閆麗

(菏澤學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,山東 菏澤 274015)

0 引言

在量子信息研究領(lǐng)域中,量子系統(tǒng)演化速度是一個(gè)基本而重要的問(wèn)題,它決定了一個(gè)量子在特定的過(guò)程中從現(xiàn)態(tài)演化到目標(biāo)態(tài)所需要的時(shí)間,而這個(gè)動(dòng)力學(xué)過(guò)程能達(dá)到的最短時(shí)間被定義為量子速度極限時(shí)間(QSLT)[1],它在研究量子系統(tǒng)演化時(shí)間時(shí)起到關(guān)鍵作用,進(jìn)而為量子關(guān)聯(lián)的度量提供了依據(jù)。量子速度極限在量子通信[2]、量子計(jì)算[3]、量子最優(yōu)控制[4]等多個(gè)領(lǐng)域中有重要的應(yīng)用。目前,在封閉系統(tǒng)和普遍的開(kāi)放系統(tǒng)中對(duì)于量子速度極限時(shí)間都有一定的研究[5,6],發(fā)現(xiàn)在封閉系統(tǒng)中糾纏可以加速量子系統(tǒng)的演化[7,8]。另外,還證實(shí)了在開(kāi)放系統(tǒng)中環(huán)境的記憶效應(yīng)也能使量子演化的速度增加[9]。

通常,人們采用共生糾纏[10]、負(fù)本征值等方法可以較為全面地研究原子與腔場(chǎng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化。近年來(lái)一些研究表明,由量子速度去分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為更有優(yōu)勢(shì),需進(jìn)一步探索。在量子機(jī)制里速度被分為縱向速度和橫向速度兩部分,前者主要分析在確定初始條件下的量子演化過(guò)程,而后者基于不同的初始條件和環(huán)境參數(shù)來(lái)觀察其變化。本文采用已提出的量子速度測(cè)量方法來(lái)度量一個(gè)量子體系的動(dòng)力學(xué)演化速度,同時(shí)討論了原子與腔場(chǎng)的相互作用對(duì)量子加速的影響。

1 理論模型

式中:ωs是原子的固有頻率,ωc是腔場(chǎng)的中心頻率,σ+(σ?)是原子的上升(下降)算符,a+(a)是腔場(chǎng)的產(chǎn)生(湮滅)算符,g是原子與腔場(chǎng)的耦合強(qiáng)度。

假設(shè)體系的初始狀態(tài)為

其中腔場(chǎng)處于粒子數(shù)態(tài)|n〉,原子處于基態(tài)和激發(fā)態(tài)|0〉和|1〉。那么,演化過(guò)程中體系的態(tài)矢可以表示為

假設(shè)系統(tǒng)的初始態(tài)密度矩陣為ρ=ρmn(m,n=0,1),則原子在任意時(shí)刻的約化密度矩陣表示為[11]

式中Pt為原子處于激發(fā)態(tài)的布居數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)[12],采用量子加速方法來(lái)測(cè)量動(dòng)力學(xué)演化速度,即

(6)式作為檢測(cè)量子加速的基本公式,顯然當(dāng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)速度單調(diào)遞增時(shí)會(huì)有

式中ξ為系統(tǒng)變量(如演化時(shí)間,初始條件,環(huán)境參數(shù)等),(7)式將作為量子加速的檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),其可以表示在動(dòng)力學(xué)機(jī)制中存在潛在的量子加速現(xiàn)象。具體地,分為兩種類型:一種是縱向加速,它發(fā)生在有確定初始態(tài)和固定環(huán)境的量子演化過(guò)程中;另一種是橫向加速(?tξi=0),它起因于初始條件(ξi)的改變,這里的初始條件可以是初始態(tài)也可以是環(huán)境參數(shù)。

根據(jù)(8)式系統(tǒng)的縱向加速度和橫向加速度分別為(n=0)

(9)式中t表示演化時(shí)間,(10)式中g(shù)表示原子與腔場(chǎng)的耦合強(qiáng)度。

2 數(shù)值計(jì)算與理論分析

(8)式可以用來(lái)分析系統(tǒng)的演化速度,特別是當(dāng)粒子數(shù)n取0時(shí),即腔場(chǎng)初始態(tài)處于真空態(tài)時(shí),Pt=cos2(gt),則t=0時(shí)速度將達(dá)到最大,表示為

在這樣的閉合系統(tǒng)中,原子與光學(xué)腔之間的動(dòng)力學(xué)演化呈現(xiàn)出隨時(shí)間發(fā)生糾纏與解糾纏的現(xiàn)象。根據(jù)文獻(xiàn)[12]可以用量子加速來(lái)測(cè)量這一過(guò)程,為了區(qū)分兩種類型的加速,在此系統(tǒng)中,改變演化時(shí)間和原子與腔場(chǎng)的耦合強(qiáng)度可分別得到縱向加速和橫向加速。圖1描述了當(dāng)腔場(chǎng)初始處于真空態(tài)時(shí),原子與腔場(chǎng)的耦合系數(shù)對(duì)原子縱向加速產(chǎn)生的影響,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的縱向加速(?tS>0)是具有周期性的,并且在某些時(shí)刻量子態(tài)的演化不加速。耦合強(qiáng)度能夠增強(qiáng)原子與光場(chǎng)間的糾纏,所以當(dāng)耦合系數(shù)比較小時(shí),縱向加速振蕩頻率較低且產(chǎn)生的加速量小;當(dāng)耦合系數(shù)比較大時(shí),縱向演化振蕩頻率增強(qiáng)并產(chǎn)生較大的加速。以上現(xiàn)象表明原子與腔場(chǎng)的耦合能夠增強(qiáng)量子態(tài)的縱向加速。

圖2描述了當(dāng)腔場(chǎng)初始處于真空態(tài)時(shí),原子在確定時(shí)刻上的橫向加速,這里的橫向加速起因于腔場(chǎng)與原子耦合強(qiáng)度的變化。由圖2可以發(fā)現(xiàn)在很短的時(shí)間內(nèi),原子的橫向加速隨著耦合強(qiáng)度的增加單調(diào)遞減,最終趨于0;但隨著演化時(shí)間的推移,原子的橫向加速隨著耦合強(qiáng)度的增強(qiáng)具有周期性的變化且在某些特定的耦合強(qiáng)度上沒(méi)有加速。表明隨著演化時(shí)間增加,量子態(tài)的橫向加速增強(qiáng),并出現(xiàn)周期性振蕩。

圖1 當(dāng)n=0,α=1/,時(shí),不同耦合強(qiáng)度(g=0.2,g=2)下系統(tǒng)的縱向加速Fig.1 The longitudinal speedup for the system with different coupling strength(g=0.2,g=2)when n=0,α =1/

圖2 當(dāng)n=0,α=1/時(shí),不同演化時(shí)間(t=0.2,t=2)下系統(tǒng)的橫向加速Fig.2 The transverse speedup for the system with different evolution time(t=0.2,t=2)when n=0,α =1/

3 結(jié)論

在一個(gè)由二能級(jí)原子與單模腔場(chǎng)相互作用的系統(tǒng)中,研究了利用動(dòng)力學(xué)演化的加速公式來(lái)檢測(cè)量子態(tài)的演化加速(包括縱向加速和橫向加速),討論了不同的腔場(chǎng)與原子的耦合強(qiáng)度對(duì)量子態(tài)演化加速的影響,發(fā)現(xiàn)量子態(tài)的縱向演化加速隨時(shí)間做周期性變化,并且通過(guò)增加耦合強(qiáng)度可以使量子態(tài)的縱向加速增強(qiáng)；另外,量子態(tài)的橫向加速隨演化時(shí)間的增加而增強(qiáng),并出現(xiàn)周期性振蕩。