周 振， 王冬青， 許崇立

(1.青島大學 自動化工程學院，山東 青島 266071; 2.青島大學 電氣工程學院，山東 青島 266071)

0 引 言

機械臂是一種具有高度非線性、多變量、強耦合的復雜被控對象，容易受到自身參數(shù)不確定和外界干擾等不確定因素的影響[1～3]，尤其是當前研究熱點的模塊化機械臂，其參數(shù)不確定性更大，很難得到精確的動力學數(shù)學模型[4,5]。因此,其軌跡跟蹤控制具有極高的研究價值并且是一個具有挑戰(zhàn)性的問題。為了實現(xiàn)機械臂穩(wěn)定、快速、精確的軌跡跟蹤控制，國內(nèi)外學者進行了大量研究工作。

目前機械臂的軌跡跟蹤方法主要包括有自適應比例—積分—微分(proportional-integral-differential,PID)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡自適應控制、模糊自適應控制、滑模變結構控制和魯棒自適應控制幾種控制方法[6，7]。其中滑模變結構控制具有響應快速、對系統(tǒng)參數(shù)攝動和外部擾動不敏感等優(yōu)點，廣泛應用于機械臂的軌跡跟蹤中[8,9]。但由于滑?？刂乒逃械亩墩駟栴}不僅會影響系統(tǒng)控制的精確性，而且會增加控制器的負擔，容易損壞控制器的部件。并且滑模控制需要假設系統(tǒng)不確定性上界已知，這就增加了理論分析的約束條件?；？刂婆c智能控制相結合的控制方法是近年來抗抖振研究的熱點[10]。文獻[11，12]將滑?？刂婆c模糊控制相結合，抑制了輸出力矩的抖振，實現(xiàn)了穩(wěn)定的軌跡跟蹤。但模糊控制主要依賴研究者的經(jīng)驗，有一定的應用難度。文獻[13]使用小波神經(jīng)網(wǎng)絡在線調(diào)整滑模開關增益，使控制器獲得了良好的動態(tài)性能。文獻[14]針對機械臂的不確定性和外部干擾提出了一種神經(jīng)滑?？刂品椒?，但沒有補償神經(jīng)網(wǎng)絡的逼近誤差，在不同的條件下的收斂速度有較大的差別。

本文考慮到機械臂的模型不確定性以及外部干擾項，設計了一種控制算法不依賴機械臂的精確動力學模型和先驗的上界知識。

1 機械臂數(shù)學模型

如圖1所示三自由度(degree of freedom,DoF)RRR構型模塊化機械臂，其基座腰關節(jié)實現(xiàn)回轉運動，肩與肘兩關節(jié)實現(xiàn)俯仰運動。為了建模方便，只考慮了基座、前臂和后臂，忽略了手腕部分。a2和a3分別是后臂連桿質(zhì)心到關節(jié)2的距離和前臂連桿質(zhì)心到關節(jié)3的距離，l2和l3為后臂連桿和前臂連桿的長度，I1，I2，I3分別是基座、后臂連桿和前臂連桿的轉動慣量。m2和m3分別是后臂連桿和前臂連桿的質(zhì)量。

圖1 3DoF自由度模塊化機械臂模型

前臂連桿末端的位置在基參考坐標系下的位置為

x=[l2cosq2+l3cos(q2+q3)]cosq1

y=[l2cosq2+l3cos(q2+q3)]sinq1

z=l2sinq2+l3sin(q2+q3)

(1)

根據(jù)拉格朗日建模法，針對圖1所示的3DoF自由度模塊化機械臂，建立其動力學模型

(2)

其中

2m3a3l2cos(q2)cos(q2+q3)

2m3a3l2cos(q3)

G1=0,G2=(m2a2+m3l2)cos(q2)+m3a3gcos(q2+q3),G3=m3a3gcos(q2+q3)

可以將機械臂的動力學方程簡化為

(3)

從動力學模型可以看出，3DOF模塊化機械臂具有非線性和強耦合性，所以,存在較大外部干擾并且機械臂系統(tǒng)的精確動力學模型難以獲得。

2 改進趨近律設計

由于指數(shù)趨近律具有參數(shù)可調(diào)節(jié)，趨近速度快，可在有限時間內(nèi)收斂的優(yōu)點，所以本文在此基礎上進行改進。但在指數(shù)趨近律中，系統(tǒng)在切換帶中向原點運動時，不能趨近于原點，而是在原點附近來回震動進而引起抖振。本文對指數(shù)趨近律做出如下改進：利用飽和函數(shù)中的雙曲正切函數(shù)tanh(s)代替符號函數(shù)sgn(s)，并且在指數(shù)趨近項中引入自適應項。表示如下

(4)

雙曲正切函數(shù)的表達式為

(5)

其中,w>0,w的大小決定雙曲正切函數(shù)拐點的變化快慢。取w=0.5，雙曲正切函數(shù)和符號函數(shù)的比較如圖2所示?？梢钥闯?，雙曲正切函數(shù)是連續(xù)光滑的，彌補了一般指數(shù)趨近律由于符號函數(shù)sgn(s)在平衡點處不連續(xù)引起的高頻抖振，緩解了控制輸入的不連續(xù)性。

圖2 連續(xù)冪次函數(shù)和符號函數(shù)比較

當系統(tǒng)遠離滑模面時，s較大，指數(shù)項占主導作用，此時|s|q的值比較大，使得系統(tǒng)狀態(tài)能以較大的速度趨近于滑動模態(tài)，彌補了引入飽和函數(shù)而降低的系統(tǒng)跟蹤速度。而隨著系統(tǒng)對誤差的調(diào)節(jié)，s較小，此時-ε|s|ptanh(s)為主導項，|s|p也較小，能保證系統(tǒng)以較小的速度到達滑模面，進而降低了系統(tǒng)狀態(tài)進入滑模面的初始抖振。系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上運動時，狀態(tài)變量穿過滑模面的幅度逐漸減小，直到系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定于平衡點，抖振現(xiàn)象消失。

由上述分析可知，本文所設計的自適應指數(shù)趨近律克服了指數(shù)趨近律中切換帶為帶狀的缺點，能夠在提高系統(tǒng)趨近滑模面速度的同時削弱輸入力矩的抖振現(xiàn)象，并且滿足滑模存在及可達性條件

(6)

3 控制算法

3.1 名義模型控制率

對于系統(tǒng)的名義模型，采用計算力矩法控制，在內(nèi)控制回路中引入非線性補償，使機械臂控制系統(tǒng)轉化為易于控制的線性定常系統(tǒng)

(7)

(8)

(9)

結合式(7)和式(8)得到穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)

(10)

可以看出，在不考慮建模誤差和外界擾動時，通過選擇合適的增益矩陣Kd和Kp，跟蹤誤差可趨近于零。而實際應用中，很難得到精確的數(shù)學模型，因此,考慮到模型不確定性和未知外界干擾，將機械臂的動力學方程進一步表示為

(11)

(12)

3.2 滑模變結構控制器設計

綜合考慮到機械臂的動力學模型，總控制器為

(13)

式中τs為滑?？刂破?，滑模面采用線性滑模函數(shù)

(14)

將式(12)、式(13)代入上式得

(15)

取趨近律為改進的趨近律，結合式(15)，那么滑?？刂破髟O計為

τs=M0(q)(ε|s|ptanh(s)+

(16)

3.3 自適應神經(jīng)網(wǎng)絡

為了實現(xiàn)快速、準確的軌跡跟蹤，并抑制輸出力矩的抖振，機械臂的不確定項必須得到近似。與反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(back propogation neural network,BPNN)相比，徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(radial basis function neural network,RBFNN)具有逼近性能好、全局最優(yōu)、結構簡單、訓練速度快等優(yōu)點，得到了廣泛的應用。理論上，RBFNN可以逼近任意精度的任意連續(xù)函數(shù)。因此，本文采用RBFNN對不確定性項進行逼近。理想的RBFNN算法描述如下

(17)

ρ(x,θ)=θ*Tφ(x)+η

(18)

(19)

(20)

式中?！蔙3×3為待設計的調(diào)整系數(shù)矩陣。考慮到神經(jīng)網(wǎng)絡的逼近誤差，那么系統(tǒng)的總控制器重描述為

(21)

式中v為克服神經(jīng)網(wǎng)絡逼近誤差ε的魯棒項，v=-η0tanh(s)。趨近律為

(22)

利用Lyapunov函數(shù)證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并將Lyapunov函數(shù)選為

(23)

求導得到

(24)

根據(jù)LaSalle不變性原理，閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。綜上所述，本文設計的控制系統(tǒng)結構框圖如圖3所示。

圖3 控制系統(tǒng)結構框圖

4 仿真與分析

機械臂連桿的桿長為l2=0.5 m,l3=0.5 m；質(zhì)量為m2=5 kg,m3=3 kg；轉動慣量為I1=1.5 kg·m-2,I2=0.8 kg·m-2,I3=0.6 kg·m-2。取外界干擾模型的參數(shù)為d1=2，d2=3，d3=6。取建模誤差為ΔM=0.2M，ΔC=0.2C，ΔG=0.2G。滑?？刂破鞯膮?shù)設定為：V=diag(10,10,10)，ε=0.6，p=2，q=2，w=0.5，k=5，η0=0.1，Γ=[5,5,5,5,5]。RBFNN的隱含層節(jié)點數(shù)為7，高斯基函數(shù)的基寬度bi=2，隱含層高斯基函數(shù)的中心值為c=[-1,-0.5,0,0.5,1]。

取機械臂初始狀態(tài)為q1=[0,π/6,-5π/6]T終止狀態(tài)為q2=[-π/2,π/3,-π/2]T。3個關節(jié)的初始角速度、初始角加速度和終止角速度、終止角加速度均為零。通過5次多項式軌跡規(guī)劃獲得其期望軌跡，并對比基于指數(shù)趨近律的滑模控制的仿真結果加以分析。兩種算法的關節(jié)位置仿真結果如圖4所示?？梢钥闯?，兩種算法都能取得較好的跟蹤效果。兩種算法的關節(jié)角度跟蹤誤差比較如圖4(c)所示，相較而言，由于改進趨近律中自適項的引入，使得本文所提算法收斂速度更快，跟蹤精度更高。

圖4 兩種算法滑模控制角度跟蹤結果和關節(jié)角度誤差比較

兩種算法的輸出力矩如圖5所示。在基于指數(shù)趨近律的滑模控制中，為了實現(xiàn)關節(jié)角度的準確跟蹤，而選擇了充分大的不確定項的上界值，雖然實現(xiàn)了關節(jié)角度的準確跟蹤，但是加重了輸出力矩的抖振，可以看出基于指數(shù)趨近律的滑模控制輸出力矩始終有較大抖振，而本文所提方法可以自適應地辨識并補償不確定項，又使用改進趨近律又進一步抑制了抖振，可以看出，得到的輸出力矩只在開始階段有小幅抖振，其余階段輸出力矩平穩(wěn)。

圖5 二種算法滑模控制輸出力矩結果

5 結 論

針對不確定性較強的模塊化機械臂系統(tǒng)中控制精度低，尤其是輸出力矩抖振嚴重這一問題，提出了一種改進的指數(shù)趨近律，并利用RBFNN神經(jīng)網(wǎng)絡自適應地補償建模不確定項和外界干擾。在3DoF模塊化機械臂上對控制算法進行仿真實驗。仿真結果表明：所提方法在考慮到外部干擾且沒有精確的機械臂動力學模型的情況下，不僅提升了控制精度，加快了控制系統(tǒng)的收斂速度，實現(xiàn)了對規(guī)劃的期望軌跡快速穩(wěn)定精確跟蹤，而且極大地降低輸入力矩的抖振，在實際應用中可以較好地保護執(zhí)行機構。