曹君

一、導(dǎo)語

類比是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的教學(xué)方法，本質(zhì)上建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)思維。所謂的類比是指讓學(xué)生通過對相近公式、定律、例題等進(jìn)行分析，比較兩者之間的相似處和差異點(diǎn)，進(jìn)而在此基礎(chǔ)上由表及里、由此及彼推導(dǎo)出結(jié)論。初中學(xué)段尤其是公辦初中，受制于學(xué)生學(xué)習(xí)能力、思維習(xí)慣和學(xué)習(xí)態(tài)度等方面的因素，總體而言，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動能相對薄弱，抽象思維、推導(dǎo)能力均明顯不足?；谶@樣的學(xué)情，教師必須從學(xué)生能學(xué)、會學(xué)、善學(xué)的角度出發(fā)，遵循初中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的認(rèn)知規(guī)律，從學(xué)生有切身感知，有一定學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的方向入手，分階段、有步驟地依據(jù)已經(jīng)學(xué)過的知識順理承接到新知識的學(xué)習(xí)中。只有這樣，才能真正體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的理念，才能真正實(shí)現(xiàn)新舊知識之間的無縫對接，也才能讓學(xué)生在潛移默化間掌握新授知識。

《可化為一元一次方程的分式方程》是七年級數(shù)學(xué)第十章分式中重要內(nèi)容之一，它既承接了“分式”，又聯(lián)系了“方程”，通過類比“分式”和“整式方程”的知識來學(xué)習(xí)，不僅能加深學(xué)生對分式的理解，更能拓寬有關(guān)方程的知識體系，從而搭建新舊知識的思維聯(lián)系，降低感知的難度，促進(jìn)知識的有效遷移，從而達(dá)到調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，真正做到提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。換而言之，所謂的類比，一方面承上啟下，在類比方法的運(yùn)用中推動數(shù)學(xué)本體知識之間的融會貫通。另一方面，類比方法的運(yùn)用是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科能力培養(yǎng)的重要載體，是知識建模、方法遷移、綜合運(yùn)用的有效途徑，是落實(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)中的主體地位，體現(xiàn)綠色生態(tài)課堂，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)?；诖?，教師依據(jù)學(xué)校學(xué)生實(shí)際情況，在《可化為一元一次方程的分式方程》一課中嘗試運(yùn)用類比方法，對“分式”和“整式方程”在性質(zhì)、推論等方面進(jìn)行對比分析，循循善誘，幫助學(xué)生找出兩者的共同點(diǎn)和差異性，給予學(xué)生拾級而上的臺階，在相互比較中領(lǐng)會知識要點(diǎn)，加深對“分式方程”的理解和認(rèn)識，通過對比，逐步實(shí)現(xiàn)單線知識向多維知識的轉(zhuǎn)換和遷移，把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力和理解水平。

二、案例分析

（一）類比舊知，形成概念

數(shù)學(xué)的抽象性以及公辦初中學(xué)生學(xué)力的相對薄弱性決定了在概念教學(xué)中，學(xué)生常常把握不住概念的內(nèi)涵和外延，不能領(lǐng)會其本質(zhì)屬性，從而導(dǎo)致在具體的概念運(yùn)用中理解不深刻、解題不準(zhǔn)確。因此，從學(xué)情出發(fā)，從學(xué)生已有知識入手，運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)思想，通過已知概念架構(gòu)新概念的模型，在相對緊密的新舊概念的對比分析中幫助學(xué)生厘清概念間的關(guān)系或聯(lián)系，正確區(qū)分其中的差異，明晰兩者之間的關(guān)聯(lián)是數(shù)學(xué)概念教學(xué)中理解新知的較好方法。

在傳授《可化為一元一次方程的分式方程》一課中，教師以類比切入，在引入分式方程概念的教學(xué)中，做了如下設(shè)計：

上述愿個式子具有典型特征，部分為方程，部分為代數(shù)式。教師設(shè)計的意圖在于讓學(xué)生在概念的學(xué)習(xí)中逐步通過觀察、分類、歸納的學(xué)習(xí)方法，在類比分析中掌握分式方程的核心概念。其一，觀察。教師引導(dǎo)學(xué)生觀察例題中式子是否含有等號（即式子是否為等式）。此步驟目的在于讓學(xué)生直觀比較代數(shù)式與分式方程的差異性，形成思維概念。其二，分類。教師組織學(xué)生根據(jù)觀察結(jié)果，逐步引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)兩者之間的差異進(jìn)行分類，根據(jù)已學(xué)知識，自主將式子分為代數(shù)式和方程兩類。在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)代數(shù)式分母的不同特性，以分母是否含有字母為分類依據(jù)再一次進(jìn)行細(xì)分，劃分為分式和整式兩類。此種設(shè)計，其意圖在于為后續(xù)分式方程和整式方程的精準(zhǔn)劃分提供參照依據(jù)和思維路徑。其三，歸納。在完成分類的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)代數(shù)式分類的一般方法，對方程進(jìn)行分類。此種設(shè)計，就是要求學(xué)生在觀察、比較的基礎(chǔ)上，找出學(xué)習(xí)規(guī)律和新舊概念之間的邏輯關(guān)系和內(nèi)在聯(lián)系，在邯鄲學(xué)步和逐層深化過程中，對照舊知，逐步掌握分式方程與整式方程之間的差異。從而在思考、探究、實(shí)踐的基礎(chǔ)上，在自主學(xué)習(xí)中領(lǐng)會分式方程的基本概念。

上述教學(xué)思路筆者選取的是學(xué)生已掌握并熟悉的整式和分式的概念作類比，且與新授的整式方程與分式方程的概念在研究內(nèi)容上具有趨同性、相似度。學(xué)生通過這一教學(xué)活動，既加深了被類比的“整式和分式”的概念的鞏固，又實(shí)現(xiàn)了與之相對應(yīng)的“整式方程和分式方程”的概念的形成、理解。

在上述教學(xué)活動中教師充分考慮了不同學(xué)生的能力水平，設(shè)計了圓分鐘的小組討論，一方面發(fā)揮團(tuán)隊(duì)合作的力量，讓學(xué)生在思維碰撞和頭腦風(fēng)暴中加深對概念的認(rèn)識，提升學(xué)習(xí)效率。另一方面，小組討論的目的在于將學(xué)習(xí)基礎(chǔ)相對薄弱的學(xué)生融入到集體學(xué)習(xí)中，通過小組成員的幫、扶、帶幫助該部分學(xué)生提升學(xué)習(xí)自信。在此過程中，教師發(fā)揮“導(dǎo)演”作用，提供適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和提示。此環(huán)節(jié)中，通過師生共同學(xué)習(xí)、相互促進(jìn)作用的發(fā)揮，在互動交流和自主探究中，學(xué)生在潛移默化和環(huán)境浸潤、實(shí)踐操作中逐步構(gòu)建了對相應(yīng)并列概念的理解，同時既溫故、梳理舊有知識，又構(gòu)建完善數(shù)學(xué)的知識體系。

（二）類比方法，領(lǐng)會思想

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是學(xué)科本體知識的習(xí)得，更重要的是思想方法的傳授和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng)。從這個角度講，類比思想的運(yùn)用就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從書本轉(zhuǎn)向應(yīng)用，從知識轉(zhuǎn)化為能力的重要步驟。因此，在解題中應(yīng)用類比，使新內(nèi)容的引出顯得自然合理，對同類問題進(jìn)行縱橫比較分析能加深對問題的理解和認(rèn)知，不但可使學(xué)生溫故知新，而且可以幫助學(xué)生更好地理解記憶和運(yùn)用。

在探索“可化為一元一次方程的分式方程”解法教學(xué)中，教師做了如下設(shè)計：

顯而易見，上述圓道例題中，例（員）屬于整式方程，例（圓）屬于分式方程。根據(jù)已學(xué)知識，有關(guān)含有分母的整式方程解法的關(guān)鍵就是去分母，其步驟為在方程兩邊同時乘以兩邊的最簡公分母，將之轉(zhuǎn)化為不含分母的整式方程后求解。此種解題思路同樣適合于分母帶字母的分式方程，其解題方法異曲同工。對此，教師在組織學(xué)生完成例（員）并分析其解法后，要求學(xué)生類比例（員）的解題方法，依樣畫瓢，聯(lián)想分式方程的解法，嘗試對例（圓）進(jìn)行求解。一定程度上說，例（圓）是例（員）的變式，兩者之間存在共同的解法特性。由于有了例（員）解題的邏輯思路，學(xué)生一目了然地理解了分母帶字母的分式方程解法的一般方法，順理成章地解決了教學(xué)中的難點(diǎn)，順利完成了例（圓）的解題。同時，在此過程中，因?yàn)榻鉀Q了理解上的堵點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)的創(chuàng)造力被充分激發(fā)，思維深度得以進(jìn)一步拓展，在例（圓）解題中，甚至有學(xué)生對分式方程的解法提出了更為大膽且理性的思考，即通過對角相乘，類比比例的基本性質(zhì)（比例內(nèi)項(xiàng)的乘積等于比例外項(xiàng)的乘積）得出問題的答案。這種通過類比整式方程解題方法，實(shí)現(xiàn)分式方程、比例性質(zhì)等知識之間的互通對接，潛移默化間將所學(xué)數(shù)學(xué)知識融合成了整體，推動了“知識樹”在學(xué)生思維中的形成，在類比中強(qiáng)化了學(xué)生運(yùn)用各種知識一題多解，加深了學(xué)生對知識之間內(nèi)在邏輯的認(rèn)知?？傮w而言，取得了比較好的學(xué)習(xí)效果。

三、課堂滲透類比思想的思考

類比作為數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的教學(xué)形式，本質(zhì)上屬于思想方法的傳授。根本上來說，類比思想在教學(xué)中的應(yīng)用是由表象到本質(zhì)、由經(jīng)驗(yàn)到方法、由單一知識到多維能力的過程。從這個角度講，類比教學(xué)應(yīng)該要充分考慮學(xué)生的認(rèn)知能力，給予學(xué)生逐級而上的學(xué)習(xí)空間。在此基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生進(jìn)一步厘清相近知識之間的關(guān)系和差異，在發(fā)揮學(xué)生主體作用、主動探究學(xué)習(xí)過程中，逐步滲透數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想方法。

（一）適當(dāng)設(shè)置教學(xué)坡度，逐層降低學(xué)習(xí)難度

在《可化為一元一次方程的分式方程》一課，有關(guān)概念引入與解法教學(xué)的教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師的設(shè)計意圖是學(xué)生能通過類比舊知，易于轉(zhuǎn)化總結(jié)新授知識。在概念引入部分，學(xué)生通過小組討論的方式，將各式進(jìn)行分類。在學(xué)生的小組活動過程中，教師對各個小組討論的觀察中發(fā)現(xiàn)，基礎(chǔ)較好且觀察分析能力強(qiáng)的同學(xué)很容易將各式按特征進(jìn)行分類，而基礎(chǔ)較薄弱且觀察分析能力弱的同學(xué)則產(chǎn)生了一定困難。這就要求教師在運(yùn)用類比思想進(jìn)行設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)時要充分考慮學(xué)生個體的差異，設(shè)置適當(dāng)?shù)匿亯|，讓各層次的學(xué)生都能進(jìn)行自主探究活動。

因此，教師對引入部分的分組歸類做了如下調(diào)整：其一，針對大部分學(xué)力基礎(chǔ)尚可的學(xué)生，設(shè)置問題串，以可否按照式子中是否含有“越”號進(jìn)行分類，以及是否可以按照分母中是否含有字母進(jìn)行分類等問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考分析。如此設(shè)置其目的在于引導(dǎo)學(xué)生觀察重點(diǎn)，為其后的自主活動概念類比做鋪墊。其二，針對小部分學(xué)習(xí)能力較為薄弱的學(xué)生，教師從概念入手，要求學(xué)生對“方程和代數(shù)式”“整式和分式”進(jìn)行分類，由學(xué)生按概念進(jìn)行類比分析，分類進(jìn)行填空，在填空的過程中回顧方程、代數(shù)式、整式、分式的概念，思考其中的聯(lián)系。如此設(shè)置將抽象的問題先具體化，學(xué)生通過按類填空再去觀察類比，很大程度上降低了自主活動的難度。

課堂教學(xué)中滲透類比思想，首先要激活學(xué)生的觀察能力，才能激發(fā)學(xué)生探索、研究新的知識的興趣。在實(shí)際教學(xué)中，要根據(jù)不同學(xué)生的能力需要，設(shè)置合適的鋪墊，讓學(xué)生在自主探究、觀察類比的過程中更具有指向性，真正意義上降低學(xué)習(xí)新知識的難度。

（二）厘清新舊知識，架構(gòu)知識通路

從日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師認(rèn)識到，部分學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中仍然存在著較大的障礙。分析其原因，固然有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力等方面的客觀因素。但是，不可否認(rèn)的是，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的欠缺，思維能力的單一化、表象化，對比分析、觀察差異能力的不足以及在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中單方面地將各個知識點(diǎn)作為孤立的問題來學(xué)習(xí)，而沒有將新舊知識很好地聯(lián)系和銜接，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)上的“孤島效應(yīng)”是阻礙數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效彰顯的重要原因。

從《可化為一元一次方程的分式方程》一課的學(xué)習(xí)成效來看，本課運(yùn)用類比方法傳授新課，打通了新舊知識之間的壁壘，通過不斷對舊知識的溫故循序漸進(jìn)滲透新知識，達(dá)到了比較好的學(xué)習(xí)效果。在后續(xù)的知識檢測中，學(xué)生知識的習(xí)得水平都達(dá)到了較高水準(zhǔn)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用類比思想是幫助學(xué)生將原本看似獨(dú)立的知識點(diǎn)聯(lián)系起來，由點(diǎn)成線，由線成網(wǎng)，構(gòu)筑出完整的數(shù)學(xué)知識體系的重要支撐力量，類比方法的運(yùn)用深化了學(xué)生對知識的理解，加固了學(xué)生對知識的掌握。從這個角度而言，架構(gòu)完整的知識體系需要將類比的思想點(diǎn)點(diǎn)滴滴地滲透到日常的教學(xué)中，而不是偶爾為之，在學(xué)生不斷學(xué)習(xí)新知的過程中，運(yùn)用類比思想能有效對舊知識進(jìn)行梳理，更有助于學(xué)生對知識的內(nèi)化和吸收，久而久之，學(xué)習(xí)新知對學(xué)生來說便會變得更簡單，由此培養(yǎng)起來的自主探索的能力便展現(xiàn)為學(xué)習(xí)能力的增強(qiáng)。

（三）培養(yǎng)自主探究能力，內(nèi)化思想方法

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，以教師的講述傳授為主，相對枯燥、抽象，不易于學(xué)生的理解記憶，學(xué)習(xí)效果不甚理想。本質(zhì)上，以教師為主體的課堂教學(xué)無法激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)中的探究欲望，學(xué)生處于被動接受的狀態(tài)。因此，新時期的數(shù)學(xué)教學(xué)必須把課堂真正還給學(xué)生，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，只有這樣才能激發(fā)學(xué)習(xí)動力，讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)主動權(quán)。本節(jié)課對于什么是分式方程這一概念教學(xué)，在教學(xué)理念上運(yùn)用類比思想，通過具有規(guī)律性、相似性的概念對比，在體系上實(shí)現(xiàn)新舊知識之間的互聯(lián)共通。在方法上采用小組合作、自主探究的形式。在思維上采用觀察、對比、歸納的思路。通過搭建完整的通路體系，發(fā)揮主體作用的學(xué)習(xí)方法，階梯式的學(xué)習(xí)步驟，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識間的相互關(guān)系，使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識逐漸形成網(wǎng)絡(luò)，同時激發(fā)出學(xué)生主動探究的興趣，更有利于提高學(xué)生的觀察能力和借助已有知識解決新知識的學(xué)習(xí)能力，真正培養(yǎng)了學(xué)生的自主探究能力。

在解題方法的學(xué)習(xí)探索中滲透類比思想，通過類比含分母的整式方程的解法，聯(lián)想分式方程的解法，歸納總結(jié)兩類方程解法上的共通點(diǎn)———去分母，從而搭建新舊知識的思維聯(lián)系，降低新授知識學(xué)習(xí)的感知難度，促進(jìn)知識的有效遷移。數(shù)學(xué)有豐富的研究領(lǐng)域、問題和方法，形成了很多特點(diǎn)鮮明、作用不同的數(shù)學(xué)分支，但數(shù)學(xué)又是一個有機(jī)整體，擁有清晰的結(jié)構(gòu)，通過類比思想的滲透，幫助學(xué)生有效地將舊知融匯于新知，通過對同類問題進(jìn)行比較分析，不但加深對問題的理解和認(rèn)知，而且可以幫助學(xué)生更好地記憶和運(yùn)用。在注重素質(zhì)教育的今天，教師在重教學(xué)結(jié)果的同時更要注重過程，學(xué)會了教學(xué)思想與方法，才能真正意義上提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

四、結(jié)束語

《可化為一元一次方程的分式方程》一課，教師在概念教學(xué)中滲透類比思想，幫學(xué)生鞏固舊知，促進(jìn)新知形成，將新舊知識很好地聯(lián)系和銜接，構(gòu)建完善數(shù)學(xué)體系；解題方法中滲透類比，幫助學(xué)生降低探究新知時的感知難度，促進(jìn)知識遷移，深化理解解題的數(shù)學(xué)方法。從本課的教學(xué)中，教師深刻地認(rèn)識到數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是幫助學(xué)生學(xué)會解題，更重要的是學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。所謂“授人以魚，不如授人以漁?！苯處煵粌H要教學(xué)生學(xué)會，更重要的是要學(xué)生會學(xué)。課堂中滲透類比思想，讓學(xué)生通過觀察歸納，通過類比、聯(lián)想，從舊知去探索新知，讓學(xué)生真正在探究中掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦，也是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)達(dá)成的關(guān)鍵一步。