劉昀晟，苗恩銘，張明德，馮 定，李建剛

（1. 合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽合肥230009；2. 重慶理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶400054；3. 長(zhǎng)江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北荊州434023；4. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)（深圳），廣東深圳518055）

1 引 言

熱誤差對(duì)數(shù)控機(jī)床尤其是高精度數(shù)控機(jī)床的精度影響嚴(yán)重，占總誤差的40%～70%［2-3］。降低機(jī)床熱誤差對(duì)加工精度的負(fù)面影響成為研究熱點(diǎn)。目前，減小熱誤差影響的方法主要有：結(jié)構(gòu)的改進(jìn)，新材料的使用，溫度的控制、建模并以軟件方式補(bǔ)償熱誤差等。

以有限元法為代表的數(shù)值模擬方法被廣泛應(yīng)用于機(jī)床結(jié)構(gòu)的熱變形建模。鄧小雷等人［4］對(duì)數(shù)控機(jī)床主軸-立柱系統(tǒng)進(jìn)行了有限元分析，建立了主軸-立柱系統(tǒng)耦合分析模型來(lái)獲取其熱態(tài)特性。Li 等人［5］研究了熱誤差和力誘導(dǎo)誤差對(duì)滾齒機(jī)加工精度的耦合影響，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了數(shù)值模擬，揭示了組件和工作臺(tái)的溫度分布以及相應(yīng)的位移誤差。該方法可以在設(shè)計(jì)階段完成機(jī)床整體或關(guān)鍵部件的尺寸優(yōu)化，但是更適用于新的機(jī)床產(chǎn)品，因計(jì)算速率等問(wèn)題，較難對(duì)現(xiàn)有機(jī)床進(jìn)行在線實(shí)時(shí)熱誤差補(bǔ)償。

Ge 等人［6］通過(guò)使用具有負(fù)線性膨脹系數(shù)的碳纖維增強(qiáng)塑料（Carbon Fiber Reinforced Plastic，CFRP）來(lái)補(bǔ)償金屬的熱膨脹，采用結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)了熱變形補(bǔ)償系統(tǒng)中的傳熱通道，使熱量均勻分布。Grama 等人［7］從溫度控制的角度提出了冷卻器觸發(fā)模型，通過(guò)動(dòng)態(tài)控制冷卻器壓縮機(jī)的開(kāi)關(guān)頻率和開(kāi)關(guān)“開(kāi)啟”時(shí)間，使散熱與機(jī)床產(chǎn)生的熱量相一致，大大降低了機(jī)床的熱誤差。然而，新材料的使用和溫度控制這兩種方法的補(bǔ)償成本很高，而且屬于在機(jī)床設(shè)計(jì)階段的優(yōu)化方法，不適合對(duì)現(xiàn)有機(jī)床進(jìn)行熱變形補(bǔ)償。

通過(guò)建模以軟件方式補(bǔ)償熱誤差是提升數(shù)控機(jī)床精度的重要方法［8-9］。該方法在分析機(jī)床熱行為的機(jī)理上，研究熱誤差這一輸出量和以溫度測(cè)點(diǎn)溫升為主的輸入量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，以軟件的方式補(bǔ)償機(jī)床熱誤差，無(wú)需改變現(xiàn)有機(jī)床的硬件，兼顧了減小熱誤差影響的功能性和低成本使用的經(jīng)濟(jì)性，而且很容易應(yīng)用在現(xiàn)有機(jī)床上。建立預(yù)測(cè)精度高、穩(wěn)健性強(qiáng)的機(jī)床熱誤差補(bǔ)償模型是以軟件方式補(bǔ)償熱誤差的最終目的。穩(wěn)健性是指在復(fù)雜工況下維持準(zhǔn)確結(jié)果的特性［1］。以軟件方式建立穩(wěn)健性熱誤差補(bǔ)償模型需要解決兩個(gè)重點(diǎn)問(wèn)題：（1）選擇合適的溫度敏感點(diǎn)；（2）選擇合適的建模算法。

合適的溫度敏感點(diǎn)選擇是建立穩(wěn)健性熱誤差補(bǔ)償模型的關(guān)鍵［9-10］。要建立預(yù)測(cè)精高、穩(wěn)健性強(qiáng)的機(jī)床熱誤差補(bǔ)償模型，參與建模的溫度敏感點(diǎn)必須能最大限度地反映溫度場(chǎng)的分布特性，同時(shí)還要降低彼此之間共線性的干擾［11-12］。在選出合適的溫度敏感點(diǎn)的基礎(chǔ)之上，再對(duì)建模算法進(jìn)行選擇。最小化殘差是選擇建模算法的核心思想，目標(biāo)是模型帶入建模數(shù)據(jù)的擬合誤差最小。根據(jù)此思想，多元回歸、嶺回歸、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)等均為常用的熱誤差建模算法［12-18］。

針對(duì)溫度敏感點(diǎn)選擇，目前高斯積分、灰色系統(tǒng)理論、模糊聚類(lèi)方法和有限元仿真技術(shù)等被廣泛運(yùn)用于溫度敏感點(diǎn)的選擇［12-21］。這些方法多以分類(lèi)選優(yōu)思想為指導(dǎo)進(jìn)行溫度敏感點(diǎn)的選擇，目的是減小溫度敏感點(diǎn)之間的共線性，提升建模算法的穩(wěn)健性。其中，模糊聚類(lèi)和灰色關(guān)聯(lián)在敏感點(diǎn)分類(lèi)和優(yōu)化中具有優(yōu)勢(shì)，該方法被廣泛研究［14，18，22-23］。以模糊聚類(lèi)結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度選取溫度敏感點(diǎn)策略［14］為例，該策略選出的溫度敏感點(diǎn)能有效降低溫度敏感點(diǎn)之間的共線性［9］，大幅提升機(jī)床熱誤差補(bǔ)償模型的穩(wěn)健性，但也存在溫度敏感點(diǎn)變動(dòng)的問(wèn)題，而溫度敏感點(diǎn)的變動(dòng)會(huì)造成補(bǔ)償模型精度的損失［10，12］。本文針對(duì)這一問(wèn)題，從造成溫度敏感點(diǎn)變動(dòng)性的機(jī)理出發(fā)，解釋了溫度敏感點(diǎn)變動(dòng)的產(chǎn)生原因，并在此基礎(chǔ)上提出了一種穩(wěn)健的溫度敏感點(diǎn)選擇方法，最后通過(guò)全年12 批次的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了這一方法的有效性。分別使用穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法和非穩(wěn)健性選擇方法建立了兩個(gè)熱誤差補(bǔ)償模型，分析發(fā)現(xiàn)，因未考慮溫度敏感點(diǎn)變動(dòng)而建立的模型，其擬合精度、預(yù)測(cè)精度及長(zhǎng)期預(yù)測(cè)穩(wěn)健性會(huì)大幅降低?；跈C(jī)床穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法的熱誤差補(bǔ)償模型不僅可以避免模型精度的穩(wěn)健性難以滿足工況需求，而且可以實(shí)現(xiàn)用5 個(gè)溫度傳感器就將模型全年的預(yù)測(cè)精度均值控制為5.18 μm，全年的預(yù)測(cè)精度的波動(dòng)性可以控制為2.57 μm。基于機(jī)床穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法建立的模型具有優(yōu)秀的預(yù)測(cè)精度和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)穩(wěn)健性；機(jī)床穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法提升了傳統(tǒng)的“模糊聚類(lèi)結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度”方法的適用范圍，具有重大的理論價(jià)值和工程應(yīng)用價(jià)值。

2 實(shí) 驗(yàn)

機(jī)床是一個(gè)復(fù)雜的整體區(qū)域，熱對(duì)機(jī)床的整體影響在加工過(guò)程中耦合表現(xiàn)為機(jī)床主軸相對(duì)于被加工工件的空間偏移。對(duì)于三軸C 型立式數(shù)控機(jī)床（以下簡(jiǎn)稱機(jī)床）來(lái)說(shuō)，由于機(jī)床整體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)關(guān)于YZ平面對(duì)稱，主軸X向受熱較均勻，熱誤差最小，Y向次之，Z向熱誤差最大。如圖1所示，主軸Z向熱誤差可達(dá)X向熱誤差的8 倍左右、可達(dá)Y向熱誤差的2 倍左右，在不同批次實(shí)驗(yàn)中所表現(xiàn)的熱變形量不同，但是熱變形趨勢(shì)類(lèi)似。因此，本文針對(duì)變化最大機(jī)床主軸Z向熱誤差，通過(guò)全年的跟蹤實(shí)驗(yàn)，提出的方法同樣適用于對(duì)主軸Y向和X向熱誤差的補(bǔ)償。

在不同轉(zhuǎn)速、室內(nèi)無(wú)空調(diào)的條件下共做了12 批次實(shí)驗(yàn)，熱誤差的測(cè)量采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)《機(jī)床檢驗(yàn)通則第3 部分：熱效應(yīng)的確定》（ISO 230-3：2001 IDT）［24］提出的五點(diǎn)測(cè)量法。依據(jù)本團(tuán)隊(duì)十余年的連續(xù)性研究和國(guó)際上其他學(xué)者的相關(guān)研究［13-14，25-26］，在機(jī)床關(guān)鍵部位布置了10 個(gè)溫度傳感器，熱誤差和溫度數(shù)據(jù)采用同步采集的方式。

圖1 三軸C 型立式數(shù)控機(jī)床的熱誤差Fig.1 Thermal errors of three-axis C-type vertical CNC machine tool

2.1 熱誤差測(cè)量裝置

熱誤差測(cè)量裝置參照國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)《機(jī)床檢驗(yàn)通則第3 部分：熱效應(yīng)的確定》（ISO 230-3：2001 IDT）［24］提出的五點(diǎn)測(cè)量法原理進(jìn)行設(shè)計(jì)。由于文章針對(duì)機(jī)床主軸Z向熱誤差進(jìn)行研究，故未使用測(cè)量X和Y向的位移傳感器。測(cè)量裝置如圖2所示。

圖2 中，檢驗(yàn)棒材質(zhì)為金屬，固定于機(jī)床的主軸上；夾具材質(zhì)與檢驗(yàn)棒相同，固定在工作臺(tái)上；電渦流微位移傳感器的探頭型號(hào)為CWY-DOTR-810803-00-04-50-01，前置器型號(hào)為CWYDO-TR-810800-50-01-02-04，測(cè)量分辨力可達(dá)亞微米，精度為±1 μm，它固定在夾具工具上。位移傳感器用于測(cè)量檢驗(yàn)棒在Z方向的位移，以測(cè)量熱誤差。

圖2 熱誤差測(cè)量裝置圖Fig. 2 Diagram of thermal error measuring devices

2.2 溫度傳感器安放位置

在影響機(jī)床主軸Z向熱誤差的關(guān)鍵部位一共布置了10 個(gè)溫度傳感器，記為T(mén)1～T10，目的是對(duì)影響機(jī)床主軸Z向熱變形的機(jī)床主要熱源附近的溫度進(jìn)行測(cè)量。 溫度傳感器型號(hào)為DS18B20 型數(shù)字溫度傳感器，測(cè)溫范圍在-55～125 ℃，對(duì)溫度的分辨率為0.062 5 ℃，測(cè)溫精度可達(dá)±0.5 ℃（-10～85 ℃），采用磁吸附方式安放在機(jī)床上。溫度傳感器在機(jī)床上的安放位置示意圖和實(shí)物圖如圖3～圖4 所示，具體安裝位置如表1 所示。表1 中，T1～T5溫度傳感器的具體安放位置在圖4 中用箭頭標(biāo)出。

圖3 溫度傳感器安放位置示意圖Fig.3 Schematic diagram of temperature sensor installation positions

圖4 溫度傳感器安放位置實(shí)物圖Fig.4 Photo of temperature sensor installation positions

表1 溫度傳感器安放位置Tab.1 Installation positions of temperature sensors

2.3 熱誤差的測(cè)量過(guò)程

熱誤差的測(cè)量步驟如下：

步驟1：將位移傳感器安裝在夾具上，夾具裝夾于主軸正下方，主軸下壓至設(shè)定位置觸發(fā)測(cè)量信號(hào)，同時(shí)測(cè)量并記錄機(jī)床主軸Z向熱誤差初值和溫度值。后續(xù)測(cè)量得到的熱誤差值為減去熱誤差初值的變動(dòng)值。

步驟2：主軸上移，工作臺(tái)不動(dòng)，主軸以指定參數(shù)空轉(zhuǎn)3 min。

步驟3：主軸停轉(zhuǎn)，下壓至設(shè)定位置觸發(fā)測(cè)量信號(hào)，同時(shí)測(cè)量并記錄主軸Z向熱誤差值和溫度值。

步驟4：重復(fù)步驟2 和步驟3 直至機(jī)床達(dá)到熱穩(wěn)態(tài)，結(jié)束測(cè)定。

2.4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

以Leaderway-V450 數(shù)控加工中心的主軸Z向熱誤差為研究對(duì)象。實(shí)驗(yàn)采用工作臺(tái)不動(dòng)，主軸空轉(zhuǎn)的方式，每3 min 測(cè)量一次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，每次實(shí)驗(yàn)基本持續(xù)4 h 以上，得到了全年實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)共12 批次。12 批次數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)條件按環(huán)境溫度升序排列，具體參數(shù)如表2 所示。將12 批次數(shù)據(jù)中機(jī)床主軸Z向熱變形繪制如圖5 所示。

表2 12 批次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)條件Tab.2 Experimental conditions of 12 batches of experimental data

3 溫度敏感點(diǎn)變動(dòng)性機(jī)理分析

采用較為成熟的“模糊聚類(lèi)結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度”進(jìn)行溫度敏感點(diǎn)的選擇，并針對(duì)其變動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析。

3.1 模糊聚類(lèi)

模糊聚類(lèi)就是用模糊數(shù)學(xué)的理論去研究聚類(lèi)問(wèn)題，在機(jī)床熱誤差建模技術(shù)中，模糊聚類(lèi)算法用于將相似的溫度測(cè)點(diǎn)聚為一類(lèi)，為進(jìn)一步利用灰色關(guān)聯(lián)度篩選參與建模的溫度敏感點(diǎn)做準(zhǔn)備。其具體步驟為：

（1）建立模糊相似矩陣：將溫度測(cè)點(diǎn)之間的相似程度轉(zhuǎn)換為0～1 之間的模糊關(guān)系。

設(shè)xi(i=1，2，…，m)為數(shù)控機(jī)床m個(gè)溫度變量數(shù)據(jù)，xi(k)(k=1，2，…，n)為第i個(gè)溫度變量的第k個(gè)測(cè)量值。通過(guò)計(jì)算相關(guān)系數(shù)rij(1≤i，j≤m)來(lái)確定模糊相似矩陣R=(rij)m×m。

（2）建立模糊等價(jià)矩陣：使得溫度測(cè)點(diǎn)之間的模糊關(guān)系具有傳遞性，否則無(wú)法進(jìn)行聚類(lèi)。

重新定義乘法和加法運(yùn)算，認(rèn)為：A×B=min(A，B)；A+B=max(A，B)。

在此基礎(chǔ)上采用平方法經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算求出R的傳遞閉包（包含R的最小傳遞模糊關(guān)系的矩陣稱為R的傳遞閉包），R^ 就是一個(gè)模糊等價(jià)矩陣。

（3）判定系數(shù)分類(lèi)：將模糊關(guān)系大于某一閾值的溫度測(cè)點(diǎn)歸為一類(lèi)，閾值稱為判定系數(shù)。

3.2 灰色關(guān)聯(lián)度分析

灰色關(guān)聯(lián)度分析是量化被分析數(shù)據(jù)序列之間的聯(lián)系緊密程度的一種方法?；疑P(guān)聯(lián)度計(jì)算值越大，則相應(yīng)序列之間的關(guān)聯(lián)度就越大，反之越小。

圖5 12 批次數(shù)據(jù)中機(jī)床主軸Z 向熱變形Fig.5 Thermal deformation data of 12 batches of machine tool spindle in Z-direction

本文采用鄧氏灰色關(guān)聯(lián)度分析方法，計(jì)算公式為［9］：

其中：y代表熱誤差；xi代表為第i個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)觀測(cè)值，i=1…m，m為溫度測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù)；y(k)，xi(k)分別代表熱誤差的第k個(gè)觀測(cè)值和第i個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)的第k個(gè)觀測(cè)值；γ(y，xi)為熱誤差和第i個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)之間的灰色關(guān)聯(lián)度；ρ為分辨系數(shù)，在[0，1] 之間取值，一般取ρ=0.5；Δy(k)，xi(k)=|y(k)-xi(k)|，為熱誤差序列與溫度傳感器測(cè)得數(shù)據(jù)序列的絕對(duì)差值，形成的絕對(duì)差值矩陣為(Δy(k)，x1(k)…Δy(k)，xi(k)…Δy(k)，xm(k))；Δmin和Δmax為這個(gè)矩陣中的最小數(shù)和最大數(shù)。

3.3 溫度敏感點(diǎn)選擇

采用模糊聚類(lèi)結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度方法從12 批次數(shù)據(jù)中選取出的溫度敏感點(diǎn)如表3 所示。

表3 溫度敏感點(diǎn)選擇情況Tab.3 Selection results of temperature-sensitive points for 12 batches of data

由表3 可知，12 批次數(shù)據(jù)選出的溫度敏感點(diǎn)大部分為T(mén)1，T7，T10，這3 個(gè)測(cè)點(diǎn)位置發(fā)熱量較大且在各類(lèi)中與機(jī)床熱變形關(guān)聯(lián)權(quán)重最大，但也出現(xiàn)了選擇T8，T5的情況。顯然，采用模糊聚類(lèi)結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度方法選擇出的溫度敏感點(diǎn)具有變動(dòng)性。當(dāng)某個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)受到干擾時(shí)，可能會(huì)造成誤選溫度敏感點(diǎn)的現(xiàn)象。為解決選擇的溫度敏感點(diǎn)變動(dòng)性缺陷，需要對(duì)其機(jī)理進(jìn)行研究分析。

3.4 溫度敏感點(diǎn)變動(dòng)性機(jī)理

模糊聚類(lèi)結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度選擇溫度敏感點(diǎn)的指導(dǎo)思想是分類(lèi)選優(yōu)。分類(lèi)后溫度測(cè)點(diǎn)與熱誤差的灰色關(guān)聯(lián)度的變動(dòng)是造成溫度敏感點(diǎn)變動(dòng)的主要原因?；疑P(guān)聯(lián)度公式為：

將公式分為3 個(gè)部分當(dāng)溫度敏感點(diǎn)選定后，第①部分和第③部分皆為定值。第②部分的實(shí)質(zhì)為熱誤差和第i個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)在第k個(gè)觀測(cè)值的差的絕對(duì)值，第2 部分的值越小，r(y(k)，xi(k))的值越大，表明溫度測(cè)點(diǎn)和熱誤差變化曲線越接近，即灰色關(guān)聯(lián)通過(guò)變量變化曲線的幾何相似程度來(lái)判斷溫度測(cè)點(diǎn)和熱誤差之間的相關(guān)性。這會(huì)造成某個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)或者熱誤差的測(cè)量意外受到擾動(dòng)，如：溫度傳感器、位移傳感器電平短時(shí)失穩(wěn)等。干擾造成的溫升曲線波動(dòng)或熱誤差測(cè)量曲線波動(dòng)會(huì)使得該測(cè)點(diǎn)與熱誤差之間的灰色關(guān)聯(lián)度的值下降。

如圖6 所示，（a）圖中1 號(hào)溫度傳感器測(cè)得的溫升曲線與熱誤差測(cè)量曲線的相關(guān)性比（c）圖中2 號(hào)溫度傳感器測(cè)得的溫升曲線與熱誤差測(cè)量曲線的相關(guān)性更高，但由于意外的測(cè)量擾動(dòng)使得（a）圖中1 號(hào)溫度傳感器的溫升曲線產(chǎn)生波動(dòng)，變成了（b）圖中所示的1 號(hào)溫度傳感器溫升曲線，由此導(dǎo)致1 號(hào)溫度傳感器溫升曲線與熱誤差變化曲線的幾何相似程度降低，就會(huì)造成使用灰色關(guān)聯(lián)度選取溫度敏感點(diǎn)時(shí)，會(huì)錯(cuò)誤地選出（c）圖中的2號(hào)溫度測(cè)點(diǎn)作為溫度敏感點(diǎn)。

由溫度敏感點(diǎn)變動(dòng)性的機(jī)理分析可知，在模糊聚類(lèi)過(guò)后的類(lèi)中選優(yōu)過(guò)程中，使用灰色關(guān)聯(lián)度算法選取溫度敏感點(diǎn)不具備足夠的穩(wěn)健性。當(dāng)溫度傳感器或熱誤差測(cè)量傳感器受到偶然的擾動(dòng)致使溫升曲線或熱誤差測(cè)量曲線產(chǎn)生波動(dòng)時(shí)，由于是通過(guò)變量變化曲線的幾何相似程度來(lái)判斷溫度測(cè)點(diǎn)和熱誤差之間的相關(guān)性，灰色關(guān)聯(lián)度有時(shí)不能選取出每類(lèi)中與熱誤差相關(guān)性最大的溫度測(cè)點(diǎn)。

圖6 灰色關(guān)聯(lián)度原理造成溫度敏感點(diǎn)選擇波動(dòng)示意圖Fig.6 Schematic diagram of temperature sensitive point selection fluctuation caused by grey correlation degree principle

本文針對(duì)造成變動(dòng)性缺陷的機(jī)理，對(duì)溫度敏感點(diǎn)選擇情況進(jìn)行了進(jìn)一步的分析，提出了穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法。該方法解決了灰色關(guān)聯(lián)度誤判溫度測(cè)點(diǎn)的缺陷，提升了溫度敏感點(diǎn)選擇的科學(xué)性和穩(wěn)健性。

4 穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇及熱誤差模型建立

4.1 穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法

12 批次溫度傳感器數(shù)據(jù)通過(guò)模糊聚類(lèi)得到的聚類(lèi)結(jié)果如表4 所示。由于聚類(lèi)結(jié)果中第二類(lèi)皆為T(mén)7，第三類(lèi)皆為T(mén)10，限于篇幅，將之省略，僅展示第一類(lèi)的分類(lèi)情況。第一類(lèi)中的測(cè)點(diǎn)位置順序按由式（6）計(jì)算出來(lái)的灰色關(guān)聯(lián)度降序排列。

表4 12 批次溫度傳感器數(shù)據(jù)模糊聚類(lèi)結(jié)果（第一類(lèi)）Tab.4 Fuzzy clustering results of 12 batches of temperature sensor data（First class）

從表4 中可以看出，雖然第一類(lèi)中各溫度測(cè)點(diǎn)的灰色關(guān)聯(lián)度排序出現(xiàn)了變動(dòng)性，但是排名前3 的測(cè)點(diǎn)始終是T1，T5和T8。針對(duì)造成變動(dòng)性缺陷的機(jī)理，基于增強(qiáng)溫度測(cè)點(diǎn)選擇穩(wěn)健性和減小溫度測(cè)點(diǎn)之間共線性影響的思想，提出擴(kuò)大溫度敏感點(diǎn)選擇范圍的穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法，以提高代入模型的溫度敏感點(diǎn)選擇穩(wěn)健性，即選擇第一類(lèi)中灰色關(guān)聯(lián)度排名前三的測(cè)點(diǎn)和第二類(lèi)、第三類(lèi)中排名第一的測(cè)點(diǎn)作為溫度敏感點(diǎn)。

雖然消除誤差的手段有很多，但重要的是了解誤差產(chǎn)生的原因，并有針對(duì)性地進(jìn)行解決。穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法很明顯已經(jīng)消除了“模糊聚類(lèi)結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度”方法中由于灰色關(guān)聯(lián)度原理缺陷造成的溫度敏感點(diǎn)選擇變動(dòng)性。為驗(yàn)證穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法選擇出的溫度敏感點(diǎn)的正確性，這里采用多元線性回歸算法分別以T1，T5，T8，T7，T10和T8，T7，T10的數(shù)據(jù)為自變量建立機(jī)床熱誤差補(bǔ)償預(yù)測(cè)模型。

4.2 熱誤差模型及精度分析

4.2.1 兩種模型的建立

將穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法選擇的溫度敏感點(diǎn)T1，T5，T8，T7，T10帶入多元線性回歸算法進(jìn)行建模，結(jié)合全年12 批次數(shù)據(jù)建立了模型RM1～R-M12。由于篇幅關(guān)系，僅列舉部分模型如下：

R-M1～R-M12 相互預(yù)測(cè)的預(yù)殘差標(biāo)準(zhǔn)差如圖7 所示，其中擬合看成模型對(duì)自身的預(yù)測(cè)。

預(yù)測(cè)殘差標(biāo)準(zhǔn)差用于表示預(yù)測(cè)精度，其計(jì)算公式為：

式中：Ci為預(yù)測(cè)模型對(duì)第i個(gè)熱變形測(cè)量數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)殘差，n為一批次數(shù)據(jù)量大小。

圖7 R-M1～R-M12 相互預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)殘差標(biāo)準(zhǔn)差Fig.7 Prediction residual standard deviation of R-M1-R-M12 mutual prediction

從圖7 可以看出，基于T1，T5，T8，T7，T10代入多元線性回歸算法建立的模型的預(yù)測(cè)精度良好；在對(duì)第10 批次和第12 批次數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，由于第10 批次和第12 批次數(shù)據(jù)遭受了干擾，預(yù)測(cè)精度出現(xiàn)了一定幅度的波動(dòng)。總體上看，模型的預(yù)測(cè)精度基本保持在10 μm 以內(nèi)。

將未采用穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法而誤選出的溫度敏感點(diǎn)T8，T7，T10帶入多元線性回歸算法進(jìn)行建模，結(jié)合全年12 批次數(shù)據(jù)建立了模型E-M1～E-M12。由于篇幅關(guān)系，僅列舉部分模型如下：

E-M1：y=2.20+5.25x1-0.09x2+0.47x3，

E-M12：y=2.30+5.78x1+0.17x2-0.21x3.

E-M1～E-M12 相互預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)殘差標(biāo)準(zhǔn)差如圖8 所示，其中擬合看成模型對(duì)自身的預(yù)測(cè)。

從圖8 中可以看出，由于T8不是穩(wěn)健的與熱誤差相關(guān)性最大的溫度敏感點(diǎn)，擾動(dòng)較大。T8，T7，T10代入多元線性回歸算法建立的模型與穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法選擇的T1，T5，T8，T7，T10代入多元線性回歸算法建立的模型相比，預(yù)測(cè)精度和預(yù)測(cè)精度的穩(wěn)健性均大幅下降。

4.2.2 兩種模型的精度分析

圖8 E-M1～E-M12 相互預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)殘差標(biāo)準(zhǔn)差Fig.8 Prediction residual standard deviation of E-M1～E-M12 mutual prediction

對(duì)全年12 批次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法選擇的溫度敏感點(diǎn)T1，T5，T8，T7，T10帶入多元線性回歸算法所建立模型和未采用穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法選出的溫度敏感點(diǎn)T8，T7，T10帶入多元線性回歸算法所建立模型進(jìn)行精度分析，結(jié)果如圖9～圖10 所示。其中，S為模型的擬合標(biāo)準(zhǔn)差，用來(lái)表征模型的擬合精度，其值越小，說(shuō)明模型的擬合精度越高；Sm為模型對(duì)其他批次數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)殘差標(biāo)準(zhǔn)差均值，用來(lái)表征模型的預(yù)測(cè)精度，其值越小，說(shuō)明模型的預(yù)測(cè)精度越高；Sd為模型對(duì)其他批次數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)殘差標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)差，用來(lái)表征模型預(yù)測(cè)精度的離散程度，其值越小，說(shuō)明模型的穩(wěn)健性越高。

Sm和Sd的計(jì)算公式為如下：

式中：Sri為模型對(duì)其他批次數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)殘差標(biāo)準(zhǔn)差；n=11，為預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)批次數(shù)。

圖9 R-M1～R-M12 精度分析Fig.9 Accuracy analysis of R-M1-R-M12 models

從圖9 和圖10 中可以看出，使用穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法建立的模型對(duì)于全年12 批次數(shù)據(jù)的擬合精度均值（2.85 μm）、預(yù)測(cè)精度均值（5.18 μm）和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)穩(wěn)健性均值（2.57 μm），對(duì)比未使用穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法建立的模型的擬合精度均值（6.48 μm）、預(yù)測(cè)精度均值（9.55 μm）和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)穩(wěn)健性均值（3.55 μm），穩(wěn)健性分別提升了56.0%，45.8% 和27.6%。溫度敏感點(diǎn)選擇的波動(dòng)性對(duì)于數(shù)控機(jī)床熱誤差模型的精度影響很大。由于溫度敏感點(diǎn)波動(dòng)而代入錯(cuò)誤的溫度敏感點(diǎn)建立模型，會(huì)造成模型擬合精度、預(yù)測(cè)精度和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)穩(wěn)健性的大幅損失?；跈C(jī)床穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法的熱誤差補(bǔ)償模型不僅可以避免模型穩(wěn)健性難以滿足工況需求，而且可以避免帶入錯(cuò)誤溫度敏感點(diǎn)建模，用5 個(gè)溫度傳感器就將模型全年的預(yù)測(cè)精度均值控制在5.18 μm，預(yù)測(cè)精度波動(dòng)控制在2.57 μm，模型具有優(yōu)秀的預(yù)測(cè)精度和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)穩(wěn)健性。

圖10 E-M1～E-M12 精度分析Fig.10 Accuracy analysis of E-M1～E-M12 models

5 結(jié) 論

建立預(yù)測(cè)精度高、穩(wěn)健性強(qiáng)的機(jī)床熱誤差補(bǔ)償模型是研究機(jī)床熱誤差模型的最終目的，本文通過(guò)對(duì)較為成熟的模糊聚類(lèi)結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度方法進(jìn)行深入研究，在充分分析溫度敏感點(diǎn)變動(dòng)性機(jī)理的基礎(chǔ)上提出穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法，提升了傳統(tǒng)方法的適用范圍，運(yùn)用該方法在全年時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)了良好的補(bǔ)償效果，為研究如何選擇穩(wěn)健的溫度敏感點(diǎn)來(lái)建立機(jī)床熱誤差補(bǔ)償模型開(kāi)拓了新的思路。

溫度敏感點(diǎn)選擇的波動(dòng)性對(duì)于數(shù)控機(jī)床熱誤差模型的精度影響很大。本文根據(jù)造成變動(dòng)性缺陷的機(jī)理，提出擴(kuò)大溫度敏感點(diǎn)的選擇范圍以提高代入模型的溫度敏感點(diǎn)選擇穩(wěn)健性的溫度敏感點(diǎn)選擇方法。并通過(guò)全年12 批次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了這一方法消除溫度敏感點(diǎn)選擇變動(dòng)的有效性和所選出溫度敏感點(diǎn)的正確性?；跈C(jī)床穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法建立的熱誤差補(bǔ)償模型，在數(shù)控機(jī)床上根據(jù)全年實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證應(yīng)用，結(jié)果顯示：使用機(jī)床穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法建立的熱誤差補(bǔ)償模型不僅可以避免模型精度的穩(wěn)健性難以滿足工況需求，而且可以避免帶入錯(cuò)誤溫度敏感點(diǎn)建模，用5 個(gè)溫度傳感器將模型全年的預(yù)測(cè)精度均值控制在5.18 μm，全年的預(yù)測(cè)精度的波動(dòng)控制在2.57 μm。該模型具有優(yōu)秀的預(yù)測(cè)精度和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)穩(wěn)健性，機(jī)床穩(wěn)健性溫度敏感點(diǎn)選擇方法具有重大的理論價(jià)值和工程應(yīng)用價(jià)值。