于千源，饒曉波，李朋陽(yáng)，高建設(shè)

(鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

1 引言

步行機(jī)器人的腿部作為機(jī)體和地面相接觸的媒介，腿部機(jī)構(gòu)的剛度和活動(dòng)空間很大程度上決定了機(jī)器人的承載能力和越障能力，腿部構(gòu)型的設(shè)計(jì)也影響機(jī)器人的動(dòng)態(tài)性能。現(xiàn)有的步行機(jī)器人大多采用仿生串聯(lián)的構(gòu)型設(shè)計(jì)，如波士頓動(dòng)力公司的BigDog[1-2]、LittleDog[3]、意大利IIT大學(xué)的HyQ[4]、西班牙工業(yè)自動(dòng)化研究所的SILO4[5]、機(jī)器人TeKKen[6]系列和南洋理工大學(xué)的四足機(jī)器人[7]等等。其中，最具代表性的BigDog單腿為四自由度串聯(lián)結(jié)構(gòu)，髖關(guān)節(jié)由兩個(gè)主動(dòng)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)鉸構(gòu)成，膝關(guān)節(jié)是一個(gè)主動(dòng)驅(qū)動(dòng)的轉(zhuǎn)鉸；意大利IIT大學(xué)研制的HyQ，單腿采用串聯(lián)構(gòu)型，膝關(guān)節(jié)一個(gè)俯仰自由度，髖關(guān)節(jié)有俯仰和橫滾兩個(gè)自由度，膝關(guān)節(jié)處的俯仰自由度由放置于大腿的直線驅(qū)動(dòng)完成驅(qū)動(dòng)；西班牙工業(yè)自動(dòng)化研究所的SILO4單腿采用六個(gè)自由度串聯(lián)結(jié)構(gòu)，關(guān)節(jié)采用斜齒輪傳動(dòng)。國(guó)內(nèi)的串聯(lián)腿部機(jī)構(gòu)以山東大學(xué)的SCalf[8]為代表，單腿上分別有1個(gè)橫擺關(guān)節(jié)和2個(gè)俯仰關(guān)節(jié)，膝關(guān)節(jié)以大腿上的直線驅(qū)動(dòng)帶動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)。上述的國(guó)內(nèi)外的仿生串聯(lián)構(gòu)型多采用關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)，機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于控制，矢狀面的自由度多于冠狀面的自由度(機(jī)器人行走和跑步時(shí)向前和向上的運(yùn)動(dòng)多由腿部矢狀面的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)完成)。但是，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)使得下級(jí)驅(qū)動(dòng)器成為上級(jí)驅(qū)動(dòng)器的負(fù)載，增加了腿部的運(yùn)動(dòng)慣量和機(jī)器人的載重比。在太空、核電等需要對(duì)電子部件進(jìn)行特殊防護(hù)的領(lǐng)域，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)型步行機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)分散，不易防護(hù)，也限制了其應(yīng)用領(lǐng)域。

除了串聯(lián)構(gòu)型，并聯(lián)構(gòu)型也是常用的腿部構(gòu)型。例如，日本早稻田大學(xué)的WL系列步行椅[9]，廣瀨茂男研究室的并聯(lián)機(jī)器人Para-Walker[10]和同樣采用并聯(lián)構(gòu)型的四足爬墻式機(jī)器人NIJIA[11]。國(guó)內(nèi)四足/兩足可重組步行器人[12]和上海交通大學(xué)的六足并聯(lián)機(jī)器人[13]，其單腿都是采用結(jié)構(gòu)對(duì)稱的直線驅(qū)動(dòng)；張金柱、金振林[14]提出的新型腿部機(jī)構(gòu)，其行走機(jī)構(gòu)和驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)分開(kāi)，并由一個(gè)連接球副S連接組成。并聯(lián)式腿部結(jié)構(gòu)具有自重/載重比小、承載能力高、穩(wěn)定性好、精度較高等優(yōu)點(diǎn)。但是，目前并聯(lián)腿部結(jié)構(gòu)采用對(duì)稱平行的直線驅(qū)動(dòng)完成對(duì)動(dòng)平臺(tái)位姿的控制，在矢狀面上的運(yùn)動(dòng)針對(duì)性不強(qiáng)，較難完成高速度的行走越障作業(yè)；足端部分與地面接觸形式多采用面接觸，使得并聯(lián)機(jī)構(gòu)在非結(jié)構(gòu)地面的穩(wěn)定性較差，適用范圍較小。

結(jié)合以上問(wèn)題，提出了新型非對(duì)稱四自由度并聯(lián)腿部機(jī)構(gòu)，利用4個(gè)無(wú)約束分支將關(guān)節(jié)空間與驅(qū)動(dòng)空間分開(kāi)，將關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)置于背部，減小腿部的運(yùn)動(dòng)慣量，還可用于對(duì)驅(qū)動(dòng)進(jìn)行特殊防護(hù)的太空或核電等環(huán)境。采用非對(duì)稱并聯(lián)構(gòu)型，相比對(duì)稱的并聯(lián)驅(qū)動(dòng)[可更針對(duì)性的對(duì)腿部的矢面運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制。對(duì)并聯(lián)腿部進(jìn)行描述并建立分支坐標(biāo)系，根據(jù)螺旋理論建立了腿部機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)螺旋系和約束螺旋系，分析了腿部機(jī)構(gòu)的自由度，明確了機(jī)構(gòu)所受的約束力，并對(duì)驅(qū)動(dòng)輸入選擇的合理性進(jìn)行了分析。

對(duì)機(jī)器人的自由度進(jìn)行運(yùn)算的傳統(tǒng)方法是利用Kutzbach-Grübler(KG)公式，在使用KG公式時(shí)，還需要考慮到冗余約束和局部自由度的影響，運(yùn)用起來(lái)相對(duì)復(fù)雜。這里引入螺旋理論對(duì)并聯(lián)腿部的自由度進(jìn)行分析求解，通過(guò)螺旋理論能更直觀地觀察到自由度以及機(jī)構(gòu)約束力的情況。利用并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)約束螺旋判斷腿部機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)選擇合理性。

2 機(jī)構(gòu)的描述和坐標(biāo)系的建立

主體部分由運(yùn)載平臺(tái)、髖關(guān)節(jié)、大腿、膝關(guān)節(jié)和小腿順次連結(jié)構(gòu)成，如圖1所示。通過(guò)球頭桿件將虎克鉸的轉(zhuǎn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)換置于靠近機(jī)身的直線驅(qū)動(dòng)，以減小腿部運(yùn)動(dòng)慣量，便于對(duì)驅(qū)動(dòng)集中防護(hù)，并聯(lián)腿部非對(duì)稱布置的形式更利于驅(qū)動(dòng)腿部在矢狀面的運(yùn)動(dòng)控制。并聯(lián)腿部機(jī)構(gòu)由三個(gè)支路構(gòu)成，支路一、二分別是與小腿相連的兩個(gè)驅(qū)動(dòng)分支(RPRRSS)，支路三是由一個(gè)并聯(lián)支路M(記此并聯(lián)支路為M)和膝關(guān)節(jié)的虎克鉸串聯(lián)構(gòu)成U(2髖關(guān)節(jié)虎克鉸記為U1，膝關(guān)節(jié)的虎克鉸記為U2)構(gòu)成。其中，并聯(lián)支路M是由與大腿相連接的兩個(gè)驅(qū)動(dòng)分支(RPRRSS)和U2組成閉環(huán)并聯(lián)結(jié)構(gòu)。兩個(gè)驅(qū)動(dòng)分支RPRRSS和U1共同完成對(duì)大腿的控制，并與U2串聯(lián)作為動(dòng)平臺(tái)的一個(gè)分支，與另外兩個(gè)驅(qū)動(dòng)分支RPRRSS共同完成對(duì)小腿位姿勢(shì)的控制。記與小腿相連的兩個(gè)驅(qū)動(dòng)分支(RPRRSS)分別為驅(qū)動(dòng)分支一、四；與大腿相連的兩個(gè)驅(qū)動(dòng)分支(RPRRSS)分別為驅(qū)動(dòng)分支二、三。運(yùn)載平臺(tái)作為定平臺(tái)，小腿作為動(dòng)平臺(tái)，與地面接觸方式為點(diǎn)接觸，以擴(kuò)大腿部應(yīng)用范圍。

圖1 腿部機(jī)構(gòu)的三維視圖Fig.1 The 3D View of Parallel Leg Mechanism

3 腿部自由度及瞬時(shí)性分析

自由度指確定機(jī)械系統(tǒng)位形或位姿所需要的獨(dú)立變量或廣義坐標(biāo)數(shù)。采用螺旋理論對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析，建立坐標(biāo)系，求取并聯(lián)分支的結(jié)構(gòu)約束螺旋并判斷自由度。

并聯(lián)腿部的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖，如圖2所示。在機(jī)架中心位置建立基坐標(biāo)系{A}，以水平方向?yàn)閄A軸，ZA方向與機(jī)架孔軸線方向平行，YA軸的方向由右手螺旋定則確定。與機(jī)架相連的四個(gè)驅(qū)動(dòng)P副將直線驅(qū)動(dòng)通過(guò)與機(jī)架相連的V型桿轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)，根據(jù)機(jī)構(gòu)學(xué)可以將驅(qū)動(dòng)分支RPRRSS看作由V架的轉(zhuǎn)動(dòng)提供驅(qū)動(dòng)，繼而可以將這四個(gè)驅(qū)動(dòng)分支簡(jiǎn)化為分支RSS進(jìn)行分析。為了研究方便，引入五個(gè)分支坐標(biāo)系OAi-XAiYAiZAi(i=1，2，3，4，5)，如圖2所示。分別在四個(gè)分支RSS的V型桿中心建立分支坐標(biāo)系OAi-XAiYAiZAi(i=1，2，3，4)；在髖關(guān)節(jié)U1副的軸線相交處建立分支坐標(biāo)系OA5-XA5YA5ZA5。

圖2 并聯(lián)腿部的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Mechanism Diagram of the Parallel Leg

假設(shè)腿部機(jī)構(gòu)在一般位形且未到達(dá)奇異位形。對(duì)腿部支路一、二的螺旋分析可看作對(duì)驅(qū)動(dòng)分支RSS的螺旋分析，且驅(qū)動(dòng)分支結(jié)構(gòu)對(duì)稱，可以以分支Ai為代表進(jìn)行分析，如圖3所示。在分支坐標(biāo)系OAi-XAiYAiZAi(i=1，2，3，4)中，記第i個(gè)支鏈的第j個(gè)運(yùn)動(dòng)副為Aij，R副坐標(biāo)軸線與基坐標(biāo)的坐標(biāo)軸線平行，XAi1平行于水平方向，ZAi1的方向平行于機(jī)架孔軸線方向，YAi1可通過(guò)右手定則判定；Si2的XAi2軸與軸XAi1有α的夾角，YAi2與軸XAi1夾角是β，ZAi2由右手定則判定；Si3副的OAi3-XAi3YAi3ZAi3的軸線與Si3副的軸線平行，且SS副中XAi2和XAi3是同軸線。

圖3 分支坐標(biāo)系RSS示意圖Fig.3 Schematic Diagram of the Branch RSS Coordinate System

rij、sij分別表示Ai中第(jj=1，2，3)個(gè)運(yùn)動(dòng)副的位置向量和姿態(tài)向量。所以在分支Ai中，所以軸線的位置向量r和姿態(tài)向量s，如表1所示。

表1 軸線的位置向量r和姿態(tài)向量Tab.1 Position Vectors and Pose Vectors of the Axis

表中，cα表示cos(α)，sα表示sin(α)；表示第i個(gè)支鏈第二個(gè)運(yùn)動(dòng)副x軸的姿態(tài)向量，以此類推。分支坐標(biāo)系的XAi2和XAi3是同軸線，所在的螺旋線性相關(guān)，所以在進(jìn)行運(yùn)動(dòng)螺旋系的建立時(shí)可省去一個(gè)螺旋分支，此處省去。各運(yùn)動(dòng)螺旋用Plücker坐標(biāo)表示，且，此時(shí)，RSS的運(yùn)動(dòng)螺旋，如表2所示。

表2 分支RSS的螺旋系Tab.2 Screw System of the Branch RSS

分支Ai(i=1，2，3，4)的運(yùn)動(dòng)螺旋系為：

對(duì)式(1)求反螺旋可得分支約束螺旋系為：

由此可知，分支RSS約束反螺旋系為空集，即并聯(lián)支路一和支路二對(duì)動(dòng)平臺(tái)不提供約束力，因?yàn)锳1和A4的結(jié)構(gòu)相同且對(duì)稱分布，分支A2和A3的結(jié)構(gòu)相同且對(duì)稱分布，且變量參數(shù)表示具有代表性，所以分支A2、A3在分支三的并聯(lián)支鏈M中也不提供約束。所以，UU副對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)的約束等于定平臺(tái)對(duì)小腿(動(dòng)平臺(tái))提供的約束。

在機(jī)架中心位置建立基坐標(biāo)系{A}，以水平方向?yàn)閄A軸，{A}的ZA方向與機(jī)架孔軸線方向平行，YA軸的方向可由右手螺旋定則判定。在髖關(guān)節(jié)U副處建立分支坐標(biāo)系{A5}，其中：ZA5的方向由原點(diǎn)OA5指向原點(diǎn)OA，YA5平行于機(jī)架孔軸線方向(這里由紙面向里)，XA5可通過(guò)右手定則判定，如圖4所示。其中，OA5到H點(diǎn)的距離為a2；U2副軸線中心與H點(diǎn)的距離為L(zhǎng)3；δ是大腿OA5H與分支坐標(biāo)系ZA5軸的夾角。與ZA5同向，與YA5同向。

圖4 串聯(lián)虎克鉸螺旋分布Fig.4 Screw Distribution of the Serial Hook Joint

在分支坐標(biāo)系{A5}下，r(ii=1，2，3，4)和si(i=1，2，3，4)描述各個(gè)U副軸線的位置向量和姿態(tài)向量，如表3所示。

表3 虎克鉸的位置向量和姿態(tài)向量Tab.3 Position Vectors and Pose Vectors of the Hook Joint

此時(shí)，UU運(yùn)動(dòng)螺旋系可表示為：

其中，

運(yùn)動(dòng)副U1、U2的運(yùn)動(dòng)螺旋系分別為和。由螺旋的互易性得到式(3)的反螺旋系為：

當(dāng)δ=0時(shí)，式(4)可化簡(jiǎn)為：

式(5)為腿部機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)螺旋系的互易螺旋系，即約束力螺旋系，反映了動(dòng)平臺(tái)(小腿)所受公共約束力的情況，分析其結(jié)構(gòu)約束螺旋矩陣容易得到，整個(gè)機(jī)構(gòu)對(duì)小腿有兩個(gè)力線矢量的約束，分別為軸線方向?yàn)?，即此時(shí)動(dòng)平臺(tái)不能產(chǎn)生沿力線矢量軸線方向的移動(dòng)。結(jié)構(gòu)約束矩陣的秩為并聯(lián)腿部各分支對(duì)動(dòng)平臺(tái)提供線性無(wú)關(guān)的約束螺旋的數(shù)目，因此，該機(jī)構(gòu)具有四個(gè)自由度，分別為x，y，z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，和×方向的移動(dòng)，其中。由于利用變量參數(shù)表示關(guān)節(jié)角和桿長(zhǎng)，所以無(wú)論機(jī)構(gòu)在任何姿態(tài)下其自由度不會(huì)改變，即自由度不是瞬時(shí)的。

4 驅(qū)動(dòng)副輸入選擇分析

根據(jù)驅(qū)動(dòng)副的選擇原則[15]，運(yùn)動(dòng)形式簡(jiǎn)單，且盡可能的靠近機(jī)架等等。選擇機(jī)構(gòu)中四個(gè)移動(dòng)副(P副)作為驅(qū)動(dòng)輸入，驗(yàn)證驅(qū)動(dòng)副選擇的合理性的方法是鎖定移動(dòng)副后，根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)約束螺旋矩陣的特點(diǎn)，通過(guò)求解并聯(lián)分支的運(yùn)動(dòng)螺旋，利用結(jié)構(gòu)螺旋和約束螺旋的互易性，得到動(dòng)平臺(tái)的約束螺旋系，分析動(dòng)平臺(tái)的約束矩陣的秩來(lái)驗(yàn)證輸入的合理性，若剛化后腿部機(jī)構(gòu)自由度為0，即約束螺旋矩陣的秩為6，則選擇P副作為驅(qū)動(dòng)輸入就是合理的。

在驅(qū)動(dòng)副剛化后，對(duì)并聯(lián)腿部機(jī)構(gòu)的三個(gè)分支進(jìn)行分析，剛化后的驅(qū)動(dòng)分支RSS只剩下SS運(yùn)動(dòng)副。

4.1 并聯(lián)腿部支路一、二的約束螺旋分析

對(duì)分支RSS的A1和A4支鏈進(jìn)行分析。分支Ai(i=1，4)結(jié)構(gòu)相似且對(duì)稱，分支Ai坐標(biāo)系與基坐標(biāo)系的軸線相平行，而且在分析Ai時(shí)，位置坐標(biāo)參數(shù)化，軸線姿態(tài)向量不變，所以它在基坐標(biāo)下的螺旋系也不變，將以分支A1為例，分析其約束螺旋。由表2可得支鏈A1上的SS副的運(yùn)動(dòng)螺旋系為：

對(duì)式(6)求取反螺旋為：

4.2 并聯(lián)腿部支路三的約束螺旋分析

并聯(lián)支路三是由一個(gè)并聯(lián)子鏈M和膝關(guān)節(jié)U2串聯(lián)組成。驅(qū)動(dòng)剛化后，求出U1、U2在基坐標(biāo)系下的約束螺旋系之后，再計(jì)算支路三的約束螺旋系。

4.2.1U1、U2在基坐標(biāo)系下的約束螺旋系

剛化驅(qū)動(dòng)后，U1、U2的姿態(tài)向量和位置向量需要在基坐標(biāo)系{A}內(nèi)重新定義，其中，基坐標(biāo)系{A}下的位置向量r可通過(guò)變換矩陣得到，如式(9)所示。為分支坐標(biāo)系{A5}變換至基坐標(biāo)系{A}的變換矩陣，記虎克鉸在{A}坐標(biāo)系下的位置向量為rNi。

其中，P1=c?(a2-L3sα)-L2s?-L3cαc?；

對(duì)式(11)、式(12)求取反螺旋得：

其中，

4.2.2 并聯(lián)子鏈M的約束螺旋分析

并聯(lián)子鏈M是由驅(qū)動(dòng)分支A2、A3和髖關(guān)節(jié)的U1并聯(lián)而成，所以其約束螺旋就是并聯(lián)子鏈的并集。由式(8)、式(13)得并聯(lián)子鏈M的約束螺旋系：

由式(15)中并聯(lián)子鏈M的約束螺旋系(約束矩陣)秩為6，說(shuō)明剛化后，并聯(lián)子鏈M自由度為0，虎克鉸U1由驅(qū)動(dòng)分支A2、A3驅(qū)動(dòng)。所以鋼化后支路三的約束螺旋就是虎克鉸U2的約束螺旋，即。

4.2.3 動(dòng)平臺(tái)約束螺旋分析

動(dòng)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)約束螺旋系是并聯(lián)分支約束螺旋的并集：

由式(8)、式(14)得到動(dòng)平臺(tái)約束螺旋系：

5 結(jié)論

提出了一種新型非對(duì)稱四自由度并聯(lián)腿部機(jī)構(gòu)，其優(yōu)勢(shì)在于：

(1)驅(qū)動(dòng)置于背部減小腿部運(yùn)動(dòng)慣量；

(2)便于對(duì)驅(qū)動(dòng)進(jìn)行集中性防護(hù)，擴(kuò)大了該腿部機(jī)構(gòu)的適用領(lǐng)域。

利用螺旋理論分析了腿部機(jī)構(gòu)的自由度，通過(guò)建立分支坐標(biāo)系簡(jiǎn)化求解過(guò)程，求解出動(dòng)平臺(tái)所受的結(jié)構(gòu)約束螺旋系，由此得到機(jī)構(gòu)的四個(gè)自由度，分別為x，y，z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和方向的移動(dòng)，其中，當(dāng)δ=0時(shí)，=(a20-L3)。剛化四個(gè)直線驅(qū)動(dòng)副后，對(duì)并聯(lián)腿部動(dòng)平臺(tái)的約束螺旋進(jìn)行了分析，得到約束螺旋矩陣的秩為6，即剛化后并聯(lián)腿部自由度為0，驗(yàn)證了驅(qū)動(dòng)副選擇的正確性。為步行機(jī)器人腿部構(gòu)型設(shè)計(jì)提供一種新的設(shè)計(jì)思路，為之后并聯(lián)腿部的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)工作的開(kāi)展奠定基礎(chǔ)。