余 正，陳 娟

（1.河北省水利規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院有限公司，石家莊 050021；2.珠江水利科學(xué)研究院，廣州 510611；3.水利部珠江河口動(dòng)力學(xué)及伴生過(guò)程調(diào)控重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510611）

納污能力的計(jì)算是落實(shí)水資源管理制度的一項(xiàng)重要工作。 目前，水域納污能力計(jì)算大多數(shù)是針對(duì)確定信息下納污能力計(jì)算［1-5］，對(duì)信息不確定性研究相對(duì)較少［6］。 本文通過(guò)未確知數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)未確知信息下水域納污能力進(jìn)行處理，為水域納污能力計(jì)算提供參考。

1 未確知數(shù)理論

1.1 未確知數(shù)定義

設(shè)未知數(shù)A=［（x1，xn），?（x）］，其中

則稱閉區(qū)間（x1，xn）與函數(shù)F（x）構(gòu)成分布型未確知數(shù)，記作{（x1，xn），F(xiàn)（x）}。稱a，（x1，xn）和F（x）分別為該分布型未確知數(shù)的總可信度、分布區(qū)間和可信度分布函數(shù)。

1.2 未確知數(shù)運(yùn)算

設(shè){xi}（i=1，2，…，n），{yj}（j=1，2，…，m）分別為未確知數(shù)A、B的可能值序列，f（xi）（i=1，2，…，n），g（yj）（j=1，2，…，m）分別為A，B可信度序列。 則

稱為A與B的可信度積矩陣。

其中A與B可能和矩陣中第i行第j列元素（xi+yj）與可信度積矩陣中的第i行第j列元素（f（xi）g（yj））相對(duì)應(yīng)。

A與B可能和矩陣中元素按小至大順序排列z1，z2，…，zk，其中相同元素算1個(gè)，A與B可信度積矩陣中zi（i=1，2，…，k）的相應(yīng)元素為r1，r2，…，rk。 若zi在A與B可能和矩陣有l(wèi)個(gè)不同位置，則ri表示l個(gè)相同元素在A與B可信度積矩陣中對(duì)應(yīng)元素之和。

稱未確知數(shù)［（z1，zl），?（z）］為A與B的和，記作A+B。

將運(yùn)算中A+B中“+”改為“-”、“×”、“÷”，即可變?yōu)榭赡苤挡罹仃嚒⒖赡苤捣e矩陣、可能值商矩陣，其他一切不變。 對(duì)于“÷”，要求yj的區(qū)間中不能為0（j=1，2，…，m）。

2 納污能力未確知數(shù)學(xué)模型的建立

本研究以污染物在橫斷面上均勻混合的一維河流模型為例，納污能力計(jì)算公式如下：

式中 M為水域納污能力（g/s）；Cs為水質(zhì)目標(biāo)濃度值（mg/L）；C0為初始斷面的污染物濃度 （mg/L）；K為污染物綜合衰減系數(shù)（1/s）；L沿河段的縱向距離（m）；Q為初始斷面的入流流量（m3/s）；u為設(shè)計(jì)流量下的河道斷面的平均速度（m/s）。

若令Q、u為未確知數(shù)，根據(jù)未確知數(shù)定義，可將式（1）表示為：

式中 Cs，C0，K，L為實(shí)數(shù)，符號(hào)意義同上；{（x1，xn），u（x）}為流速（m/s）；{（y1，ym），Q（y）}為初始斷面的入流流量（m3/s）。 由于引入了未確知數(shù)，納污能力M不再是一個(gè)確定值。這里稱式（2）為一維河流納污能力未確知數(shù)學(xué)模型。同理，可將此方法擴(kuò)展至一維河流納污能力數(shù)學(xué)模型其他參數(shù)，如C0，K；也可擴(kuò)展至納污能力計(jì)算常用的零維模型及二維模型。

通過(guò)未確知數(shù)運(yùn)算最終能得到納污能力未確知數(shù)M=［（x1，xn），?（x）］，其中

3 實(shí)例研究

3.1 河道資料

某河道長(zhǎng)L=15km，水質(zhì)目標(biāo)Cs=20mg/L，初始斷面污染物濃度C0=18mg/L， 污染物綜合衰減系數(shù)K=1.2×10-6/s。通過(guò)對(duì)該河道水文資料統(tǒng)計(jì)，得到流速u(mài)（m/s）；流量Q（m3/s）。 未確知信息為：

3.2 納污能力及可信度計(jì)算

如果A，B，C，D均為實(shí)數(shù)計(jì)算是沒(méi)有問(wèn)題的，但當(dāng)A，B，C，D為未確知數(shù)時(shí)， 兩種方式得出的計(jì)算結(jié)果不一樣。 原因在于C和D中均含有未確知數(shù)Q，即C和D是有關(guān)聯(lián)的，不能當(dāng)成獨(dú)立的未確知數(shù)。

因此，M=A×B，其中

A與B的可能值積矩陣及可信度積矩陣如表1和表2。

表1 A與B的可能值帶邊積矩陣

表2 A與B的可信度帶邊積矩陣

A與B的可能積矩陣中元素按小至大順序排列及A與B可信度積矩陣中對(duì)應(yīng)元素，得到{（z1，zl），?（z）}。

A×B=［（111.68，744.75），?（z）］={（111.68，744.75），F(xiàn)（z）}

?（z）及F（z）的計(jì)算值如表3，即得到該河道納污能力可能值及相應(yīng)的可信度分布。

表3 納污能力可能值及相應(yīng)的可信度

續(xù)表3

3.3 結(jié)果分析

由表3可看出， 納污能力計(jì)算結(jié)果主要出現(xiàn)在［111.68，744.75］ 區(qū)間范圍內(nèi)， 并且在區(qū)間［283.92，397.20］內(nèi)出現(xiàn)的主觀可能性最大，相應(yīng)的區(qū)間可信度達(dá)到36%，其次在區(qū)間［223.36，283.92］內(nèi)出現(xiàn)的主觀可能性也較大，相應(yīng)的區(qū)間可信度為18%。 由此可以看出，運(yùn)用未確知數(shù)進(jìn)行水域納污能力計(jì)算，不僅能得到水域納污能力區(qū)間值， 還能得到相應(yīng)的主觀可信度。同時(shí)，也可求得未確知信息下的納污能力確定值，這可為決策者提供更豐富、更準(zhǔn)確的信息。

目前，我國(guó)許多河流、湖（庫(kù)）存在水文、水質(zhì)資料較少，信息不全的實(shí)際情況，這為未確知數(shù)在該領(lǐng)域的應(yīng)用提供了廣闊的發(fā)展空間。

4 結(jié)語(yǔ)

（1）實(shí)例研究表明，運(yùn)用未確知數(shù)進(jìn)行不確定性信息下的水域納污能力計(jì)算，理論上可行，計(jì)算結(jié)果可靠，為納污能力計(jì)算提供了一種新方法。

（2）納污能力未確知數(shù)運(yùn)算中需注意未確知數(shù)間的獨(dú)立性，避免與同一未確知數(shù)有關(guān)聯(lián)。