鄭昌隆，丁曉紅，沈 洪，趙利娟

（1.上海交通大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，上海 200240；2.上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093；3.上海云天聯(lián)合發(fā)展有限公司，上海 201109）

0 引言

未來飛行器設(shè)計追求更短的設(shè)計周期，而舵面作為彈體的重要部件，是飛行器主要承力部件之一，需要具有良好的氣動性能，并滿足重量輕、承載大等結(jié)構(gòu)設(shè)計要求，以保證在各種使用環(huán)境下正常工作［1］。目前，在工程上常采用調(diào)整配重和改變舵軸等方法來提高舵面力學(xué)性能，針對不同型號，需要不斷校驗結(jié)構(gòu)并更新設(shè)計方案，耗費大量時間精力，且可能引起飛行器總體指標(biāo)性能的下降［2-4］。

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化是用于結(jié)構(gòu)概念設(shè)計階段的一種優(yōu)化設(shè)計技術(shù)，能在給定的設(shè)計空間、支撐條件、承載條件和工藝設(shè)計要求下，確定結(jié)構(gòu)材料的最優(yōu)分布形式，同時使結(jié)構(gòu)的某些性能達(dá)到最優(yōu)［5］。近年來，相關(guān)研究人員將拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)引入到了舵面骨架設(shè)計中［6-7］，顯著提升了舵面結(jié)構(gòu)性能及設(shè)計效率。但基于變密度法優(yōu)化所得的舵面骨架構(gòu)型較為復(fù)雜，制造難度很大，限制了其在舵面結(jié)構(gòu)設(shè)計中的應(yīng)用。而作為一種新興仿生拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法，自適應(yīng)成長法使用梁單元、殼單元來模擬加強(qiáng)筋，并在優(yōu)化過程中不斷“生長”“分歧”“退化”，逐漸獲得最優(yōu)的加強(qiáng)筋拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。相較于以單元密度為設(shè)計變量的變密度法，自適應(yīng)成長法具有優(yōu)化效率高、優(yōu)化結(jié)果清晰、可制造性強(qiáng)等優(yōu)點，近年來被廣泛運用于板殼結(jié)構(gòu)加筋靜動態(tài)優(yōu)化設(shè)計［8-13］及三維箱體結(jié)構(gòu)加筋靜力學(xué)優(yōu)化設(shè)計中［14-15］。

本文將自適應(yīng)成長法引入舵面骨架構(gòu)型設(shè)計中，通過尋找骨架的最優(yōu)結(jié)構(gòu)形式來提高舵面結(jié)構(gòu)的動力學(xué)性能，并實現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計；然后與原始舵面結(jié)構(gòu)性能進(jìn)行對比分析，從而驗證自適應(yīng)成長法對舵面骨架構(gòu)型的優(yōu)化效果。

1 自適應(yīng)成長法

生物結(jié)構(gòu)經(jīng)過自然選擇與進(jìn)化實現(xiàn)優(yōu)勝劣汰，最終形成最優(yōu)的結(jié)構(gòu)形態(tài)。仿生學(xué)由來已久，生物學(xué)、動力學(xué)等學(xué)科的發(fā)展促進(jìn)了仿生設(shè)計學(xué)的發(fā)展。19世紀(jì)，世界上第一架滑翔機(jī)基于鳥的飛行形態(tài)問世；基于蝙蝠回音原理發(fā)明了雷達(dá)；根據(jù)青蛙眼睛的特殊構(gòu)造研制了電子蛙眼，用于監(jiān)視飛機(jī)的起落和跟蹤人造衛(wèi)星；根據(jù)空氣動力學(xué)原理，仿照鴨子頭部形狀設(shè)計了高速列車；模擬蒼蠅楫翅的天然導(dǎo)航作用制成了震動陀螺儀，使得飛機(jī)火箭等設(shè)備能夠?qū)崿F(xiàn)自動駕駛。仿生學(xué)雖然取得了眾多不菲的成就，但目前仍然處于發(fā)展初期，因為大多結(jié)構(gòu)仿生設(shè)計只是單純地進(jìn)行結(jié)構(gòu)模擬，對其內(nèi)在影響因素的研究還不夠深入。

仿生優(yōu)化是通過模擬自然界生物進(jìn)化或者社會行為而提出的一種設(shè)計優(yōu)化方法，隨著計算機(jī)技術(shù)的普及而得到發(fā)展。該設(shè)計方法由于實現(xiàn)簡單、設(shè)計靈活性好、效率高而被應(yīng)用于工程領(lǐng)域。丁曉紅等［8-9］通過研究自然界分枝系統(tǒng)的形成機(jī)理，提出了一種基于植物根系形態(tài)自適應(yīng)成長規(guī)律的板殼結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋設(shè)計方法，即自適應(yīng)成長法。

1.1 自適應(yīng)成長法基本原理

自然界分枝系統(tǒng)具有清晰的分布形態(tài)，這些分枝系統(tǒng)都可以根據(jù)外部環(huán)境的刺激和內(nèi)部營養(yǎng)要求等來改變本身的發(fā)育及其生長的方向，調(diào)節(jié)自身結(jié)構(gòu)，以滿足內(nèi)部需求并適應(yīng)外部環(huán)境，最終實現(xiàn)一個最優(yōu)的過程。圖1是幾種常見的自然界分枝結(jié)構(gòu)。觀察分枝形態(tài)，可以發(fā)現(xiàn)它們分枝的共同特點：植物根系總是從種子點出發(fā)，樹木總是從樹根部出發(fā)，珊瑚總是從根部出發(fā)，葉脈總是從葉柄點出發(fā)。它們都為適應(yīng)其生長環(huán)境自動生長、分歧、穩(wěn)定，且始終朝著最有利的方向成長，如盡可能多地吸收養(yǎng)分和水分，盡可能多地吸收陽光，最有效地承受諸如生物本身重力、風(fēng)雨雪載荷等地面上載荷，使整個結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能最優(yōu)。

圖1 自然界分枝系統(tǒng)Fig.1 Biological branching systems in nature

加筋板殼結(jié)構(gòu)受到一定的外載荷作用，可類比于自然界分枝網(wǎng)的生長環(huán)境，通過研究分枝系統(tǒng)的形態(tài)形成機(jī)理，建立一種基于這種形成機(jī)理的結(jié)構(gòu)加筋板分布優(yōu)化設(shè)計方法，就能實現(xiàn)類似于生物分枝系統(tǒng)的具有最優(yōu)性能的加筋板分布設(shè)計。如植物根系的成長過程，主根總是從種子出發(fā)，依據(jù)自適應(yīng)成長規(guī)律，沿著能使其整體功能最優(yōu)的方向成長并分歧毛根。自適應(yīng)成長過程如圖2所示。

在加強(qiáng)筋分布設(shè)計中，首先根據(jù)承載和約束條件，確定若干“種子”位置，如圖2（a）中的圓點，與“種子”相連的加強(qiáng)筋可以根據(jù)一定的規(guī)則成長或退化；加強(qiáng)筋長到一定的尺度，則可以“分歧”，與“分歧點”相連的加強(qiáng)筋在下一步迭代中可以參與成長或退化；加強(qiáng)筋退化到一定的尺度，則“消失”，過程如圖2（b）～（c）所示。這個過程反復(fù)進(jìn)行，直至滿足收斂條件，結(jié)束成長。

圖2 自適應(yīng)成長過程Fig.2 Growth process of adaptive growth

1.2 自適應(yīng)成長法仿生優(yōu)化數(shù)學(xué)模型及求解

板殼結(jié)構(gòu)加筋板分布優(yōu)化設(shè)計問題可以表述為：以筋板的厚度作為設(shè)計變量，在一定的體積約束下，尋求結(jié)構(gòu)在某種載荷工況下的某種力學(xué)性能最優(yōu)。因此板殼結(jié)構(gòu)加筋板分布優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型可表示為

式中：X為設(shè)計變量；xi為第i個活動筋板單元的截面積；n為加強(qiáng)筋單元的總數(shù)；Φ（X）為目標(biāo)函數(shù)；V和V0分別為整體板殼結(jié)構(gòu)的總體積和初始體積；η為體積約束因子；xmin和xmax分別為設(shè)計變量xi的取值下限和上限；g(X)為約束函數(shù)。

自適應(yīng)成長法的尋優(yōu)迭代公式可基于最優(yōu)準(zhǔn)則法推導(dǎo)?；贙KT（Karush-Kuhn-Tucker）條件最優(yōu)準(zhǔn)則法推導(dǎo)筋板成長公式，建立拉格朗日方程為

式中：χ為拉格朗日乘子。

在最優(yōu)X*處，式（2）應(yīng)滿足KKT必要條件，即

當(dāng)xmin＜xi＜xmax時，根據(jù)式（3）可得

式中：Ai為第i個筋板單元的截面積。

總目標(biāo)對設(shè)計變量的靈敏度為

整體結(jié)構(gòu)的總體積V可表達(dá)為

式中：li是第i個筋板單元的長度，即

將式（5）和式（7）代入式（4）可得

式中：k為迭代步數(shù)。為了保證收斂性，引入步長因子α，從而設(shè)計變量Ai的迭代公式為

拉格朗日乘子為

1.3 自適應(yīng)成長法優(yōu)化設(shè)計流程

基于自適應(yīng)成長技術(shù)的基本原理，以式（9）為尋優(yōu)迭代公式對結(jié)構(gòu)進(jìn)行加筋板分布優(yōu)化設(shè)計。具體流程如圖3所示，主要包括以下4步。

圖3 自適應(yīng)成長法優(yōu)化設(shè)計流程Fig.3 Flow chart of optimization design of adaptive growth method

1）建立基結(jié)構(gòu)，設(shè)置設(shè)計域與非設(shè)計域。將設(shè)計對象進(jìn)行簡化，并對結(jié)構(gòu)離散，建立基結(jié)構(gòu)，根據(jù)設(shè)計要求設(shè)置非設(shè)計域和設(shè)計域。

2）選取“種子點”，設(shè)置優(yōu)化參數(shù)。根據(jù)結(jié)構(gòu)的支撐和承載情況，選擇基結(jié)構(gòu)上若干點為“種子點”。給定步長因子α、加強(qiáng)筋的初始厚度x0及分歧臨界值xb、加強(qiáng)筋的總體積約束因子η、收斂容差ε以及最大迭代次數(shù)N。

3）靈敏度分析。對結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，計算活動筋板單元的靈敏度。

4）成長和重建。判斷活動筋板單元的狀態(tài)，如果滿足成長條件，通過式（9）更新xi；如果筋板厚度滿足xb，則該筋板單元分歧；如果滿足退化條件，則該筋板單元退化。

如果優(yōu)化迭代的目標(biāo)函數(shù)連續(xù)兩次的差值小于收斂容差，或者迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)定的最大值N，則退出循環(huán)，否則返回第4 步，繼續(xù)成長，直到達(dá)到收斂條件。

2 舵面結(jié)構(gòu)仿生拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計

2.1 優(yōu)化模型構(gòu)建

在優(yōu)化設(shè)計前，根據(jù)舵面結(jié)構(gòu)的幾何特性，創(chuàng)建舵面仿生拓?fù)鋬?yōu)化模型。由于蒙皮舵面的邊緣最小厚度僅為1.5 mm，因此選用舵面的部分區(qū)域為設(shè)計域，如圖4所示。定義初始骨架厚度為1 mm，生成初始基結(jié)構(gòu)，最終生成的骨架結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖4 舵面骨架結(jié)構(gòu)設(shè)計域/非設(shè)計域示意圖Fig.4 Design/non-design domain of the rudder skeleton structure

圖5 舵面骨架初始基結(jié)構(gòu)Fig.5 Initial ground structure of the rudder skeleton

2.2 仿生拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計

自適應(yīng)成長法是基于自然界植物分枝機(jī)理而提出的，因此舵面骨架在優(yōu)化初始需要指定骨架生長的初始點——“種子”。由于舵面的約束施加于舵軸上，本文優(yōu)化中選用約束處作為“種子”，并在一定的設(shè)計目標(biāo)和設(shè)計約束下，尋找最優(yōu)的骨架結(jié)構(gòu)分布形態(tài)。本文以結(jié)構(gòu)的一階固有頻率最大為目標(biāo)，結(jié)構(gòu)體積為約束條件（總體積的30%）對板結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為

式中：T為設(shè)計變量，具體為每個骨架筋板的厚度；f1為目標(biāo)函數(shù)（結(jié)構(gòu)的一階固有頻率）。

經(jīng)過仿生拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計得到舵面內(nèi)部骨架分布如圖6所示，優(yōu)化后舵面骨架分布清晰合理，且便于進(jìn)行制造。優(yōu)化求解迭代曲線如圖7所示，其中為初始舵面結(jié)構(gòu)的固有頻率。

圖6 仿生拓?fù)鋬?yōu)化后舵面骨架結(jié)構(gòu)Fig.6 Rudder skeleton structure obtained by bionic topology optimization

圖7 仿生拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計迭代歷史曲線Fig.7 Iteration history curve of bionic topology optimization

優(yōu)化迭代過程中，舵面結(jié)構(gòu)的一階固有頻率在前10 個迭代步中增長較快，之后迭代曲線逐漸趨于平緩并收斂，優(yōu)化效果理想，驗證了自適應(yīng)成長法的有效性及骨架優(yōu)化的正確性。

3 對比與分析

為評估仿生拓?fù)鋬?yōu)化效果，在HyperMesh 軟件中建立優(yōu)化前后舵面的有限元模型，并在Optistruct軟件中進(jìn)行有限元分析。計算得到的優(yōu)化前后舵面的前兩階與顫振相關(guān)的固有振型，如圖8所示。

圖8 舵面模態(tài)振型Fig.8 Modal shape of the rudder structure

將原始舵面模型與優(yōu)化后舵面模型前5階的固有頻率數(shù)值及結(jié)構(gòu)質(zhì)量進(jìn)行對比，如表1所示。

表1 優(yōu)化前后舵面結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of the initial rudder structure and its optimized result

由表1可知優(yōu)化后舵面結(jié)構(gòu)的第一階固有頻率為136.2 Hz，較原始舵面結(jié)構(gòu)的基頻122.5 Hz 提高了11.2%，從振型圖可知優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)的振型相同。從質(zhì)量來看，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為1.86 kg，而原始結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為2.37 kg，優(yōu)化后舵結(jié)構(gòu)的質(zhì)量相較于原始結(jié)構(gòu)質(zhì)量減少了21.5%。

4 結(jié)束語

針對舵面固有頻率優(yōu)化問題，利用自適應(yīng)成長法，在給定設(shè)計域內(nèi)對舵面內(nèi)部骨架結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿生拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，獲得了內(nèi)部骨架構(gòu)型，并基于有限元法對比了優(yōu)化前后舵面結(jié)構(gòu)的性能，驗證了舵面骨架結(jié)構(gòu)仿生拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計的有效性。自適應(yīng)成長法仿生拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計具有如下優(yōu)點：

1）基于自適應(yīng)成長法的舵面結(jié)構(gòu)動力學(xué)設(shè)計方法能夠有效獲得滿足設(shè)計要求的清晰的筋板布局形態(tài)，并可在此基礎(chǔ)上獲得清晰簡潔的舵面骨架構(gòu)型，從而提高結(jié)構(gòu)的可制造性。同時，基于仿真的設(shè)計方法還可以有效縮短設(shè)計周期。

2）基于自適應(yīng)成長法的設(shè)計方法在有效提升舵面結(jié)構(gòu)固有頻率的同時，還可顯著降低舵面結(jié)構(gòu)質(zhì)量，實現(xiàn)高剛輕質(zhì)結(jié)構(gòu)的設(shè)計，滿足航空航天結(jié)構(gòu)高剛輕質(zhì)的設(shè)計需求，具有良好的工程應(yīng)用價值。