陶贏春

[摘 要]推理是數(shù)學(xué)的基本思維形式。教師要充分挖掘教材中有利于培養(yǎng)學(xué)生推理能力的素材和資源，引導(dǎo)學(xué)生合理猜想，使推理有理有據(jù);把握方法，使推理得法; 反思過(guò)程，使推理穩(wěn)中有進(jìn)。最終，不斷發(fā)展學(xué)生的理性思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]推理能力;猜想;反思;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）14-0064-02

數(shù)學(xué)教育的目的是教會(huì)學(xué)生以數(shù)學(xué)的視角觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)思維的重要組成部分。新課標(biāo)明確指出：“讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)?！蓖评硎菙?shù)學(xué)的基本思維形式，并廣泛應(yīng)用于人們的學(xué)習(xí)和生活之中。新課標(biāo)愈來(lái)愈重視學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，推理能力的培養(yǎng)自然成為重中之重。下面，筆者通過(guò)理論研究并結(jié)合自身工作經(jīng)驗(yàn)，論述在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生推理能力的基本策略，力圖為廣大教育同仁提供借鑒和思考。

一、合理猜想，使推理有理有據(jù)

數(shù)學(xué)家波利亞曾言：“一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家一定是個(gè)猜想家，猜想是數(shù)學(xué)研究必備的基本能力?！辈孪胧峭评淼那白?，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法，也是形成數(shù)學(xué)推理的前提，很多數(shù)學(xué)規(guī)律都是通過(guò)猜想發(fā)現(xiàn)的。在教學(xué)中，教師可創(chuàng)設(shè)一定的問(wèn)題情境，為學(xué)生的猜想提供機(jī)會(huì)和平臺(tái)，讓學(xué)生在觀察、分析、思考的基礎(chǔ)上形成某種猜想，然后通過(guò)操作、實(shí)驗(yàn)、討論等形式驗(yàn)證猜想，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)推理能力的不斷提升。

例如，“圓的周長(zhǎng)”教學(xué)片段。

師：這節(jié)課我們研究圓的周長(zhǎng)。在這之前，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了哪些圖形的周長(zhǎng)？

生1：學(xué)過(guò)長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)。

師：它們是如何計(jì)算的呢？

生2：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)等于長(zhǎng)加寬的2倍。

生3：正方形的周長(zhǎng)等于邊長(zhǎng)的4倍。

生4：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)與它的長(zhǎng)和寬有關(guān)。

生5：正方形的周長(zhǎng)與它的邊長(zhǎng)有關(guān)。

師：那么，你認(rèn)為圓的周長(zhǎng)與哪些因素有關(guān)？

生6：我猜圓的周長(zhǎng)應(yīng)該與它的直徑或者半徑有關(guān)。

生7：是的，我用圓規(guī)畫(huà)圓時(shí)，發(fā)現(xiàn)圓規(guī)兩“腳”之間的距離（半徑）越大，圓的面積就越大。

生8：我想圓的周長(zhǎng)跟它的直徑或半徑之間應(yīng)該也存在固定的倍數(shù)關(guān)系。

……

不少教師在講授圓的周長(zhǎng)時(shí)，直接切入主題，要求學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系，錯(cuò)失了培養(yǎng)學(xué)生猜想和推理能力的大好時(shí)機(jī)。盡管這種“短、平、快”的教學(xué)方式最后也能使學(xué)生得出正確結(jié)論，但是學(xué)生卻不明白為什么要論證圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系，處于“只知其一，不知其二”的朦朧狀態(tài)。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)的相關(guān)規(guī)律，并由此猜想圓的周長(zhǎng)與直徑或半徑之間也存在類(lèi)似的規(guī)律，這不但培養(yǎng)了學(xué)生的猜想能力和推理能力，還使得下一步的探究變得水到渠成，學(xué)生在認(rèn)知和思維上也形成了一個(gè)完整的鏈條。

二、把握方法，使學(xué)生推理得法

“授人以魚(yú)，不如授人以漁?！迸囵B(yǎng)學(xué)生的推理能力，教給學(xué)生常用的推理方法和推理技巧極為必要。學(xué)生只有掌握推理方法，親歷推理的過(guò)程，才能不斷感悟推理的奧妙，從而提升推理能力。推理大致可以分為合情推理和演繹推理兩種類(lèi)型，而合情推理又可以進(jìn)一步分為歸納推理和類(lèi)比推理。

（一）合情推理

1.歸納推理

歸納推理是人們認(rèn)識(shí)世界的一種重要的思維形式，它指的是根據(jù)一類(lèi)事物中部分對(duì)象具有某種性質(zhì)，由此推測(cè)出這類(lèi)事物都具有這種性質(zhì)。由此可見(jiàn)，歸納推理是一種從個(gè)別到一般的推理過(guò)程。歸納推理通常是在人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上得出結(jié)論，如通過(guò)觀察、比較、分析、實(shí)驗(yàn)等形成對(duì)研究對(duì)象的共性認(rèn)識(shí)，最后歸納出相關(guān)結(jié)論。

師：請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算“1×1;11×11;111×111”。

生1： 1×1=1;11×11=121;111×111=12321。

師：那1111×1111呢？

生2：1111×1111=1234321。

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)其中有什么規(guī)律了嗎？

生3：乘數(shù)各個(gè)數(shù)位上都是1，如果乘數(shù)的數(shù)位上有2個(gè)1，那么積各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字就從1依次加1加到2，再?gòu)?依次減1減到1，即121。如果乘數(shù)的數(shù)位上有3個(gè)1，那么積各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字就從1依次加1加到3，再?gòu)?依次減1減到1，即12321;如果乘數(shù)的數(shù)位上有4個(gè)1，那么積各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字就從1依次加1加到4，再?gòu)?依次減1減到1，即1234321。

師：總結(jié)得真好。那么，現(xiàn)在你們能推出11111111×11111111的結(jié)果嗎？

生4：11111111×11111111=123456787654321。

生5：這種推理的方法真好，這類(lèi)算式不管再大的數(shù)我都能算出來(lái)了。

歸納推理能夠使學(xué)生從不多的事實(shí)材料中迅速發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)規(guī)律，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性。教學(xué)中，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生分析個(gè)例，從個(gè)例中發(fā)現(xiàn)此類(lèi)算式具有的一般性規(guī)律，并通過(guò)這種規(guī)律使得問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)單，這也證實(shí)了推理的實(shí)用價(jià)值。

2.類(lèi)比推理

與歸納推理不同，類(lèi)比推理指的是依據(jù)兩類(lèi)事物的本質(zhì)相似性，根據(jù)某類(lèi)事物具有某一性質(zhì)或規(guī)律而推測(cè)出另一類(lèi)事物也具有該性質(zhì)或規(guī)律。由此可以看出，類(lèi)比推理是一種從個(gè)別到個(gè)別的推理方法。類(lèi)比推理是學(xué)生分析和解決問(wèn)題的重要手段，其有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題、創(chuàng)新問(wèn)題，還可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力，激活學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

例如， “比的基本性質(zhì)”教學(xué)片段。

師：我們知道，兩個(gè)數(shù)相除，又叫作這兩個(gè)數(shù)的比。那么，與除法相比，比的前項(xiàng)相當(dāng)于什么？比的后項(xiàng)相當(dāng)于什么？比號(hào)又相當(dāng)于什么？

生1：比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)，比的后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，比號(hào)相當(dāng)于除號(hào)。

師：與分?jǐn)?shù)相比，比的前項(xiàng)、后項(xiàng)和比號(hào)與分?jǐn)?shù)存在怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？

生2：比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，比的后項(xiàng)相當(dāng)于分母，比號(hào)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)線。

師：除法算式商不變的規(guī)律是什么？

生3：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。

師：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)呢？

生4：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

師：根據(jù)比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，并結(jié)合商不變規(guī)律以及分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：由于比和除法、分?jǐn)?shù)具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以商不變規(guī)律和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)應(yīng)該也適用于比。

生6：也就是說(shuō)比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，比值的大小不變。

類(lèi)比推理的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是“再創(chuàng)造”的過(guò)程。教學(xué)中，教師從新舊知識(shí)的銜接點(diǎn)入手，使學(xué)生在比和除法、分?jǐn)?shù)之間建立起本質(zhì)的聯(lián)系。學(xué)生通過(guò)類(lèi)比推理把商不變規(guī)律和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)遷移至對(duì)“比”的理解之中，由此推理出比的基本性質(zhì)，不但有效溝通了新舊知識(shí)的聯(lián)系，還培養(yǎng)了學(xué)生的類(lèi)比推理能力。

（二）演繹推理

演繹推理具有驗(yàn)證結(jié)論正確性的作用，經(jīng)常用于邏輯推理和數(shù)學(xué)證明中。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，盡管較少要求嚴(yán)格、縝密的演繹推理，但是演繹推理可以提升學(xué)生思維的嚴(yán)密性，使學(xué)生的思維更具靈活性和連貫性。教師在教學(xué)中向?qū)W生滲透演繹推理的方法和理念，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展具有重要意義。

例如，在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形”推出“只有一組對(duì)邊平行的四邊形不是平行四邊形”;由“銳角的度數(shù)小于直角，直角的度數(shù)小于鈍角”推出“銳角的度數(shù)小于鈍角”;由“所有的長(zhǎng)方形都是平行四邊形，所有的正方形都是長(zhǎng)方形”推出“所有的正方形都是平行四邊形”。

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表述演繹推理的基本過(guò)程，體驗(yàn)演繹推理的基本思想，能夠提升學(xué)生思維的縝密性和數(shù)學(xué)表達(dá)能力。

三、反思過(guò)程，使推理穩(wěn)中有進(jìn)

數(shù)學(xué)家波利亞曾言：“ 沒(méi)有一道題目可以解決得十全十美，總剩下些工作要做， 經(jīng)過(guò)充分的探討總結(jié)， 總會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進(jìn)這個(gè)解答， 而且在任何情況下，我們都能提高自己對(duì)這個(gè)解答的理解水平?！苯虒W(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)對(duì)推理過(guò)程進(jìn)行回顧和反思，不但能夠使學(xué)生對(duì)推理過(guò)程的認(rèn)識(shí)更加清晰，還能夠使學(xué)生及時(shí)吸納、內(nèi)化一些有意義的推理經(jīng)驗(yàn)和方法。

例如， “比的基本性質(zhì)”教學(xué)片段。

師：你們是如何發(fā)現(xiàn)比的基本性質(zhì)的？

生1：我一開(kāi)始想到的是比和除法、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，然后才進(jìn)一步猜想商不變規(guī)律和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)對(duì)于“比”也是適用的。

師：做出這樣的推理，最重要的依據(jù)是什么？

生2：是比和除法、分?jǐn)?shù)之間的密切聯(lián)系。

師：你是如何驗(yàn)證自己的結(jié)論的？

生2：我把比寫(xiě)成分?jǐn)?shù)或除法的形式，再利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和商不變規(guī)律來(lái)驗(yàn)證。

……

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)推理的過(guò)程進(jìn)行了反思。通過(guò)回溯推理過(guò)程，學(xué)生對(duì)推理過(guò)程的理解更加深刻，為積累推理經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)推理能力的進(jìn)一步發(fā)展奠定了良好基礎(chǔ)。

推理能力是學(xué)生核心素養(yǎng)的重要組成部分，推理能力的培養(yǎng)應(yīng)該貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。然而，推理能力的培養(yǎng)并不是一蹴而就的，需要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的積累和感悟。因此，教師要充分挖掘教材中有利于培養(yǎng)學(xué)生推理能力的素材和資源，傳授學(xué)生常用的推理方法，引導(dǎo)學(xué)生用推理的方式思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，不斷發(fā)展學(xué)生的理性思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（責(zé)編 羅 艷）