李庠，李瑞琴，李輝，寧峰平

(中北大學(xué) 機械工程學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引言

目前，在多工件多位姿的搬運、裝配、包裝等領(lǐng)域主要采用多驅(qū)動的并聯(lián)機構(gòu)[1]、串聯(lián)機構(gòu)[2]或者連桿機構(gòu)[3]來實現(xiàn)。多驅(qū)動的并聯(lián)機構(gòu)由于其正解復(fù)雜，導(dǎo)致其控制系統(tǒng)復(fù)雜，而單驅(qū)動能夠簡化控制系統(tǒng)，使機構(gòu)擺脫對傳感器的依賴，顯著降低連續(xù)驅(qū)動時的能耗。因此，實現(xiàn)多個精確位姿的單驅(qū)動平面并聯(lián)機構(gòu)在工程上有重要的應(yīng)用價值。

3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)是典型的平面并聯(lián)機構(gòu)，相關(guān)文獻(xiàn)研究了其運動學(xué)和動力學(xué)性能[4-8]。Li等[9]研究了3-RRR機構(gòu)的曲柄存在條件，揭示了該機構(gòu)的可轉(zhuǎn)動性。Zhang等[10]采用轉(zhuǎn)換驅(qū)動模式的方法，在不改變其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、不增加冗余的情況下消除平面3-RRR機構(gòu)的Ⅱ型奇異性。Quintero-Riaza等[11]提出了一種平面并聯(lián)機構(gòu)的尺寸綜合方法并應(yīng)用于3-RRR機構(gòu)，能夠優(yōu)化得到預(yù)期的靈巧度好、傳動力大、覆蓋特定工作區(qū)間的機構(gòu)。

有些學(xué)者將平面并聯(lián)機構(gòu)約束為連桿機構(gòu)，進(jìn)行機構(gòu)綜合分析。Soh等[12]提出由一個平面并聯(lián)機構(gòu)約束兩個R-R(轉(zhuǎn)動- 轉(zhuǎn)動)的曲柄綜合方法，設(shè)計出能夠?qū)崿F(xiàn)5個指定位姿的8連桿機構(gòu)。Chen等[13]通過一個連桿連接兩個4連桿，生成一種能夠?qū)崿F(xiàn)11個指定位姿的8連桿機構(gòu)。Chung[14]提出將兩個4桿機構(gòu)串聯(lián)起來轉(zhuǎn)化為可以實現(xiàn)17個指定位姿的連桿機構(gòu)，但該機構(gòu)具有兩個自由度。Surez-Velsquez等[15]提出了一種1自由度的連桿機構(gòu)，可以實現(xiàn)8個指定的位姿。

Bai等[16]提出的一種通過平行四邊形機構(gòu)約束3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)得到1自由度平面并聯(lián)機構(gòu)的連桿綜合方法，計算得到動平臺能夠?qū)崿F(xiàn)10個位姿。但該文獻(xiàn)沒有對輸入- 輸出(IO)方程進(jìn)行求解，必須借助計算機輔助設(shè)計(CAD)模型仿真結(jié)果確定方程的解屬于機構(gòu)的何種構(gòu)型，因此還需要進(jìn)一步研究機構(gòu)運動軌跡與姿態(tài)的求解方法。

在此基礎(chǔ)上，本文研究單驅(qū)動3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)的IO特性，提出一種IO方程的數(shù)值解法，利用此方法精確生成機構(gòu)的連桿曲線(即運動軌跡)和姿態(tài)，能夠判斷在某一輸入下得到的多個解分別屬于機構(gòu)的何種構(gòu)型，擺脫構(gòu)型分析對CAD模型的依賴；提出一種單驅(qū)動3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)的重構(gòu)方法，計算機構(gòu)重構(gòu)后的連桿曲線與姿態(tài)。

1 3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)的數(shù)學(xué)表示

傳統(tǒng)3自由度3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)如圖1(a)所示，需要3個原動件同時驅(qū)動，在通過指定多個位姿的連續(xù)運動中，需要傳感器實時檢測機構(gòu)的運動位置，驅(qū)動電機還需要頻繁地進(jìn)行正/反轉(zhuǎn)的切換，經(jīng)常進(jìn)行加速、減速運動，能耗較大，控制系統(tǒng)復(fù)雜。為改善以上問題，本文在實驗室已有3自由度3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)的基礎(chǔ)上，提出一種單驅(qū)動3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)，在實現(xiàn)指定多個位姿的同時，降低軟件與硬件成本和能耗。

單驅(qū)動3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)如圖1(b)所示。圖1(b)中，Ai、Bi、Ci(i=1，2，3)表示第i個支鏈的各轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，G、H為支鏈2約束支鏈1、支鏈3的轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，l1i表示桿BiCi的長度，l2i表示桿AiCi的長度，e1、e2表示動平臺A1A2、A2A3的邊長，θi0表示第i個支鏈的初始角度，OBXBYB為固定在B2點的靜坐標(biāo)系。3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)有3個原動件，但桿B1C1與B3C3分別被C1G與C3H約束，形成兩個平行四邊形連桿B1C1GB2和B3C3HB2. 由于桿B1C1、B3C3的轉(zhuǎn)角θ10、θ30分別與B2C2的轉(zhuǎn)角θ20相差θ1-2=θ10-θ20、θ3-2=θ30-θ20，3個角度可以相互表示，故機構(gòu)自由度為1. 使用θ2j作為輸入角θj，其中j表示機構(gòu)處于第j個姿態(tài)：當(dāng)機構(gòu)處于初始姿態(tài)時j=0；當(dāng)桿B2C2轉(zhuǎn)過某一角度θ時，會帶動B1C1和B3C3同時轉(zhuǎn)過θ角，此時θj=θ20+θ.

圖1 3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)Fig.1 3-RRR planar parallel mechanism

為了便于描述，將靜坐標(biāo)系固定在B2點，動坐標(biāo)系固定在動平臺的A2點并隨之移動，如圖2所示。圖2中，OAXAYA為固定在A2點的動坐標(biāo)系，以支鏈B2C2A2為例，使用向量b2表示B2的位置(由于b2為0向量，故不在圖2中標(biāo)出)，向量a20、c20表示A2、C2的初始位置，向量a120表示初始位姿下A2指向A1的向量。當(dāng)機構(gòu)處于第j個位姿時，用向量rj和角度φj描述動平臺的位置和姿態(tài)，向量a2j、c2j描述A2、C2的位置，a12j表示A2指向A1的向量。支鏈B1C1A1和支鏈B3C3A3同理可表示。

圖2 機構(gòu)原動件的初始姿態(tài)與第j個姿態(tài)Fig.2 Initial orientation and jth orientation of driving link of the mechanism

假設(shè)連桿A2C2為剛體，可得

(1)

同理可得關(guān)于A1C1與A3C3的方程，故(1)式可寫為

(2)

式中：aij=rj+Qjai20；cij=bi+Rjc′i，c′i=ci0-bi；Qj、Rj為平面旋轉(zhuǎn)矩陣，Qj=Q(φj)、Rj=R(θj).

故(2)式可以寫為

(3)

(4)

式中：dij=rj+eij，eij=Qjai20-bi.

(4)式簡寫為

Jicosθj+Kisinθj+Li=0，

(5)

式中：Ji、Ki、Li均為系數(shù)，

(6)

(5)式即為機構(gòu)的綜合方程。

2 單驅(qū)動3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)的IO方程

建立單驅(qū)動3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)的IO方程，便于研究機構(gòu)的連桿曲線與姿態(tài)，判斷機構(gòu)的構(gòu)型情況。

圖3所示為IO分析的機構(gòu)運動簡圖。圖3中，μ1為桿A1A2與桿A2C2的夾角，μ2為桿A2C2與桿A2A3的夾角，α為桿A1A2與桿A2A3的夾角，ψ1為桿A2C2與線C1C2的夾角，ψ2為桿A2C2與線C2C3的夾角，σ為線C1C2與線C2C3的夾角，d1、d2分別為C2點到C1點、C3點的距離。

圖3 IO分析的機構(gòu)運動簡圖Fig.3 Kinematic diagram of the mechanism for IO analysis

對圖3所示機構(gòu)的任一個位姿，使用Freudenstein方程將平面連桿機構(gòu)的IO方程寫成無量綱形式：

k11-k12cosμ1-k13cosψ1+
cosψ1cosμ1-sinψ1sinμ1=0，

(7a)

k21-k22cosμ2-k23cosψ2+
cosψ2cosμ2-sinψ2sinμ2=0，

(7b)

式中：k11、k12、k13為等效4桿機構(gòu)A1C1C2A2的Freudenstein參數(shù)，

(8)

k21、k22、k23為等效4桿機構(gòu)A2C2C3A3的Freudenstein參數(shù)，

(9)

為了方便求解，需要利用輸入和輸出角度的幾何關(guān)系減少變量的個數(shù)，即

μ1=2π-μ2-α,

(10)

ψ1=2π-ψ2-σ,

(11)

式中：當(dāng)給定輸入角θj后，利用幾何關(guān)系計算可得σ.通過(10)式、(11)式消除μ1、ψ1兩個變量后，(7a)式可重寫為

k11-k12cos(μ2+α)-k13cos(ψ2+σ)+
cos(ψ2+σ)cos(μ2+α)-
sin(ψ2+σ)sin(μ2+α)=0,

(12)

(12)式簡寫為

D1cosψ2+E1sinψ2+F1=0,

(13)

式中：

(14)

同理,(7b)式可寫為

D2cosψ2+E2sinψ2+F2=0,

(15)

式中：

(16)

聯(lián)立(13)式、(15)式，可得

(17)

得到最終的IO方程為

f(μ2)=(E1F2-F1E2)2+(D1F2-D2F1)2-
(D1E2-D2E1)2=0，

(18)

(18)式中只包含一個變量μ2，令t=tan(μ2/2)，利用萬能公式

(19)

將(18)式化為一個關(guān)于變量t的6次多項式，此時t是可解的。得到t后，μ2和ψ2也能夠解出。當(dāng)解出μ2和ψ2后，A1、A2和A3都能用μ2和ψ2表示，

(20)

當(dāng)已知動平臺3個頂點中任意2個頂點的位姿時，便可求得rj與φj. 假設(shè)已知A1、A2兩點的坐標(biāo)，由圖2可知，A1、A3可表示為

a1j=rj+Q(φj)(a10-a20)+a20,

(21a)

a3=rj+Q(φj)(a30-a20)+a20,

(21b)

(21a)式和(21b)式轉(zhuǎn)置后相減，得

(a1j-a3j)T=[Q(φj)(a10-a30)]T=
[cosφj(a10-a30)+sinφjE(a10-a30)]T.

(22)

(22)式等號兩邊同時右乘E(a10-a30)，得

(23)

(22)式等號兩邊同時右乘a10-a30，得

(24)

令u=sinφj，v=cosφj，則φj可表示為

(25)

此時，rj可表示為

rj=a1j-a20-Q(φj)(a10-a20).

(26)

由于(18)式為6次多項式，最多具有6個實數(shù)解，其每個解都是在機構(gòu)原動件參數(shù)不變情況下的不同構(gòu)型，即機構(gòu)除了圖1所示的構(gòu)型外，最多還存在5種不同的構(gòu)型。

3 單驅(qū)動3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)的重構(gòu)方法與IO方程的數(shù)值解法

3.1 機構(gòu)的重構(gòu)方法

機構(gòu)重構(gòu)簡圖如圖4所示。圖4中，θRE為重構(gòu)角度，是B1G1與B1C1的夾角，θRE0為重構(gòu)后的初始重構(gòu)角。在桿B1C1的C1點固定一個圓心為B1、半徑為B1C1的圓弧形導(dǎo)軌，使G1點能夠沿著弧形導(dǎo)軌滑動θRE后固定，以此改變機構(gòu)的初始重構(gòu)角θRE0，此時θRE0=θ10+θRE，約束桿B1C1的平行四邊形變?yōu)锽1G1G2B2.θRE每改變一次，則實現(xiàn)對機構(gòu)的一次重構(gòu)，每次重構(gòu)后均可得到一個新的機構(gòu)。在不同原動件上增加弧形導(dǎo)軌，均能夠?qū)崿F(xiàn)對機構(gòu)的重構(gòu)，通過此類方法可以得到若干個新的機構(gòu)。不失一般性，在此以桿B1C1為例，研究機構(gòu)重構(gòu)后連桿曲線的求解方法。

圖4 重構(gòu)的機構(gòu)運動簡圖Fig.4 Kinematic diagram of reconfigured mechanism

3.2 機構(gòu)IO方程的數(shù)值解法與重構(gòu)后IO方程的數(shù)值解法

由于建立IO方程時使用了萬能公式，采用解析法求解IO方程各個參數(shù)時需要進(jìn)行角度判定，從而增加了解方程的工作量。并且由于(18)式為6次方程，可能存在多個實數(shù)解，但無法確定在不同輸入角θj下每個實數(shù)解之間的對應(yīng)關(guān)系，導(dǎo)致難以求解機構(gòu)的IO方程，因此本文提出一種IO方程的數(shù)值解法。

機構(gòu)的初始位置如圖1(b)所示，以點B2為原點，假設(shè)機構(gòu)各設(shè)計參數(shù)與運動參數(shù)已知。計算(8)式、(9)式，將所得的Freudenstein參數(shù)代入(18)式、(19)式求解t.通過(19)式計算得到μ2的所有實數(shù)解，即得到機構(gòu)的所有構(gòu)型。利用(17)式解出ψ2，代入(20)式計算A1、A2、A3在初始相位角θ10時的值，此時rj與φj均為0，將其作為MATLAB軟件中fsovle函數(shù)的初值代入(5)式中，計算當(dāng)θ10轉(zhuǎn)過一個微小角度Δθ后θj的rj與φj，并得到此時A1、A2、A3的值。再將此時的rj與φj作為fsovle函數(shù)的初值代入(5)式中，計算θj轉(zhuǎn)過一個微小角度Δθ得到新的輸入角θj時機構(gòu)的rj與φj，得到此時A1、A2、A3的值，以此循環(huán)，直到θj=360°時，即可獲得機構(gòu)的連桿曲線。

若已知機構(gòu)某一位姿，則可將該位姿代入不同構(gòu)型的方程中(參數(shù)t、μ2、ψ2以及動平臺初始位姿不同)，檢查計算是否收斂，以此判斷該位姿屬于何種構(gòu)型，也可判斷不同位姿下t的多個解的關(guān)系。

當(dāng)機構(gòu)重構(gòu)時只改變了機構(gòu)的初始重構(gòu)角θRE0，故上述方法同樣適用于重構(gòu)后的機構(gòu)。在求解時，只需要改變機構(gòu)的初始重構(gòu)角，重復(fù)上述方法即可得到機構(gòu)重構(gòu)后的連桿曲線，計算流程如圖5所示。

圖5 機構(gòu)連桿曲線計算流程圖Fig.5 Flowchart for calculating coupler curve of mechanism

4 數(shù)值算例

如圖1(b)所示，以點B2為原點，機構(gòu)的設(shè)計參數(shù)如表1所示，運動參數(shù)如表2所示。

表1 機構(gòu)的設(shè)計參數(shù)Tab.1 Design parameters of mechanism

表2 機構(gòu)的運動參數(shù)Tab.2 Kinematic parameters of mechanism

通過(18)式和(19)式計算得到μ2有2個實數(shù)解，如表3所示，表明該機構(gòu)除了圖1(b)所示的構(gòu)型以外，還存在一種構(gòu)型，如圖6所示，即該機構(gòu)共有兩種構(gòu)型。

表3 IO方程的兩個解Tab.3 Two solutions of IO equation

圖6 單驅(qū)動3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型ⅡFig.6 Configuration Ⅱ of single-driven 3-RRR planar parallel mechanism

將圖1(b)所示的機構(gòu)稱為構(gòu)型Ⅰ，圖6所示的機構(gòu)稱為構(gòu)型Ⅱ，構(gòu)型Ⅰ與構(gòu)型Ⅱ的設(shè)計參數(shù)與運動參數(shù)完全相同，但動平臺A1A2A3的位姿不同。構(gòu)型Ⅰ的ψ2通過計算所得的值為155.48°，但圖1(b)中ψ2明顯大于180°，因此ψ2=360°-155.48°=204.52°. 這表明若采用解析法求解IO方程，則還需解決角度判定問題，因此本文提出的數(shù)值解法能夠很大程度上化簡求解IO方程的工作。

構(gòu)型Ⅰ與構(gòu)型Ⅱ的重構(gòu)方法和連桿曲線與姿態(tài)的計算步驟相同，因此本文僅以構(gòu)型Ⅰ作為算例。按照圖5所示計算流程計算得到構(gòu)型Ⅰ的連桿曲線與姿態(tài)φj，通過三維建模SolidWorks軟件仿真得到連桿曲線，將理論計算曲線與仿真曲線進(jìn)行比對驗證，發(fā)現(xiàn)二者完全吻合(以B2為坐標(biāo)原點、A2為動平臺原點)，如圖7所示。構(gòu)型Ⅰ的連桿曲線在x軸上的坐標(biāo)最大值和最小值分別為50.89 mm和-85.01 mm，跨度為135.9 mm；在y軸上的坐標(biāo)最大值和最小值分別為102.1 mm和9.76 mm，跨度為111.86 mm.

圖7 構(gòu)型Ⅰ的連桿曲線Fig.7 Coupler curve of configuration Ⅰ

通過動力學(xué)仿真ADAMS軟件對其姿態(tài)φj進(jìn)行仿真，其仿真結(jié)果與理論計算所得姿態(tài)的曲線吻合，最大誤差約為0.3°，如圖8所示。構(gòu)型Ⅰ的φj在一個轉(zhuǎn)動周期內(nèi)的最大值和最小值分別為21.67°和-3.91°，跨度為25.58°.

圖8 構(gòu)型Ⅰ的姿態(tài)Fig.8 Orientation of configuration Ⅰ

通過仿真結(jié)果和理論計算結(jié)果的對比，表明IO方程與求解方法的正確性。本文提出方程的求解思路同樣適用于其他IO方程求解工作復(fù)雜、困難的連桿機構(gòu)。

機構(gòu)重構(gòu)的連桿曲線如圖9所示，隨著重構(gòu)角θRE的增加，機構(gòu)在x軸上的工作范圍越來越小，在y軸上的工作范圍越來越大。構(gòu)型Ⅰ在θRE=45°時，連桿曲線在x軸的坐標(biāo)最大值和最小值分別為25.07 mm和-55.4 mm，跨度為80.47 mm；y軸的坐標(biāo)最大值和最小值分別為119.6 mm和-7.53 mm，跨度為127.13 mm. 相比于原機構(gòu)，連桿曲線的工作范圍在x軸上減少了40.79%，在y軸上增加了13.65%.由此可得，重構(gòu)主要影響了構(gòu)型Ⅰ的連桿曲線在x軸上的工作范圍，且θRE每增加15°，連桿曲線在x軸上的坐標(biāo)最大值減少9 mm左右，坐標(biāo)最小值增加10 mm左右。

圖9 構(gòu)型Ⅰ重構(gòu)的連桿曲線Fig.9 Coupler curves of reconfiguration of configuration Ⅰ

由圖9(a)可知，重構(gòu)改變了構(gòu)型Ⅰ的連桿曲線，但所有重構(gòu)后的曲線都集中相交于M、N兩點附近，在實際應(yīng)用中可將這兩點作為機構(gòu)的特征點，再通過具體工況選擇合適的連桿曲線。

構(gòu)型Ⅰ重構(gòu)后的姿態(tài)φj如圖10所示。由圖10可見：隨著重構(gòu)角θRE的增加，構(gòu)型Ⅰ姿態(tài)φj的曲線極值點在橫坐標(biāo)上發(fā)生遷移，曲線的大致形狀相似，都存在一個波峰和一個波谷，且姿態(tài)φj的最大值和最小值也隨之增大和減??；當(dāng)θRE=0°時姿態(tài)φj的最大值和最小值分別為21.67°和-14.78°，當(dāng)θRE=45°時姿態(tài)φj的最大值和最小值分別為32.05°和3.911°，最大值和最小值的跨度分別為10.3°和18.691°.

圖10 構(gòu)型Ⅰ重構(gòu)的姿態(tài)Fig.10 Orientation of reconfiguration of configuration Ⅰ

圖10(a)中，仿真的姿態(tài)φj曲線的個別地方出現(xiàn)局部的峰值，這是因為在仿真過程中該點接近于機構(gòu)的奇異位置，從而導(dǎo)致機構(gòu)運動的突變。由于奇異位置的存在也限制了仿真過程中仿真步長的設(shè)置，最終導(dǎo)致姿態(tài)φj局部峰值的出現(xiàn)，與理論結(jié)果出現(xiàn)差異，因此在之后的研究中還要對機構(gòu)的性能進(jìn)行分析與優(yōu)化。

由圖9、圖10可知，構(gòu)型Ⅰ通過理論計算得到連桿曲線與姿態(tài)φj都與仿真結(jié)果相符，表明本文所提IO方程數(shù)值求解方法的正確性，并能夠適用于重構(gòu)后機構(gòu)的計算。

5 結(jié)論

本文利用Freudenstein方程推導(dǎo)出單驅(qū)動3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)的IO方程，提出一種數(shù)值求解方法。在此基礎(chǔ)上，提出了一種通過改變某一驅(qū)動轉(zhuǎn)動副的初始角度實現(xiàn)重構(gòu)的方法并通過數(shù)算例求解驗證。得到以下主要結(jié)論：

1)提出一種IO方程的數(shù)值解法，得到機構(gòu)的所有構(gòu)型及其連桿曲線與姿態(tài)，能夠通過計算判斷某一位姿屬于機構(gòu)的何種構(gòu)型。

2)通過對比理論與仿真得到的連桿曲線與姿態(tài)φj的曲線，證明該數(shù)值求解方法的正確性。該方法化簡之后的構(gòu)型分析工作，可為其他求解IO方程工作復(fù)雜、困難的連桿機構(gòu)提供參考。

3)使用提出的求解方法計算了該可重構(gòu)機構(gòu)的運動軌跡，理論計算結(jié)果與仿真軌跡相符，證明了該方法同樣適用于重構(gòu)后的單驅(qū)動3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)。

4)提出的約束方法能為其他多驅(qū)動平面并聯(lián)機構(gòu)轉(zhuǎn)化為單驅(qū)動或少驅(qū)動機構(gòu)提供研究基礎(chǔ)；采用的重構(gòu)方法可為單驅(qū)動機構(gòu)改變運動軌跡的重構(gòu)設(shè)計提供參考。

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