吳杰，陳輝

（安徽商貿職業(yè)技術學院基礎教學部，安徽 蕪湖 241002）

1 問題的提出

近年來，國內外針對電池放電問題進行了大量研究。丁麗等利用曲線、曲面擬合給出了電池放電模型，但未對初始放電狀態(tài)進行研究，且擬合結果不夠精確[1-4]。付春流等提出基于支持向量回歸的剩余放電時間預測方法，但是需要對數(shù)據(jù)單獨研究，而且預測比較繁瑣[5]。侯國亮等提出基于指數(shù)函數(shù)的函數(shù)擬合方法，但計算出來的平均相對誤差（MRE）較高，而且預測精度較低[6-8]。覃爽使用logistic函數(shù)模型建立了電壓與時間的關系模型，但舍去了大量不一致的數(shù)據(jù)，導致誤差急劇增大[9]。本文中，筆者利用C題數(shù)據(jù)[10]，通過非線性擬合、多元回歸等統(tǒng)計手段，對電池放電數(shù)據(jù)進行分析，建立了任意電流放電曲線模型和剩余放電時間預測模型，并利用MRE的定義對模型進行了檢驗。

2 放電曲線建立與求解

2.1 各放電曲線方程的建立與求解

圖1為同一批次電池在9種電流強度下放電曲線。在電流強度I下，放電初期電壓不穩(wěn)定，對預測產生影響。定義t0(I)為該電流強度I下的預測分割點。通過Matlab編程，得到不同電流強度下對應的分割點t0(I)和電池最大放電時間tmax，見表1。

圖 1 不同電流強度下電池電壓與放電時間關系曲線

表 1 不同電流強度下的時間分割點

[t0(I),tmax(I)]放電電壓處于下降趨勢，且放電初期電壓下降平緩，放電末期電壓下降迅速，放電曲線與拋物線趨勢一致。建立電壓與電流強度、時間的二元拋物線模型一：

式（1）中，Um為額定的最低保護電壓，本題中Um=9 V。結合表1，設定電流強度I，將式（1）轉化為一元模型，利用Matlab軟件進行非線性擬合，得出對應放電曲線系數(shù)，見表2。電流強度I下的放電曲線和放電電壓的誤差曲線如圖2、3所示。擬合曲線與實驗數(shù)據(jù)高度吻合，且電壓的最大誤差低于0.09 V，擬合效果好。

表 2 電流強度I下放電曲線系數(shù)

圖 2 不同電流強度下的放電曲線

圖 3 不同電流強度下的誤差曲線

不同電流強度下的電壓誤差呈現(xiàn)出震蕩趨勢，建立誤差函數(shù)

式（2）中，c、d、f、g為系數(shù)。結合式（1），改進模型，得出模型二：

以I=100 A為例，對誤差函數(shù)系數(shù)進行擬合，得到放電曲線函數(shù)為：

如圖4所示，誤差擬合曲線與模型一的誤差曲線較吻合，誤差曲線擬合較精確，從而提高了模型一的精度。特別地，U=9.8 V時，由模型一得出的電流強度I下的電池的剩余放電時間見表3。

圖 4 I=100 A時的誤差擬合曲線

表 3 不同電流強度下電池的剩余放電時間

2.2 各放電曲線的 MRE 求解

注意到數(shù)據(jù)中電壓間隔不同，且有部分超過0.005 V，利用三次樣條插值，完善數(shù)據(jù)。根據(jù)平均相對誤差（MRE）的定義[10]，按0.005 V的間隔提取231個電壓樣本點，計算出模型一和模型二下不同電流強度時的MRE，二者保持一致，見表4。MRE平均值為0.55%，最大值為0.96%，所以MRE整體較小，具有一定的優(yōu)勢[11-15]。通過計算，由模型二通過震蕩函數(shù)調整放電初期的放電情況，降低了擬合的絕對誤差，提高了擬合的精度，所以從此角度來看，模型二優(yōu)于模型一。但是模型二所需參數(shù)較多，擬合難度大，且其對MRE的計算未產生多大影響，因此如果基于該角度，模型一較優(yōu)。

表 4 不同電流強度下的MRE

3 任意電流強度放電數(shù)學模型

利用上述模型，做出電流強度I下的放電曲線。通過圖5可知，不同電流強度下放電曲線趨勢保持一致，符合拋物線模型，將式（1）的系數(shù)看作是電流強度I的函數(shù)，建立任意電流放電曲線模型三：

圖 5 電流強度I時放電曲線

利用多項式擬合，通過不斷改變多項式次數(shù)，尋求最優(yōu)線性關系，得出系數(shù)a(I)、b(I)和最大放電時間tmax(I)與電流I的關系表達式：

結合式（6）～（8），得出不同電流強度下的放電曲線函數(shù)的系數(shù)和最大放電時間。利用表5計算不同電流強度下的MRE，得到與表4相同的結果，表明任意電流放電曲線模型精度高。

表 5 電流強度I放電曲線參數(shù)

將I=55 A帶入式（6）～（8），得出放電曲線方程為

對應放電曲線如圖6所示。

圖 6 I=55 A時的放電曲線圖像

4 電池剩余時間預測

設a=(a1,a2,…,an)為一個n維向量，amin為向量的最小值，amax為向量的的最大值，a*=(a1*,a2*,…,an*)為其進行標準化后的向量，則有

對電池在不同衰減狀態(tài)下的放電數(shù)據(jù)進行標準化處理，得到如圖7所示處理后的放電情況。三種狀態(tài)下的電池放電狀態(tài)趨勢一致，建立衰退狀態(tài)3下的放電時間t與新電池放電時間t1、衰退狀態(tài)1下放電時間t2和衰退狀態(tài)2下放電時間t3、電壓u的多元回歸模型四：

圖 7 標準化后電池放電曲線

結合所給數(shù)據(jù)，利用Matlab進行多元回歸分析，得出回歸模型的統(tǒng)計量中R2為0.9999，F(xiàn)統(tǒng)計量值遠大于分位點，檢驗P為0，小于0.05，表明該回歸模型擬合優(yōu)度高。對應回歸模型的置信區(qū)間如圖8所示。根據(jù)置信區(qū)間，剔除異常點的相關數(shù)據(jù)，建立自回歸模型。經(jīng)過多次回歸，直至平均絕對誤差不再減小，停止自回歸，得到回歸方程

圖 8 置信區(qū)間

模型的平均絕對誤差為1.2867，表明擬合效果更好。衰減狀態(tài)3下放電預測曲線見圖9。利用該模型計算出衰減狀態(tài)3的最大放電時間為836.37min，與當前放電時間596.20min的差為240.2min。

圖 9 衰減狀態(tài)3下放電預測曲線

5 結語

通過對放電數(shù)據(jù)的擬合，構建了任一恒定電流強度放電時的放電曲線模型。結合誤差，增加誤差震蕩函數(shù)，對放電模型進行改進，解決放電初期的放電問題，且得到的MRE具有一定的優(yōu)勢。針對同一電池在不同衰減狀態(tài)下以同一電流強度放電，對數(shù)據(jù)進行歸一化處理，得出電池放電的共同規(guī)律，建立多元線性自回歸模型，通過多次自回歸，擬合出最佳的放電曲線。此模型具有通用性，只需將實際數(shù)據(jù)代入模型中，即可得出任意電流強度下的放電曲線，為電池性能的檢測系統(tǒng)提供了有效的依據(jù)。