前N0-1個(gè)陣元按照式(5)和式(6)計(jì)算出的位置置于發(fā)射陣列，將最后一個(gè)陣元按第2q階子陣中最后一個(gè)陣元的位置，放置在接收陣中。以8陣元的四階(q=2)嵌套MIMO陣列為例，發(fā)射陣和接收陣的結(jié)構(gòu)如圖2所示，其中發(fā)射陣元的位置為[0,1,2,5,8,17]，接收陣元的位置為[0,35]。對(duì)應(yīng)的虛擬“和差聯(lián)合陣列”的陣元位置如圖3所示。

圖2 8陣元四階(q=2)嵌套MIMO物理陣元位置

圖3 8陣元四階(q=2)嵌套MIMO陣列對(duì)應(yīng)的虛擬陣列示意

通過(guò)對(duì)比圖1(b)和圖3可發(fā)現(xiàn)，8陣元的四階嵌套MIMO陣列將形成更多的連續(xù)陣元；此外，8陣元四階嵌套陣的總自由度為197，而8陣元四階嵌套MIMO陣的總自由度為209。因此，無(wú)論從連續(xù)陣元數(shù)還是總自由度來(lái)看，8陣元四階嵌套MIMO陣列都更有優(yōu)勢(shì)，能夠?qū)崿F(xiàn)更高精度的DOA估計(jì)。

3 基于空間平滑的MUSIC算法

2q階嵌套MIMO陣列匹配濾波后的信號(hào)為

y(t)=[ar(θ1)?at(θ1),…,ar(θk)?at(θk)]s(t)+w(t)

=(Ar°At)s(t)+w(t)

=As(t)+w(t)

(7)

式中Ar°At為Ar和At的Khatri-Rao積，w(t)為匹配濾波后的噪聲，s(t)為目標(biāo)反射系數(shù)組成的向量

s(t)=[ξ1(t),ξ2(t),…，ξk(t)]T

(8)

A=Ar°At=[a(θ1),a(θ2),…,a(θk)]

(9)

其中,接收到的目標(biāo)反射信號(hào)ξk(t)(k=1,2,…，K)假設(shè)為非高斯分布，且噪聲w(t)為高斯色噪聲。A為匹配濾波后形成的虛擬導(dǎo)向矢量矩陣，相當(dāng)于發(fā)射陣列和接收陣列的“和聯(lián)合陣列”

atr(θk)=[ejdtr1πsin θk,ejdtr2πsin θk,…，ejdtrMNπsin θk]T

(10)

式中dtr((n-1)M+m)=dtm+drn由于接收陣元間距足夠大，MN個(gè)虛擬陣元的位置dtr((n-1)M+m)各不相同。

利用式(2)計(jì)算y(t)中元素的高階累積量并排列為一個(gè)(MN)q×(MN)q的2q階Hermitian矩陣。當(dāng)q≥2時(shí)，該矩陣的排列方式不止一種，用C2q,y(l)(0≤l≤q-1)代表不同排列方式的累積量矩陣，則有

[atr(θk)? l?atr(θk)*?(q-l)]H+

(11)

(12)

cvec=vec[C2q,y(l)]

(13)

(14)

(15)

(16)

利用式(17)計(jì)算協(xié)方差矩陣并求平均可得

(17)

最后，基于C′可采用MUSIC,ESPRIT等算法來(lái)估計(jì)DOA。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

通過(guò)Monte Carlo仿真驗(yàn)證所提算法的有效性。設(shè)總陣元數(shù)為8，Monte Carlo仿真次數(shù)為500。為便于計(jì)算分析，仿真中取q=2。

仿真一多目標(biāo)性能

首先分析多目標(biāo)條件下的DOA估計(jì)性能，設(shè)K=15個(gè)目標(biāo)以10°為間隔分布在-70°到70°的空域，SNR=10 dB，快拍數(shù)L=300，圖4所示為2q階MUSIC算法(記為2qMUSIC)、基于2q階嵌套陣的DOA算法(記為2qNA)和基于2q階嵌套MIMO陣列的DOA算法(記為2qNA MIMO)對(duì)應(yīng)的空間譜。而空間差分MUSIC算法和最基本的MUSIC算法由于最多只能估計(jì)N-1個(gè)目標(biāo)，因而在這種條件下失效，故不再在圖4中進(jìn)行展示。由圖4可見(jiàn)，只有基于2q階嵌套MIMO陣列的DOA算法能夠準(zhǔn)確估計(jì)出所有15個(gè)目標(biāo)的角度，從而證明與2q階嵌套陣相比，2q階嵌套MIMO陣列的自由度得到了提高。

圖4 不同算法對(duì)15個(gè)目標(biāo)角度估計(jì)

仿真二鄰近目標(biāo)性能

隨后分析各算法對(duì)鄰近目標(biāo)的角度估計(jì)性能，設(shè)K=2個(gè)目標(biāo)的角度分別為10°和10.2°，SNR=10 dB，快拍數(shù)L=300，圖5所示為2q階MUSIC算法、基于2q階嵌套陣的DOA算法和基于2q階嵌套MIMO陣列的DOA算法對(duì)應(yīng)的空間譜。由圖5可見(jiàn)，只有基于2q階嵌套MIMO陣列的DOA算法能夠準(zhǔn)確將兩個(gè)鄰近目標(biāo)區(qū)分開(kāi)，而基于2q階嵌套陣的DOA算法和2q階MUSIC算法均失效，從而進(jìn)一步證明了2q階嵌套MIMO陣列自由度得到了提高。

圖5 不同算法對(duì)兩個(gè)鄰近目標(biāo)角度估計(jì)

仿真三高斯色噪聲下性能

仿真三是為了研究2q階MUSIC算法、基于2q階嵌套陣的DOA算法和基于2q階嵌套MIMO陣列的DOA算法在不同快拍數(shù)和不同信噪比下的測(cè)向性能。為此定義均方根誤差(root mean square error,RMSE)為

(18)

圖6(a)所示為不同算法的RMSE隨信噪比的變化關(guān)系，其中快拍數(shù)L=300，K=4個(gè)目標(biāo)的角度分別為[10°,20°,30°,40°]。由圖6(a)可見(jiàn)，在快拍數(shù)一定的情況下，不同算法的RMSE均隨著SNR的增大而降低，其中基于2q階嵌套MIMO陣列的DOA算法的估計(jì)精度最高，這是因?yàn)椋环矫嫫洳捎昧烁唠A累積量消除了高斯色噪聲的影響，另一方面通過(guò)將2q階嵌套陣與MIMO相結(jié)合實(shí)現(xiàn)了有效自由度的提高。

隨后研究不同算法的RMSE隨快拍數(shù)的變化關(guān)系，其中信噪比設(shè)為10 dB，K=4個(gè)目標(biāo)的角度分別為[10°,20°,30°,40°]。由圖6(b)可見(jiàn)，在信噪比一定的條件下，不同算法的RMSE均隨著快拍數(shù)的增大而降低，其中2q階嵌套MIMO陣列的估計(jì)精度最高，而MUSIC算法由于沒(méi)有針對(duì)色噪聲采取有效抑制，因而其估計(jì)精度最低。

圖6 不同算法RMSE隨信噪比和快拍數(shù)變化情況

5 結(jié) 論

本文針對(duì)高斯色噪聲下2q階嵌套陣的虛擬中存在孔洞，自由度利用不充分的問(wèn)題，將2q階嵌套陣與MIMO體制相結(jié)合，構(gòu)造2q階嵌套MIMO陣列，從而有效提高了形成的虛擬陣列中連續(xù)陣元的個(gè)數(shù)，且能夠有效消除高斯色噪聲的不利影響。仿真表明:與2q階MUSIC算法和基于2q階嵌套陣的DOA算法相比，基于2q階嵌套MIMO陣列的DOA算法的多目標(biāo)分辨力、鄰近目標(biāo)分辨力均有所提高，在相同信噪比或相同快拍數(shù)下的估計(jì)精度也高于2q階MUSIC算法和基于2q階嵌套陣的DOA算法。