鞏浩然 武 迪 龔勝平 李俊峰

?(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

?(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京100191)

1775年，Euler[1]使用球面幾何方法首次證明了任意有限剛體旋轉(zhuǎn)運動都可以等價為一次繞某固定轉(zhuǎn)軸的定軸轉(zhuǎn)動。同時歐拉創(chuàng)造性地提出了歐拉角的概念，即剛體的任意姿態(tài)運動，都可以分解為3次繞固連系坐標(biāo)軸的定軸旋轉(zhuǎn)之疊加(連續(xù)兩次的轉(zhuǎn)軸不可相同)，經(jīng)典的分解順序包括依次繞z-x-z軸旋轉(zhuǎn)的進動、章動、自轉(zhuǎn)，和依次繞z-y-x軸旋轉(zhuǎn)的偏航、俯仰、滾轉(zhuǎn)等。這種分解方法清晰易懂、方便可視化，尤其為工程應(yīng)用帶來了諸多便利。1973年，NASA研究人員Davenport[2]在歐拉角正交分解的基礎(chǔ)上，研究了將剛體轉(zhuǎn)動分解為幾次繞非正交軸旋轉(zhuǎn)的可行性及分解方法。2003年，Wittenburg等[3]進一步將問題拓展到一般的螺旋位移運動分解。

這幾種姿態(tài)運動的分解雖有不同，但基本出發(fā)點一致：已知剛體某有限轉(zhuǎn)動并給定幾根轉(zhuǎn)動軸(正交或非正交的)，將該有限轉(zhuǎn)動分解為繞這幾根給定軸的轉(zhuǎn)動之疊加。與上述研究的問題不同，本文研究的問題則是：已知剛體某有限轉(zhuǎn)動，給定旋轉(zhuǎn)角度大小，問該轉(zhuǎn)動是否可以分解為一系列轉(zhuǎn)角為給定角度的定軸運動(轉(zhuǎn)軸的方向自由選取)之疊加。為了使問題闡述得更清楚形象，用三維歐式空間中的質(zhì)點位移做個類比。上述已有的研究類似于已知質(zhì)點某有限位移，給定幾個空間方向(正交或非正交)，將該有限位移分解為沿這幾個給定方向的位移之和。而本文的研究問題則類似于，已知質(zhì)點某有限位移，給定單步運動步長，是否可以將該有限位移分解為一系列步長為給定步長的位移運動之疊加。

舉例來說，假設(shè)剛體需要繞z軸轉(zhuǎn)動10°，如限定單次轉(zhuǎn)角只能為5°，則可以拆分為2次繞z軸的旋轉(zhuǎn)之和，如限定單次轉(zhuǎn)角只能為2°，則可以拆分為5次繞z軸的旋轉(zhuǎn)之和，如限定單次轉(zhuǎn)角為3°，那么幾次繞z軸的轉(zhuǎn)動就無法實現(xiàn)需求，這時還需要去尋找z軸之外的其他轉(zhuǎn)軸，將目標(biāo)轉(zhuǎn)動拆分為幾次轉(zhuǎn)角為3°的轉(zhuǎn)動之和。

本問題屬于較為經(jīng)典的姿態(tài)運動學(xué)問題，既有其力學(xué)理論價值，也有工程實踐意義。例如在依靠步進電機旋轉(zhuǎn)的機構(gòu)中，步進電機的轉(zhuǎn)軸方向可以任意變化，但步進電機的最小步長有限制，對于某些微型步進電機，最小單步步長可以達(dá)到18°，此時依靠步進電機的姿態(tài)運動就不得不考慮本文研究的問題。此外，本文作者也在做空間多體系統(tǒng)通過關(guān)節(jié)運動實現(xiàn)姿態(tài)機動的研究，在這類問題中，有些情形下多體系統(tǒng)姿態(tài)運動的轉(zhuǎn)角是一定的，而轉(zhuǎn)軸方向的選取則有較大自由，本文所研究的問題也與之密切相關(guān)。

如圖1所示的多體結(jié)構(gòu)太陽帆，其姿態(tài)固連系建立在中心十字架上，1和3號帆可以繞x軸同步旋轉(zhuǎn)，2和4號帆可以繞y軸同步旋轉(zhuǎn)。整個帆可以看做一個由中心十字支架、1和3號帆、2和4號帆組成的3剛體系統(tǒng)，通過帆面的旋轉(zhuǎn)，可以實現(xiàn)中心十字支撐(即姿態(tài)固連系)的姿態(tài)變化。當(dāng)1和3號帆位于Oxy平面上時，2和4號帆的旋轉(zhuǎn)會引起整星姿態(tài)(即固連在中心十字支撐上的固連系姿態(tài))繞y軸反轉(zhuǎn)，而當(dāng)1和3號帆與Oxy平面形成一個夾角θ1時，2和4號帆的旋轉(zhuǎn)也會引起整星姿態(tài)變化，但由于失去了對稱性，此時整星轉(zhuǎn)軸不再是y軸，而是偏離y軸的α軸。考慮如下一組轉(zhuǎn)動：初始時刻4片帆面全部位于Oxy平面內(nèi)，首先，1和3號帆旋轉(zhuǎn)θ1后保持不動，接著，2和4號帆旋轉(zhuǎn)nπ后保持不動(此時2和4號帆仍位于Oxy平面內(nèi))，最后1和3號帆反轉(zhuǎn)θ1回歸原位。經(jīng)歷了這樣一組轉(zhuǎn)動后，太陽帆的構(gòu)型與初始時一致，但整星姿態(tài)發(fā)生了變化，其姿態(tài)變化四元數(shù)可以由3次轉(zhuǎn)動疊加得到

圖1 由4片直角三角形帆面及相應(yīng)支撐桿構(gòu)成的太陽帆

其中，°表示四元數(shù)相乘運算。a是第一次轉(zhuǎn)動后，整星繞x軸反轉(zhuǎn)的角度，與θ1成正比，b是第二次轉(zhuǎn)動后，整星繞α軸轉(zhuǎn)動的角度，與nπ成正比，c是α軸抬離Oxy平面的角度，也是θ1的函數(shù)。固定b，而令a變化，式(1)顯示，整星姿態(tài)變化的轉(zhuǎn)角是一定的，而轉(zhuǎn)軸的方向可以是Oyz平面內(nèi)的任意方向(通過選取恰當(dāng)?shù)腶)。試圖通過一系列這樣的3步組合轉(zhuǎn)動實現(xiàn)太陽帆的任意姿態(tài)機動，這就不可避免地要回答一個問題：在多步姿態(tài)轉(zhuǎn)動中，轉(zhuǎn)角固定，而轉(zhuǎn)動方向可在一定范圍內(nèi)選取，能否拼出任意想要的姿態(tài)變換？在這個太陽帆的問題中，轉(zhuǎn)軸的方向被限定在了Oyz平面內(nèi)，使得問題更加復(fù)雜，這里先來看看轉(zhuǎn)軸方向可以任意選取時的情況。

在下一節(jié)中，使用姿態(tài)四元數(shù)作為主要工具，通過構(gòu)造性的證明方式，證明上述分解的可行性，并給出分解方法。

1 問題描述及證明

1.1 問題的數(shù)學(xué)描述

對于某一轉(zhuǎn)軸方向為e，轉(zhuǎn)角為m的給定剛體定軸轉(zhuǎn)動(用姿態(tài)四元數(shù)描述)

是否可以通過一系列轉(zhuǎn)角n i給定，轉(zhuǎn)軸方向e(i)任意的定軸轉(zhuǎn)動

拼湊而成？即是否可以通過恰當(dāng)選取每次轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)軸e(i)使得q=q(1)°q(2)°...°q(k)？

1.2 一種構(gòu)造性證明

首先，上述問題的答案是肯定的，通過有限次轉(zhuǎn)角依次為n1,n2,···n k的定軸轉(zhuǎn)動，一定可以拼接出某一轉(zhuǎn)軸方向為e，轉(zhuǎn)角大小為m的定軸轉(zhuǎn)動，且一定可以在k次內(nèi)完成，這里k表示滿足的最小整數(shù)。具體分解方法如下：

(1)當(dāng)m≥n1+n2時，取轉(zhuǎn)軸方向e(1)=e，靠近目標(biāo)姿態(tài)，設(shè)在第i?1步后，距離目標(biāo)姿態(tài)的一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)角為m i-1，如m i-1≥n i+n i+1，繼續(xù)取轉(zhuǎn)軸方向e(i)=e；如m i-1

(2)當(dāng)m

不失一般性地，可以假設(shè)目標(biāo)轉(zhuǎn)動q的轉(zhuǎn)軸e=[0,0,1]T，因為對于任意轉(zhuǎn)動，總能找到一個旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，使得在該坐標(biāo)系下，轉(zhuǎn)軸方向為[0,0,1]T。令兩次轉(zhuǎn)動之疊加等于目標(biāo)轉(zhuǎn)動

注意，這里e1，e2并非在同一坐標(biāo)系下的兩個方向，e1是在空間慣性坐標(biāo)系下的方向投影，e2則是基于e1轉(zhuǎn)動之后的剛體固連系上的方向投影。方程(4)可展開為

因為單位四元數(shù)模為1的天然約束，如式(5)所示的4個標(biāo)量方程中，只有3個獨立方程，而獨立未知量則有4個(每個轉(zhuǎn)軸方向含2個獨立未知量)，故方程(4)的解并不唯一。設(shè)

代入方程(5)整理可得四個解

上述4個未知量的解只有3個是獨立的，方便起見，取式(7)～式(9)為一組解，觀察該解，式(8)和式(9)說明e1，e2在z方向的分量可以確定，式(7)說明e1，e2兩方向的夾角可以確定，滿足式(7)～式(9)均為可行解。解存在的條件為

與情況(2)的條件相符。

2 例子

設(shè)目標(biāo)剛體姿態(tài)運動為繞初始z軸旋轉(zhuǎn)2π/3，依靠步進電機實現(xiàn)該運動，假設(shè)該步進電機的轉(zhuǎn)軸方向可以任意取定，最小單步轉(zhuǎn)角為π/5。根據(jù)上一節(jié)的討論，由于2π/3>π/5+π/5，首先令步進電機轉(zhuǎn)軸方向取為z軸，經(jīng)1次轉(zhuǎn)動后距離目標(biāo)姿態(tài)2π/3?π/5=7π/15，因為7π/15>π/5+π/5，繼續(xù)令步進電機轉(zhuǎn)軸方向為z軸，經(jīng)第2次轉(zhuǎn)動后距離目標(biāo)姿態(tài)7π/15?π/5=4π/15。此時因4π/15<π/5+π/5，將m=4π/15，n i=π/5代入方程(7)～方程(9)可得

滿足式(12)的解均為可行解，不妨取兩次轉(zhuǎn)動的四元數(shù)為

綜上，步進電機的4次定步長轉(zhuǎn)動，即可實現(xiàn)目標(biāo)姿態(tài)運動，圖2為第3和第4兩步旋轉(zhuǎn)分解的示意圖。初始姿態(tài)固連坐標(biāo)系(經(jīng)過前2步轉(zhuǎn)動后的剛體固連坐標(biāo)系)Ox0y0z0，目標(biāo)姿態(tài)固連坐標(biāo)系Oxfyfzf，經(jīng)過前3次旋轉(zhuǎn)后的剛體固連坐標(biāo)系Ox1y1z1。為了展示清晰，除坐標(biāo)系外，還畫出了一個假想的手機狀剛體。圖中e1，e2為第3和第4兩次旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)軸(均已轉(zhuǎn)換到第2次旋轉(zhuǎn)后的剛體固連坐標(biāo)系下)。

圖2 實驗案例中的旋轉(zhuǎn)分解示意圖

3 結(jié)論

關(guān)于姿態(tài)運動分解的過往研究，多集中于給定“基方向”，如何選擇適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)角以實現(xiàn)任意姿態(tài)變換；本文則是給定旋轉(zhuǎn)步長，自行尋找適合的“方向”以實現(xiàn)任意姿態(tài)變換。本文通過四元數(shù)運算證明，通過有限次旋轉(zhuǎn)步長給定、旋轉(zhuǎn)軸方向任選的定軸旋轉(zhuǎn)，可以實現(xiàn)任意的剛體空間旋轉(zhuǎn)。這種分解的可行性將為姿態(tài)運動學(xué)的理論分析和實踐運用帶來一些新思路。