王海洋, 宋萬清

(上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院,上海 201600)

0 引 言

鋰電池的剩余壽命預(yù)測一直是其可靠性分析和健康狀態(tài)預(yù)測中一個(gè)重要的研究方向[1]。更加準(zhǔn)確的鋰電池預(yù)測對(duì)于其使用的安全性、可靠性以及減少經(jīng)濟(jì)損耗等都有著十分重要的作用[2]。在過去的幾十年里,各種RUL預(yù)測方法被提出,例如:物理原理法、實(shí)驗(yàn)法、數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)法以及混合法[3]、基于自回歸滑動(dòng)平均(auto-regressive moving average,ARMA)時(shí)間序列的預(yù)測模型法。陶耀東等人[4]利用Box-Jenkins ARIMA 模型模擬鋰電池退化過程從而進(jìn)行鋰電池的RUL預(yù)測研究。而王巍等人[5]則提出了新的高斯過程回歸方法提升訓(xùn)練和預(yù)測的速度。基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的鋰電池RUL預(yù)測也是目前研究的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[6]在進(jìn)行的鋰電池RUL預(yù)測研究時(shí)則提出一種利用重采樣來對(duì)前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行輸入選擇的新思路。陳雄姿等人[7]便提出了一種基于貝葉斯最小二乘—支持向量回歸(least square support vector regression,LS-SVR)的鋰電池剩余壽命在線概率性預(yù)測方法。而王春雷等人[8]則利用改進(jìn)的相關(guān)向量機(jī)方法進(jìn)行鋰電池RUL預(yù)測。

本文結(jié)合混沌理論得到鋰電池最大預(yù)測時(shí)間尺度,再利用具有長相關(guān)性的FARIMA 模型應(yīng)用于鋰電池剩余使用壽命預(yù)測,通過計(jì)算Hurst指數(shù)建立起預(yù)測模型,并給出RUL預(yù)測具體的步驟與其概率密度函數(shù)計(jì)算公式。最終通過實(shí)際的美國NASA Amse數(shù)據(jù)庫中的鋰電池退化數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)際的RUL預(yù)測實(shí)驗(yàn),并選擇多種誤差標(biāo)準(zhǔn)量化其預(yù)測結(jié)果。

1 混沌理論

混沌理論屬于非線性學(xué)科的一種,科學(xué)界認(rèn)為萬物皆是混沌構(gòu)成。因此對(duì)于混沌的研究方面設(shè)計(jì)自然與人文科學(xué)的各個(gè)方面[9]?；煦缋碚摰陌l(fā)展主要?dú)w功于1963年洛倫茲的論文發(fā)表。本文結(jié)合混沌動(dòng)力學(xué)理論,通過計(jì)算Lyapunov指數(shù)給出的可預(yù)測剩余壽命的最大尺度,從而優(yōu)化RUL預(yù)測過程,獲得更好的預(yù)測結(jié)果。計(jì)算Lyapunov指數(shù)的方法有:定義法、Wolf法、Jacobian方法、P—范數(shù)法、小數(shù)據(jù)量法等。本文選在實(shí)際應(yīng)用中比較有效的Jacobian法,其具體計(jì)算步驟如下：

考慮下列微分方程系統(tǒng)為

(1)

(2)

式中T為F的Jacobian矩陣。方程(2)可以表示為

e(t)=U(t,e(0))

(3)

其中,U:e(0)→e(t)線性算子映射。這個(gè)映射U的漸進(jìn)行可以用指數(shù)表示為

(4)

所以,式(1)的Lyapunov指數(shù)為上述過程的平均數(shù)

(5)

通過Jacobian法計(jì)算得出的Lyapunov指數(shù)最終再代入退化過程數(shù)據(jù)得出最大預(yù)測尺度。

2 FARIMA模型

分?jǐn)?shù)自回歸求和滑動(dòng)平均模型通常表示為FARIMA(p,q,d)。這里的參數(shù)p,q,d分別表示自回歸階數(shù)、滑動(dòng)平均階數(shù)和差分階數(shù)。FARIMA模型同時(shí)具有長相關(guān)性與短相關(guān)性。因此,為了將FARIMA模型應(yīng)用于預(yù)測,需要先對(duì)預(yù)測序列的相關(guān)性進(jìn)行研究。據(jù)此給出了判斷序列相關(guān)性的基本指數(shù):Hurst指數(shù)(H)。當(dāng)0

給定一個(gè)隨機(jī)的時(shí)間序列{Xi},將其長度t劃分為k個(gè)相鄰的長度為n的子區(qū)間,其中t=kn。每個(gè)子區(qū)間的每個(gè)點(diǎn)與區(qū)間平均值之差的和組成一個(gè)新的序列Yi,有

(6)

(7)

當(dāng)n→∞時(shí),R/S法函數(shù)曲線看起來與cnH相似,其中，c為常數(shù),它獨(dú)立于n。將上式取對(duì)數(shù)并畫出對(duì)數(shù)圖,其擬合曲線斜率則為Hurst估計(jì)值。

計(jì)算完Hurst指數(shù),給出FARIMA模型定義為:如果{Xt}為平穩(wěn)時(shí)間序列且滿足差分方程

Φ(B)ΔdXt=θ(B)at

(8)

式中 {at}為白噪聲序列,Φ(B)為自回歸項(xiàng)的p階多項(xiàng)式,B為滿足等式BXt=Xt-1的后移算子,θ(B)為滑動(dòng)平均項(xiàng)的q階多項(xiàng)式。Φ(B)和θ(B)的具體表達(dá)式為

Φ(B)=1-Φ1(B)-Φ2(B)2-…-Φp(B)p

(9)

θ(B)=1-θ1(B)-θ2(B)2-…-θq(B)q

(10)

由于|B|≤1,Φ(B)和θ(B)都不為零。令Δ=(1-B)為差分算子,進(jìn)而Δd表示分?jǐn)?shù)差分算子為

(11)

(12)

式中Γ為伽馬函數(shù)。而這里的參數(shù)d與Hurst指數(shù)之間有這樣的關(guān)系:d=H-0.5。因此,可以通過計(jì)算Hurst指數(shù)從而建立起FARIMA預(yù)測模型。

3 RUL預(yù)測過程

為了進(jìn)行鋰電池剩余壽命的預(yù)測估計(jì),通常將壽命定義為退化過程第一次超過故障閾值,而這個(gè)閾值根據(jù)國際標(biāo)準(zhǔn)一般設(shè)定為鋰電池剩余容量的80 %左右。這里將第一次超過這個(gè)閾值的時(shí)間點(diǎn)設(shè)為壽命終結(jié)點(diǎn)(end of life,EOL),如圖1所示的來自NASA’s Ames Research Center預(yù)測數(shù)據(jù)庫的鋰電池開源數(shù)據(jù)集中的B0018組鋰電池?cái)?shù)據(jù),根據(jù)所設(shè)置的閾值,B0018的EOL=97。

圖1 B0018組鋰電池退化過程

根據(jù)上面所測量出的EOL,退化系統(tǒng)的壽命T可以形式上定義為

T=inf{t∶X(t)≥ω|X(0)<ω}

(13)

這里T的概率密度函數(shù)(probability density function,PDF)可以描述為fT(t)(如圖1中所示的概率密度分布圖),ω則為根據(jù)不同退化模型所須性能決定的預(yù)設(shè)恒定故障閾值水平。

Lk=inf{lk>0∶X(lk+tk)≥ω}

(14)

同理,它的PDF為fLk(lk)。

對(duì)于閾值為ω的退化模型與之相匹配的PDF為

(15)

基于fLk(lk)的定義式可以看出,其由退化過程的漂移系數(shù)μ和擴(kuò)散系數(shù)σ,及故障閾值ω和系統(tǒng)狀態(tài)共同決定。

4 實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù)分析

將利用B0018組的鋰電池?cái)?shù)據(jù)案例,以證明所提出的鋰電池RUL預(yù)測模型。利用Jacobian法計(jì)算鋰電池的Lyapunov指數(shù),得到最大預(yù)測尺度為10。將電池退化數(shù)據(jù)代入計(jì)算其Hurst指數(shù)的值判斷其相關(guān)性。本文采用R/S分析法來計(jì)算B0018組鋰電池的Hurst指數(shù)值,最終的結(jié)果H=0.564 9。

根據(jù)已經(jīng)建立好的FARIMA模型,可以對(duì)具體的鋰電池退化數(shù)據(jù)進(jìn)行RUL預(yù)測分析。根據(jù)上面的計(jì)算的最大尺度選擇從B0018鋰電池組中選擇8個(gè)起始預(yù)測觀察點(diǎn)進(jìn)行RUL預(yù)測實(shí)驗(yàn),并且每個(gè)起始預(yù)測時(shí)間點(diǎn)的時(shí)間間隔都為1個(gè)循環(huán)周期。圖2為8個(gè)預(yù)測時(shí)間點(diǎn)分別預(yù)測出的RUL的PDF分布圖。

圖2 B0018組鋰電池RUL預(yù)測結(jié)果

對(duì)于B0018組鋰電池RUL預(yù)測最終結(jié)果,提出通過計(jì)算實(shí)際的RUL與預(yù)測得出的RUL之間的絕對(duì)誤差(absolute error,AE)與相對(duì)誤差(relative error,RE)來對(duì)上述預(yù)測結(jié)果進(jìn)行數(shù)值分析。其計(jì)算公式為

(16)

表1 B0018組鋰電池RUL預(yù)測結(jié)果及誤差分析

5 結(jié) 論

本文介紹了一種結(jié)合混沌理論的FARIMA模型的預(yù)測鋰電池的RUL的方法。根據(jù)混沌理論計(jì)算鋰電池的Lyapunov指數(shù)給出其剩余壽命的最大可預(yù)測時(shí)間尺度。介紹了具有長相關(guān)性的FARIMA模型的基本形式及其原理,同時(shí)給出了判斷長相關(guān)性的Hurst指數(shù)擬合方法。然后詳細(xì)介紹對(duì)于鋰電池退化數(shù)據(jù)的RUL的預(yù)測過程，并將建立好的模型代入進(jìn)行預(yù)測。通過實(shí)際的電池退化數(shù)據(jù)利用FARIMA模型的RUL預(yù)測實(shí)驗(yàn),結(jié)合實(shí)驗(yàn)預(yù)測效果仿真圖以及誤差評(píng)估指標(biāo)計(jì)算的數(shù)據(jù),證明本文提出的結(jié)合混沌理論的FARIMA模型在預(yù)測鋰電池RUL時(shí)的優(yōu)越性。