張麗穎，顧菊觀

(湖州師范學院理學院，浙江 湖州 313000)

1 引言

當光從光疏介質近似垂直或掠入射到光密介質時，反射光有位相突變（或稱半波損失）。薄膜干涉中，當薄膜處于介質中，其上下表面反射時，兩束反射光之間因位相突變必然會產生額外的位相差或光程差。對于牛頓環(huán)干涉，上下表面及干涉膜折射率大小關系不同時，其對應的額外光程差不同。目前的光學教科書，對于額外光程差給出的表達式大致分為三類，姚啟均《光學教程》中額外光程差取/2-λ[1]；章志鳴《光學》教材中額外光程差取 2/λ[2]；鐘錫華《現(xiàn)代光學基礎》中額外光程差表述則取0 即不考慮半波損失因素[3]，可見上述教材對于額外光程差都沒有給出一個明確的定義。郭有能[4]等人也曾在研究牛頓環(huán)干涉的過程中討論了不同折射關系下的額外光程差，但其分析結果依舊不夠準確。顯然這對初學者理解半波損失和額外光程差造成了一定的困難。

另外，通過計算機軟件可以模擬出各種情況下的干涉仿真圖像，其結果對于分析能夠起到一個很好的參考作用。唐平英[5]等人在研究光的衍射時就利用Mathematica 中交互功能更加生動形象地向讀者展示了模擬圖像。關于牛頓環(huán)干涉實驗，目前已有許多利用Matlab 模擬得出的研究成果。例如，郭天宇、韋仙、申惠娟[6-8]等學者研究的入射光波長、曲率半徑、折射率等因素對于牛頓環(huán)干涉圖案變化的影響，但仿真圖樣基本為靜態(tài)圖且不夠生動形象。

基于上述兩個問題，將在已有的基礎上進一步探究當牛頓環(huán)上下表面及干涉膜的折射率大小關系不同時，其對應的光程差的表達式。并借助Mathematica 軟件模擬出的光強分布和條紋干涉圖樣對其進行具體分析。根據(jù)曹佳妍[9]等人的研究可知牛頓環(huán)干涉圖樣的改變會影響牛頓環(huán)半徑的測量，因此該研究結果不僅能夠更加形象直觀地加深學生對光干涉現(xiàn)象的理解，了解和掌握Mathematica 在物理學及光學中的應用，而且對于教學工作也具有很好的指導意義。

2 牛頓環(huán)干涉原理

如圖1 牛頓環(huán)結構圖所示，上面部分為平凸透鏡，下面部分為平面玻璃，中間部分則是平凸透鏡的凸球面和玻璃平板之間形成的簿膜。當平行單色光垂直入射于平凸透鏡的平表面時，薄膜的上下兩表面（平凸透鏡的下表面和平板玻璃的上表面）所引起的反射光線產生干涉，因相同光程差即相同厚度處對應的軌跡是圓，因此使干涉圖樣呈圓環(huán)狀，即牛頓環(huán)。

圖1 牛頓環(huán)結構圖

設介質薄膜上下兩表面反射光的光程差為δ，當δ=jλ時，干涉加強，形成亮條紋；當

時，干涉減弱，形成暗條紋；根據(jù)幾何關系，

由于R＞＞d，d2可以略去，則

由于兩列相干光的光強很接近，因此可以近似認為I1=I2=I0,則兩列光波在干涉場中相遇時的光強為

3 折射率對光程差影響

由于n1、n2、n3三者關系的不同，需要考慮半波損失。半波損失是指當入射光在光疏介質中前進，遇到光密介質的界面時，在掠射或正入射兩種情況下，反射光的振動方向對于入射光的振動方向都幾乎相反，即產生半波損失[1]。

對于多束光線（如圖2所示）的干涉問題，魯一清[10]等人已進行了具體的討論，結果表明只有1、2兩光束會發(fā)生干涉。接下來，對于1、2兩束光的光程差本文將根據(jù)折射率n1、n2、n3的大小關系分為三類情況具體討論。

圖2 光束干涉示意圖

3.1 n1 ＜ n2＞n3時的光程差

根據(jù)半波損失產生條件，可知薄膜上表面反射光1產生半波損失(L1=L10+λ/2)，薄膜下表面產生的反射光2無半波損失(L2=L20)，結果兩束反射光有額外位相差π，即額外光程差為λ/ 2，則光程差：

3.2 n1 ＞ n2＜n3時的光程差

根據(jù)半波損失產生條件，可知薄膜上表面反射光1無半波損失(L1=L10)，薄膜下表面產生的反射光2產生半波損失(L2=L20+λ/2)，結果兩束反射光有額外位相差π，即額外光程差λ/ 2，則光程差：

3.3 n1＞ n2＞n3和 n1 ＜ n2＜n3時的光程差

根據(jù)半波損失產生條件，n1＞n2＞n3情況下1、2兩束反射光均無半波損失(L1=L10，L2=L20)；而n1＜n2＜n3情況下1、2兩束反射光均產生半波損失（L1=L10+λ/2，L2=L20+λ/2）。兩種情況下的1、2兩束反射光額外位相差都為0，即額外光程差為0，則光程差：

4 折射率對光強分布和干涉圖樣的影響

在Mathematica 仿真過程中，利用‘Manipulate’命令將交互式動態(tài)光強分布與條紋干涉圖樣呈現(xiàn)出來.通過改變薄膜的折射率n2得到以下動態(tài)仿真圖像：

4.1 n1 ＜ n2＞n3時的光強分布和干涉圖樣

已知Δφ=，結合(3)、(4)式得到合成光強

令n1=n3=1.5、R=1.5m、λ= 550nm，改變折射率n2，可得：

從圖3 可分析知，在n1＜n2＞n3的情況下，牛頓環(huán)中心光強為極小值且干涉條紋中心為暗紋。當折射率n2增大時，條紋整體向中心縮小但不消失，相鄰的最大或最小的光強對應的間距逐漸變?。欢鴮τ诟缮鎴D樣來說，條紋數(shù)量逐漸增多即明暗條紋間距越來越密。

圖3 n1 ＜ n2＞n3時折射率 n2改變的光強分布與干涉圖樣

4.2 n1 ＞ n2＜n3時的光強分布和干涉圖樣

已知Δφ=，結合(3)、(6)式得到合成光強

令n1=n3=1.6、R=1.5m、λ= 550nm，改變折射率n2，可得：

從圖4 可分析知，在n1＞n2＜n3的情況下，牛頓環(huán)中心光強為極小值且條紋中心為暗紋。當折射率n2增大時，條紋整體向中心縮小但不消失，相鄰的最大或最小的光強對應的間距逐漸變?。欢鴮τ诟缮鎴D樣來說，條紋數(shù)量逐漸增多即明暗條紋間距越來越密。

圖4 n1 ＞ n2＜n3時折射率 n2改變的光強分布與干涉圖樣

4.3 n1＞ n2＞n3和 n1 ＜ n2＜n3時的光強分布和干涉圖樣

已知Δφ=，結合(3)、(8)式得到合成光強

當折射率關系為n1＞n2＞n3時，令n1=2.8、n3=1.35、R=1.5m、λ= 550nm；當折射率關系為n1＜n2＜n3時，令n1=1.35、n3=2.8、R=1.5m、λ= 550nm，兩種情況下改變折射率n2得到的圖像一致。

從圖5 可分析知，當折射率n2增大時，條紋整體向中心縮小但不消失，相鄰的最大或最小的光強對應的間距逐漸變小且明暗條紋間距越來越密。對比圖3、4，可發(fā)現(xiàn)在折射率大小關系為n1＞n2＞n3和n1＜n2＜n3時，牛頓環(huán)中心光強為極大值，即干涉圖樣中央條紋為亮紋。

圖5 n1＞ n2＞n3和 n1 ＜ n2＜n3時折射率 n2改變的光強分布與干涉圖樣

4.4 小結

在折射率n1、n2、n3大小關系不同的情況下，其干涉條紋圖樣的變化趨勢一致：隨著薄膜折射率n2的增大同一干涉級條紋由外向中心移動，所能看到的條紋數(shù)量逐漸增加，由此得出條紋半徑rj和相鄰條紋間距Δr會隨著薄膜折射率n2的增加而減小。不同的是，對于n1＜n2＞n3和n1＞n2＜n3兩種情況，在折射率n2相同時其條紋數(shù)量、明暗條紋分布完全相同且圓環(huán)中心為暗紋。而對比圖5，可發(fā)現(xiàn)在折射率大小關系為n1＞n2＞n3和n1＜n2＜n3時，在折射率n2相同的情況下，干涉圖樣條紋數(shù)量增多，同一級的干涉條紋半徑變小且圓環(huán)中心為明紋。

5 總結

根據(jù)半波損失原理討論了在牛頓環(huán)上下表面及干涉膜的折射率大小關系不同時對應的額外光程差，并利用Mathematica 軟件對牛頓環(huán)的光強分布和干涉現(xiàn)象進行了動態(tài)的仿真模擬。仿真過程中通過調整輸入參數(shù)，模擬出不同折射率情況下牛頓環(huán)干涉實驗的光強分布情況，生成的動態(tài)條紋干涉圖樣也更直觀地顯示出了隨著參數(shù)的改變牛頓環(huán)疏密、明暗程度的變化。有利于加深學生對于牛頓環(huán)干涉知識點、半波損失和額外光程差的理解。因此，計算機模擬生成的仿真圖樣可以廣泛用于實驗及理論教學過程中，不僅能夠有效地彌補實驗教學中的局限，而且為學生進一步的探索與深入學習理論知識提供了不可缺少的途徑。