李 力 高 遠(yuǎn) 張邦忠
(1. 重慶市清華中學(xué),重慶 400054; 2. 重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué),重慶 401320)
在中學(xué)物理教學(xué)中,常見如下“擺球推方塊”模型:[1]如圖1所示,長為L的輕桿上端固定一質(zhì)量為m的小球A(可視為質(zhì)點(diǎn)),桿的下端用鉸鏈固接于水平面上的O點(diǎn),置于同一水平面上質(zhì)量為M的立方塊B恰與A接觸。今有微小擾動使桿向右傾倒,從而擺球推著方塊向右運(yùn)動.若不計(jì)各處摩擦,試問擺球與方塊在何處分離?
圖1
通常憑直覺會判斷出,二者分離瞬間輕桿轉(zhuǎn)過的角度θ應(yīng)該與方塊、小球質(zhì)量比k=M/m有關(guān),而且質(zhì)量比越大時,即越輕的小球推越重的方塊,推動會越困難,所以分離位置應(yīng)該越滯后.本文將通過數(shù)理分析得到它們之間的定量關(guān)系,最后探討與之緊密相關(guān)的3個結(jié)論及其物理意義.
假設(shè)經(jīng)一段時間,二者位形如圖2所示.由速度關(guān)聯(lián)和機(jī)械能守恒定律分別得
vAcosθ=vB.
(1)
(2)
令k=M/m,則解得
(3)
圖2
二者分離時方塊速度vB最大,從而vB2達(dá)到最大.為簡便計(jì),可等價(jià)考慮以下函數(shù)f(θ)的最值:
(4)
kcos3θ+3cosθ-2=0.
(5)
圖3
現(xiàn)在研究分離時輕桿對小球的作用力F.首先,通常輕桿對小球的作用力未必沿桿,但本問題中此力必然沿桿方向,原因是:對輕桿考慮對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動定律,0轉(zhuǎn)動慣量(值為0)乘以有限的角加速度(可以為0)等于為0的外力矩,從而球?qū)U的作用力必然通過轉(zhuǎn)軸沿桿方向,再由牛頓第三定律知桿對小球的作用力沿桿.換言之,如果小球?qū)U的作用力不沿桿方向,則外力矩不為0,在不計(jì)轉(zhuǎn)動慣量的輕桿上會產(chǎn)生與實(shí)際不符的無窮大角加速度.
其次,由于分離瞬間方塊加速度為0,從而小球的水平加速度也為0.另一方面,小球所受重力豎直向下,如果沿桿方向輕桿對小球作用力不為0,則水平方向必有其分力,故水平加速度不可能為0,這個矛盾說明分離瞬間必有F=0.由以上分析不難判斷出“在分離之前輕桿向外頂小球,之后向內(nèi)拉小球”.這樣可得結(jié)論3:“無論質(zhì)量比k與分離角度θ如何,分離時桿對小球的作用力F均為0”.
分離位置以后,方塊以分離瞬間速度水平向右勻速前進(jìn),小球繼續(xù)沿圓弧下擺,其水平速度一直減小直至豎直落地時水平速度為0,可見分離位置之后二者完全分開沒有接觸.
(6)
從(6)式也可看出k→∞時有θ→π/2.(5)式和(6)式其實(shí)是分離角度θ與質(zhì)量比k之間函數(shù)關(guān)系的兩種顯式表達(dá)和一種隱式表達(dá),它們彼此是等價(jià)的.