張秋爽

【摘 要】作為一名合格的數(shù)學(xué)教師，需要理解兒童、理解數(shù)學(xué)、理解課堂、理解評價、理解核心素養(yǎng)……本文從理解數(shù)學(xué)，讀懂知識間內(nèi)在聯(lián)系;理解兒童，設(shè)計有價值的數(shù)學(xué)活動;理解課堂，捕捉生成性資源;理解評價，落實核心素養(yǎng)等四個方面進行多角度理解，提升教師的學(xué)科素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】理解數(shù)學(xué) 理解兒童 理解課堂 理解評價

一、理解數(shù)學(xué)，讀懂知識間內(nèi)在聯(lián)系

對于理解數(shù)學(xué)，筆者從橫、縱兩方面入手：一方面從最初僅僅關(guān)注課時的知識技能到三維目標(biāo)，再到對一個知識點四個維度的追問，關(guān)注學(xué)科的育人價值;另一方面就是從課時到單元，從單元到主題，從主題到核心概念再到數(shù)學(xué)的思想方法。

1.讀懂一個知識點的來龍去脈，做到舉一反三

孫曉天教授曾經(jīng)指出，作為一名數(shù)學(xué)教師要有意識地提高自己的專業(yè)素養(yǎng)，樹立基于“全面知識”的教學(xué)觀。教師對傳授的數(shù)學(xué)知識要有足夠的見識和視野，見識和視野從哪里來？來源于對四個問題的關(guān)注：為什么？是什么？干什么？怎么干？也就是從一個知識點的四個維度去思考，想清楚、說明白，進一步讀懂教材。

“為什么”是指教育價值，一般有三個角度要考慮：即該內(nèi)容在學(xué)生未來的生活里會有什么用？在學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)中是什么角色？有哪些獨到的教育意義？在備課“認(rèn)識面積”時，這是圖形與幾何領(lǐng)域中的測量內(nèi)容，幾何學(xué)源自圖形大小的度量。筆者關(guān)注到了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，從長度（周長）到面積再到體積，從幾何量的學(xué)習(xí)到常見量的學(xué)習(xí)，其本質(zhì)都是單位和單位個數(shù)累積的結(jié)果，其背后蘊含著度量思想，也和數(shù)的概念、數(shù)的計算學(xué)習(xí)是相通的，它們都與單位和單位個數(shù)有關(guān)。

“是什么”是指數(shù)學(xué)意義，是在表面的意義基礎(chǔ)上發(fā)掘其本質(zhì)。對于面積，書上描述性的概念是物體表面或平面圖形的大小叫作它們的面積。面積的學(xué)習(xí)要體現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)化：第一，要讓學(xué)生明白面積單位的個數(shù)就是面積;第二，每一行擺幾個面積單位和長有關(guān)，擺了幾行和寬有關(guān)。這就是一維和二維之間的轉(zhuǎn)化。長度就是長度單位個數(shù)的累加，體積就是體積單位個數(shù)的累加。常見量的學(xué)習(xí)也是如此，時間就是時間單位個數(shù)的累加，質(zhì)量就是質(zhì)量單位個數(shù)的累加……所以數(shù)數(shù)能讓兒童在活動中感受到度量的本質(zhì)。什么是度量？度量是指在現(xiàn)實世界中，把數(shù)字或符號指定給實體的某一屬性，以便以這種方式來根據(jù)已明確的規(guī)則來描述它們。

“干什么”是指用場與發(fā)展?！罢J(rèn)識面積”是對一個圖形大小的刻畫。面積是小學(xué)學(xué)習(xí)的七個與度量相關(guān)的量之一。度量有四要素，包括對象、工具、單位和測量值。面積是二維的度量對象，它既能體現(xiàn)直接度量的結(jié)果，也為面積的計算奠定了基礎(chǔ);而且面積是溝通長度和體積的橋梁，我們都知道線動成面、面動成體，這也是為什么“長×寬”就能計算出面積、“底面積×高”就能得出體積，而核心是不論面積、體積最終都離不開對長度的測量。面積是用長、寬兩個維度的數(shù)刻畫的;體積是用長、寬、高三個維度的數(shù)刻畫的。

“怎么干”是指具體的實施途徑或方法?！罢J(rèn)識面積”的教學(xué)首先讓兒童感知面在哪兒，接著在直接觀察和重合比較中感知面有大小;然后可以讓他們用身邊的物品做標(biāo)準(zhǔn)去密鋪準(zhǔn)備好的長方形、數(shù)學(xué)書、練習(xí)本、課桌面等，感知得出的數(shù)值不一致，無法交流，因此產(chǎn)生了統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的需求，學(xué)習(xí)面積單位平方分米、平方厘米、平方米。從多個例證中得出面積單位的個數(shù)就是它們的面積，也就是這個物體或圖形的大小。

教師如果對每一個具體的教學(xué)內(nèi)容都能從為什么、是什么、干什么、怎么干的角度追問，不斷思考，就能逐步完善對每個課時的理解，做到胸有成竹。在此基礎(chǔ)上就能逐步實現(xiàn)“整體把握”，從而不斷體會“學(xué)科的育人價值”，明白教什么。

2.尋找一個知識點的前世今生，做到融會貫通

讀懂教材的第二層面就是從課時到單元，從單元到主題，從主題到核心概念（思想）。這就是整體把握和單元教學(xué)。分析教材時既要清楚每個課時在自然單元中的地位和前后知識間的聯(lián)系，還要清楚它與這個大主題之間的前后勾連，更重要的是背后的核心概念是什么以及滲透的數(shù)學(xué)思想方法是什么。

我們以“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元為例?！胺?jǐn)?shù)的意義”包括部分和整體之間的關(guān)系和兩個數(shù)量之間的關(guān)系，它和已學(xué)的倍、份有著密不可分的聯(lián)系。而在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)意義時，借助分?jǐn)?shù)墻體會度量的含義，分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)單位和單位個數(shù)累加而成的。而分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、約分和通分都涉及分?jǐn)?shù)單位和分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)，也可以借助分?jǐn)?shù)墻學(xué)習(xí)知識，感知背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

約分，把分?jǐn)?shù)化成最簡分?jǐn)?shù)，約分的過程中分子和分母在變小，要想分?jǐn)?shù)大小不變，分子和分母就要同時除以相同的數(shù)，這個數(shù)就是分子和分母的公因數(shù)。分?jǐn)?shù)單位在變大，分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)卻在變少，所以說約分的過程中變的是分?jǐn)?shù)單位和分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)，不變的是分?jǐn)?shù)的大小。

通分就是分?jǐn)?shù)單位變小，分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)變多，不變的是分?jǐn)?shù)的大小。

分?jǐn)?shù)的意義和整數(shù)的意義、小數(shù)的意義的學(xué)習(xí)都是一樣的，學(xué)習(xí)時都是從數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)的關(guān)系和數(shù)的應(yīng)用四個方面進行的。這四個方面都是緊緊圍繞“單位和單位個數(shù)”。

除此之外，分?jǐn)?shù)的大小比較，分?jǐn)?shù)的加、減法都和單位、單位個數(shù)有關(guān)系;分?jǐn)?shù)的大小比較，比的是相同計算單位的個數(shù);分?jǐn)?shù)加、減法的計算，同分母分?jǐn)?shù)，分母不變，只把分子相加、減，加的就是相同計數(shù)單位的個數(shù);異分母分?jǐn)?shù)，先通分，通分的目的就是轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，先統(tǒng)一單位，再計算。因為數(shù)與代數(shù)中的數(shù)概念、數(shù)計算與圖形與幾何中的度量也有聯(lián)系。最終都歸結(jié)到單位和單位的個數(shù)。

備課、磨課都要緊緊圍繞“教什么”，先從一課時的四個維度思考，接著把課時放到自然單元中，弄清楚每個課時與單元之間的關(guān)系，再從主題的高度建立聯(lián)系，理解數(shù)學(xué)知識的文化背景以及知識背后蘊含的數(shù)學(xué)思想，尋找知識點背后有沒有相通的地方，能不能從主題拓展到其他領(lǐng)域，從而抓住核心概念，滲透思想，進而感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，這里也包括多版本教材的對比溝通。這樣從橫、縱知識間的聯(lián)系入手，進一步理解數(shù)學(xué)，提升教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、理解兒童，設(shè)計有價值的數(shù)學(xué)活動

兒童是教學(xué)的起點和歸宿。理解兒童，清晰兒童的認(rèn)知起點，從已有經(jīng)驗和年齡特點出發(fā)，關(guān)注個性和思維層次，才能清楚“怎么教”。設(shè)計符合兒童認(rèn)知規(guī)律的問題情境和數(shù)學(xué)活動，拉長知識學(xué)習(xí)的過程，做到知其然更知其所以然，把理解與運用作為課堂教學(xué)的重點，改變以往重結(jié)果輕過程的理念;增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，了解數(shù)學(xué)的價值，從而促進兒童對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。

《約分》是應(yīng)用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的一節(jié)知識技能課，怎樣讓兒童體會到為什么要學(xué)習(xí)約分？價值何在？難道僅僅是應(yīng)用“分?jǐn)?shù)的分子、分母同時除以一個相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變”嗎？

創(chuàng)設(shè)情境：王伯伯有一塊正方形的菜地，他想把這塊菜地進行規(guī)劃，用這塊菜地的種西紅柿，請你在正方形紙上畫出種西紅柿的區(qū)域。

交流時教師選取了四種情況：

（1） 要把正方形平均分成100份，表示這樣的75份，有點多，有點麻煩，我還沒畫完呢。有沒有簡單的畫法？

（2）是把正方形平均分成100份，表示這樣的75份，畫完了。

（3）是把正方形平均分成20份，表示這樣的15份。

（4）是把正方形平均分成4份，表示這樣的3份。

核心問題：王伯伯要用這塊菜地的種西紅柿，還有的畫了和，行嗎？

這樣的設(shè)計更容易讓學(xué)生接受，體現(xiàn)了學(xué)生的認(rèn)知從困惑、不簡潔到簡潔的過程，由淺入深、循序漸進地解釋概念以及概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而讓兒童感知這三個分?jǐn)?shù)的大小不變，只是分子、分母不同。約分就是把分?jǐn)?shù)單位變大、分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)變少的過程。現(xiàn)實的問題情境是讓兒童了解知識的來龍去脈，體現(xiàn)學(xué)習(xí)知識的價值性，從有意思到有意義，從而凸顯數(shù)學(xué)的核心概念，感知數(shù)學(xué)本質(zhì)。

三、理解課堂，捕捉生成性資源

課堂是精心預(yù)設(shè)與生成的辯證統(tǒng)一。課堂上有許多意想不到的內(nèi)容，善于捕捉就能成為資源：差異是一種資源，能升華兒童的思考;錯誤是一種生成資源，能把握他們的認(rèn)知基礎(chǔ);疑問是一種資源，能提高他們的應(yīng)用意識，詮釋數(shù)學(xué)的價值性;獨到見解是一種資源，能滲透數(shù)學(xué)思想方法，突破已有的思維定式。

還以《約分》一課為例。一般情況下，教師會出示三種已經(jīng)完成的畫法，對于半成品的價值挖掘不夠。就是這沒有完成的作品，教師捕捉到之后，能讓學(xué)生在對比中體會出75/100要均分成100份中的75份，畫起來比較費時、費力。從麻煩中尋找簡潔、探究通性通法，體會“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”中，分子、分母同時除以相同的數(shù)（零除外），就會使分子、分母變小，從而畫著簡單、寫著簡單、看著簡單、算著也簡單。

核心問題下的小追問“為什么和其他兩個分?jǐn)?shù)不一樣”的問題，進一步學(xué)習(xí)什么是最簡分?jǐn)?shù)以及如何化成最簡分?jǐn)?shù)的過程：可以逐步約分，也可以一次約分。從法到理，理法交融，這也是體現(xiàn)了計算中的“理解算理，掌握算法，處理好算理直觀和算法抽象之間的關(guān)系”。由此可見，理解課堂、調(diào)控課堂，捕捉生成性資源也能提高教師的學(xué)科素養(yǎng)。

四、理解評價，落實核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：學(xué)習(xí)評價的主要目的是全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果，激勵學(xué)生學(xué)習(xí)和改進教師教學(xué)。應(yīng)建立目標(biāo)多元、方法多樣的評價體系。評價既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要重視學(xué)習(xí)的過程;既要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，也要重視學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認(rèn)識自我、建立信心。

對于長方體、正方體的體積學(xué)習(xí)，教師都會讓學(xué)生進行操作，用作為體積單位的小正方體去鋪滿一個長方體、正方體的盒子或者擺成一個長方體、正方體，感受體積就是體積單位個數(shù)的累加，長方體的體積為什么可以用“長×寬×高”來計算？“長×寬”就是一層有多少個小正方體，再“×高”就是有幾層。那對于體積學(xué)習(xí)的評價，除了有計算體積解決實際問題外，還可以讓學(xué)生說道理。例如：

請你觀察下圖，回答問題。

（1） 計算它們的體積。

（2） 把小軍的話補充完整。

（3） 幫助小紅解決困惑，寫清楚解釋的過程。

三道小題，考查點從知識技能到活動經(jīng)驗的積累和再現(xiàn)，用數(shù)學(xué)的語言表達和交流，理解長方體的體積這樣計算的道理和空間觀念。左邊的長方體用棱長1厘米的小正方體去擺，一行擺了4個，擺了3行，接著又?jǐn)[了1層，2層一共擺了24個1立方厘米，就是24立方厘米。它的體積用4×3×2計算;邊的長度是整數(shù)時，說道理比較容易，只要曾經(jīng)操作過，他們就能利用表象表達得有條有理;而對于棱長是小數(shù)時，一般情況下，他們會用0.2×0.2×0.2=0.008（立方厘米），該用多大的體積單位去擺呢？這是學(xué)生的困惑。當(dāng)他們想到用棱長是1毫米的小正方體木塊去擺的時候，一行擺2個，擺2行，又?jǐn)[了2層，一共是8個1立方毫米，就能體會棱長是小數(shù)，細化單位后也能鋪滿，也能利用“棱長×棱長×棱長”求出正方體的體積，真正做到教、學(xué)、評測的統(tǒng)一。

理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解課堂、理解評價等，多角度理解，打開視域。對教師而言，通則暢通無阻，從知識點的羅列到知識關(guān)聯(lián)，再到數(shù)學(xué)核心概念、思想方法，最終體會數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。對課堂來說，就是在教學(xué)過程中理解概念、習(xí)得方法、滲透思想、獲得智慧，提高學(xué)生的能力，不斷建構(gòu)屬于自己的知識結(jié)構(gòu)。讓三維目標(biāo)在每一節(jié)課中得到落實，讓教和學(xué)得到和諧統(tǒng)一;在提升學(xué)生的核心素養(yǎng)的同時，達到教學(xué)相長雙贏的價值追求。