李亮

明清之際，西洋傳教士來華及西學(xué)東漸，給中國帶來了大量的西方科學(xué)技術(shù)和思想，是近代中外文化交流的一個重要方面。然而，由于中西科學(xué)知識體系的不同，使得早期的交流與融合面臨著諸多困難。尤其對于中國歷算家來說，當(dāng)時傳入的西學(xué)知識中，最難接受的便是三角學(xué)。一方面，是因為中國古代數(shù)學(xué)缺乏一般角的概念，以及球面三角學(xué)等知識，即“未有予立算數(shù)以盡勾股之變者”。(1)《自然辯證法通訊》雜志社編：《科學(xué)精英：求解斯芬克斯之謎的人們》，北京：世界圖書出版公司北京公司，2015年，第512頁。清代歷算家梅文鼎(1633—1721)曾指出傳統(tǒng)《授時歷》中存有弧矢割圓之術(shù)，其精華“剖析渾體，于無勾股中尋出勾股”，大體與西方球面直角三角學(xué)有著類似的功能。不過，有研究認(rèn)為這與球面三角法依然有著根本上的區(qū)別。(2)郭書春主編：《中國科學(xué)技術(shù)史·數(shù)學(xué)卷》，北京：科學(xué)出版社，2010年，第 419頁。而這種差異也有著思想上的根源，如李約瑟就認(rèn)為“中國人的數(shù)學(xué)思想與實踐一貫是代數(shù)學(xué)的，而不是幾何學(xué)的”。(3)[英]李約瑟：《中國與西方的科學(xué)與社會》，載潘吉星主編：《李約瑟文集》，沈陽：遼寧科學(xué)技術(shù)出版社，1986年，第71頁。

另一方面，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)也缺乏與三角學(xué)相對應(yīng)的計算表格。清代數(shù)學(xué)家安清翹(1756—1829)就曾指出“古勾股、弧矢之術(shù)，于理已盡，于法亦無不足，所少者未曾立表耳”，而當(dāng)時很多著作因不能立表布算，導(dǎo)致這些書“既不能布算，是無用之書也”(4)[清]安清翹：《一線表用》，《數(shù)學(xué)五書》本。。雖然中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)已有勾股術(shù)和弧矢術(shù)，然而與勾股、弧矢相關(guān)的三角函數(shù)表卻是自明末由西方引入的。

在明末，徐光啟就曾強調(diào)三角函數(shù)表的重要性，并將其命名為“大測表”(后改稱“八線表”)，認(rèn)為“其數(shù)之多，其用之廣，于測量百法中皆為第一，故名大測”(5)[明]徐光啟：《崇禎歷書·割圓八線表》，韓國首爾大學(xué)奎章閣圖書館藏。。清末數(shù)學(xué)家徐有壬(1800—1860)也稱其“萬算皆從此出，表之用大矣”(6)[清]徐有壬：《務(wù)民義齋算學(xué)·造各表簡法》，清光緒九年刊本。。

最早系統(tǒng)介紹三角函數(shù)和三角函數(shù)表的中文專著是德國耶穌會士鄧玉函(Johann Schreck，1576—1630)的《大測》，該書以德國數(shù)學(xué)家畢的斯克斯(Bartholomeo Pitiscus, 1516—1613)《三角法》的1612 年版本作為底本，并且參照了比利時數(shù)學(xué)家斯蒂文(Simon Stevin，1548—1620)的著作《數(shù)學(xué)記錄》，將西方三角學(xué)知識總結(jié)成“六宗”“三要”“二簡法”“四根法”。(7)董杰、陳建平：《中國第一部三角學(xué)譯著<大測>的底本與版本研究》，載《中國科技史雜志》2017年第2期，第173—185頁。不過，在《大測》出版之前，一些零散的三角學(xué)知識就已陸續(xù)傳入中國，其中就包括一份名為《同文算指別編》的著作。書中記載的八位數(shù)據(jù)弦表，則是近代西方三角學(xué)和三角函數(shù)表傳入中國之首。這份弦表主要用于黃道坐標(biāo)、赤道坐標(biāo)和地平坐標(biāo)之間的換算，以及日出入時刻和晨昏時刻的推算等。只因該書當(dāng)時并未出版，所以一直未引起學(xué)界的關(guān)注。

另外，雖然三角函數(shù)表在天文、航海和大地測量等領(lǐng)域有著廣泛的運用，但由于中西知識體系之間的隔閡，導(dǎo)致明末對三角函數(shù)表的編算和使用存有不小的爭議。甚至入清之后，有些爭議還一直存在。本文從三角函數(shù)表傳入和調(diào)適的角度，對《同文算指別編》進行介紹，分析和考證其內(nèi)容來源，并且對明末清初中國引入和會通西方三角函數(shù)表過程中，引起的問題以及引發(fā)的爭議進行分析和討論。

一、《同文算指別編》及其弦表

《同文算指》是意大利耶穌會士利瑪竇(RicciMatthieu，1552—1610)和李之藻(1565—1630)合作編譯的一部影響甚大的數(shù)學(xué)譯著。數(shù)學(xué)史家錢寶琮曾指出：“《同文算指》書在西學(xué)東漸史中與徐光啟所譯之《幾何原本》六卷皆為極重要之著述，而所收成效尤在《幾何原本》之上”(8)錢寶琮：《浙江疇人著述記》，載《錢寶琮科學(xué)史論文選集》，北京：科學(xué)出版社，1983年，第307頁。。該書分為《前編》《通編》和《別編》三部分，前兩部分于1614年左右出版，據(jù)李之藻《同文算指前編》序記載“薈輯所聞,厘為三種：《前編》舉要,則思已過半；《通編》稍演其例,以通俚俗,間取《九章》補綴,而卒不出原書之范圍；《別編》則測圜諸術(shù),存之以俟同志”(9)[明]李之藻：《<同文算指前編>序》，載《中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)》卷4，開封：河南教育出版社，1993年，第79頁。。其中，《前編》介紹了自然數(shù)、小數(shù)的筆算加減乘除四則運算的方法；《通編》敘述了分?jǐn)?shù)、比例、級數(shù)求和、盈不足、方程、開帶以平方等算法，為全書的核心。(10)鄒振環(huán)：《<同文算指>的譯述及其意義》，載《上?？萍挤g》1990年第2期，第45頁。這些內(nèi)容被認(rèn)為是根據(jù)利瑪竇的老師克拉維斯(Christopher Clavius，1537—1612)在1583年出版的《實用算術(shù)概論》(EpitomeArithmeticaePracticae)一書編譯(11)錢寶琮：《中國數(shù)學(xué)史》，北京：科學(xué)出版社，1964年，第236頁。，此外，還參考了中國數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》(12)[日]武田楠雄：《<同文算指>の成立》，載《科學(xué)史研究》，1954(30)，第7—14頁。和周述學(xué)的《神道大編歷宗算會》(13)潘亦寧：《中西數(shù)學(xué)會通的嘗試——以<同文算指>(1614年)的編纂為例》，載《自然科學(xué)史研究》2006年第3期，第215—226頁。等書。

《同文算指》出版時只包含《前編》二卷和《通編》八卷，《別編》并未一同刊印，因此不廣為人知。以至于早期的學(xué)者甚至懷疑《同文算指別編》就是《圜容較義》，只因其刻本單行，故不稱別編。(14)錢寶琮：《浙江疇人著述記》，載《錢寶琮科學(xué)史論文選集》，北京：科學(xué)出版社，1983年，第285頁。后來，數(shù)學(xué)史家李儼發(fā)現(xiàn)了法國國家圖書館所藏《同文算指別編》抄本(館藏號為Chinois 4862，后稱《別編》),并于1935年由王重民赴巴黎整理敦煌史料工作期間，代為復(fù)制回國。(15)當(dāng)年攝制的照片目前保存于中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所“李儼圖書館”(館藏號：善子530.9915/302)。近年來，這些照片又被重新處理和整理，收錄于《中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)》卷4?！秳e編》抄本署名“西海，利瑪竇授；浙西，李之藻演”(16)[明]利瑪竇、李之藻：《同文算指別編》，法國國家圖書館藏抄本。，內(nèi)容只有“截圜弦算”一節(jié)(圖1)。全書開篇介紹了西方三百六十度“平度”制，以及“弦”“弧”和“全數(shù)”等概念，并給出了“弧”和“弦”之間的六種用法。(17)即“有以弧度分求正弦數(shù)者；有以弧度分求余弦數(shù)者；有以正弦數(shù)求弧度分者；有以余弦數(shù)求余弧度分者；有以弧度分求弦倒數(shù)者；有以弦倒數(shù)求弧度分者”。

圖1 《同文算指別編》首頁(左)和封面(右)(法國國家圖書館藏)

從內(nèi)容來看，書中有多處刪改和潤色的痕跡，可能屬于當(dāng)時編譯用的一個“工作本”。其主體內(nèi)容是一份弦表，但該書并沒有完整抄錄弦表全部內(nèi)容，只是給出了表格首尾兩頁，且每頁也只示范性地列出了首尾幾行的數(shù)據(jù)。不過，在弦表首尾兩頁之間預(yù)留了足夠的空白頁，顯然是為了以后補充所用(圖2)。(18)中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所藏該書照片算表頁有王重民標(biāo)注的“原書此處有白紙數(shù)十頁。重民記”字樣。

圖2 《同文算指別編》中的弦表

除了表格之外，該書還詳細(xì)介紹了如何使用該表進行十種不同的天文計算，包括：

(1)推黃道度離赤道法。

(2)以北極度推日出入時所離卯酉中地平度法。

(3)以日出入時所離卯酉中之平度推此極出地度法。

(4)推每日太陽最高度法。

(5)推半晝分法。

(6)以時刻推太陽離地平度法。

(7)以太陽離地度分推時刻法。

(8)推朦朧景時刻法。

(9)以各宿距黃道度求距赤道度法。

(10)以黃道經(jīng)度求所值赤道經(jīng)度法。(19)[明]利瑪竇、李之藻：《同文算指別編》，法國國家圖書館藏抄本。

從中可以看出，這些計算主要涉及黃道坐標(biāo)、赤道坐標(biāo)和地平坐標(biāo)之間的換算，以及與之相關(guān)的日出入時刻和晨昏時刻的推算等問題，屬于球面三角學(xué)知識。并且每個問題都是首先介紹計算步驟，然后以 “假如”(即算例)的形式給出具體推算方法。

此外，各問題之后所附算例，不但前后關(guān)聯(lián)，也非常具有針對性。例如，這些“假如”都是以“金牛二度”為例，有的算例在計算時還需要調(diào)用前一算例中的相關(guān)結(jié)果。地理緯度則統(tǒng)一以“京師北極出地四十度”為例，時間也一致采用“萬歷庚子(1600)”。而且還以此對恒星位置進行了歲差修正，如文中提到“假如大角經(jīng)度原離白羊一百七十度二十分，今于萬歷庚子測之，加歲差二十七度四十七分”。(20)[明]利瑪竇、李之藻：《同文算指別編》，法國國家圖書館藏抄本。

總體而言，該書在內(nèi)容上除了僅對“弧度”“正弦”“余弦”和“弦倒數(shù)”(21)“弦倒數(shù)”即現(xiàn)代三角學(xué)中的“矢”，《崇禎歷書·大測》記載“倒弦者，余弦與全數(shù)之較，本名矢”。等概念做了簡單說明外，并沒有系統(tǒng)地介紹三角學(xué)的理論知識，以及給出算表的編算方法。而是以問題的形式來介紹，如何通過弦表直接進行相關(guān)天文計算，可以說是一本極具實用性和操作性的三角學(xué)小冊子。

《別編》全書主體內(nèi)容都是介紹如何使用正弦和余弦表進行天文學(xué)中的球面三角計算。由于是首次將西方的三角算表介紹到中國，為了讓讀者能夠熟悉算表的結(jié)構(gòu)和使用方法，該書還在弦表之前，對其編排方式和用法做了詳細(xì)介紹，其內(nèi)容如下：

后列橫表每二副，搃作一副。觀而置右副居上，左幅居下，相聯(lián)定算。首層所排〇、一、二、三順行至八十九，皆正弧度，末層所列自八十九逆數(shù)至一、〇皆余弧度，相交對。其每幅右行所順列自〇、一、二、三以至六十為正弧度之細(xì)分，左行所倒列自六十至三、二、一、〇為余弧度之細(xì)分，亦相交對。其中間自第二層至三十一層所列，皆本度本分之弦也。(22)[明]利瑪竇、李之藻：《同文算指別編》，法國國家圖書館藏抄本。

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)和天文算表一般很少在表前給出專門的解釋性文字，這份弦表由于譯自西方著作，其排列方式和用法也都符合西方的習(xí)慣，所以書中對其編排結(jié)構(gòu)逐一做了說明。

其中，還使用了此前中國傳統(tǒng)算表中較少使用的“副”“層”和“行”等術(shù)語。“副”大致相當(dāng)于一頁，即表的每部分都由上下兩幅組成，右副居上，為〇到三十分即各度前三十分的數(shù)據(jù)，左幅居下，為后半部分的數(shù)據(jù)?！皩印北硎舅惚淼母鱾€橫行，表中每副共有三十三層，首層和末層分別順行和逆行列出從〇至八十九各個度數(shù)，中間的三十一層為對應(yīng)的〇至三十或者三十至六十分的正弦和余弦數(shù)值。

這份弦表將正弦和余弦數(shù)值置于一份表中，利用對稱結(jié)構(gòu)，使其數(shù)據(jù)能夠被共享，以節(jié)約表格篇幅。從不同方向讀取表格，可以分別實現(xiàn)正弦和余弦的讀數(shù)操作。這種如今看起來司空見慣的表格形式，在西方算表傳入中國之前卻是顯得非?！傲眍悺?。這種利用表格數(shù)據(jù)的對稱性，從正反兩個不同方向讀取表格的西方算表形式，也被稱之為“旋轉(zhuǎn)對稱”(Rotational Symmetry)結(jié)構(gòu)。(23)Li Liang,“Tables with ‘European’ Layout in China: A Case Study in Tabular Layout Transmission”,International Journal for the History of the Exact and Natural Sciences in Islamic Civilisation,issue 13,2014:pp.83-101.這種結(jié)構(gòu)對此后中國數(shù)學(xué)和天文算表產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，不僅在清代的各種算表中被廣泛運用，甚至在《明史·歷志》中還被用于改編《回回歷法》等內(nèi)容。(24)Li Liang,“Arabic Astronomical Tables in China: Tabular Layout and its Implications for the Transmission and Use of the Huihui Lifa”，East Asian Science, Technology,and Medicine,No.44，2016:pp.21-68.

該表的另一特點是使用了八位數(shù)據(jù)，以“一〇〇〇〇〇〇〇”(即一千萬)為全數(shù)(即圓半徑)，書中提到“其徑即環(huán)半徑，割謂一千萬分，謂全數(shù)。凡數(shù)彌析彌精，更衍之，當(dāng)不止此。然析至千萬見大凡矣，故名全數(shù)也”(25)[明]利瑪竇、李之藻：《同文算指別編》，法國國家圖書館藏抄本。。弦表全數(shù)即半徑越大，算表的位數(shù)越多，數(shù)據(jù)也就越精確，該書采用一千萬為半徑，認(rèn)為千萬分最為常見，這也是當(dāng)時西方弦表最為常用的標(biāo)準(zhǔn)之一。

二、弦表的發(fā)展及《別編》來源

在西方傳統(tǒng)中，古希臘、印度和阿拉伯科學(xué)家很早就利用三角學(xué)知識，構(gòu)建出不同的算表以輔助計算。尤其是通過運用三角學(xué)和球面三角法知識，用以解決天文、航海和大地測量等領(lǐng)域的各種問題。與其他古代文明注重幾何模型不同，中國傳統(tǒng)天文學(xué)主要利用代數(shù)方法解決三角學(xué)上的問題，所以對三角函數(shù)表的需求并不十分迫切，相對西方的發(fā)展也比較滯后。

公元6世紀(jì)時，一些印度天文學(xué)和數(shù)學(xué)書籍隨著佛經(jīng)一起傳入中國，其中就包括印度弧度度量法及球面三角法等?！堕_元占經(jīng)》(718)所載《九執(zhí)歷》就記載有一份當(dāng)時傳入的正弦表。(26)田淼：《西方數(shù)學(xué)知識在中國的傳播——中國數(shù)學(xué)家對三角函數(shù)概念及公式的研究》，載《中國數(shù)學(xué)的西化歷程》，濟南：山東教育出版社，2005年，第278—325頁。此外，天文學(xué)家僧一行(683—727)在其編修的大衍歷(724)中，也構(gòu)造有一張晷影差分表, 被認(rèn)為是最早的正切函數(shù)表。(27)劉金沂、趙澄秋：《唐代一行編成世界上最早的正切函數(shù)表》，載《自然科學(xué)史研究》1986 年第4期，第298—309頁。不過這些著作雖然將類似于三角學(xué)的計算表格化，但并不是嚴(yán)格意義上的三角函數(shù)表，且未能引起中國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家的重視，也沒有產(chǎn)生顯著的影響。16世紀(jì)末，隨著西學(xué)東漸和明末歷法改革的推進，西方三角學(xué)知識依托于天文學(xué)再次傳入中國，對中國數(shù)學(xué)和天文等科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。

西方弦表起源于古希臘，不過嚴(yán)格意義上的現(xiàn)代弦表15世紀(jì)之后才正式出現(xiàn)。古希臘數(shù)學(xué)家希帕恰斯(Hipparchus, 約前190—前120)最早給出了計算指定圓弧所對應(yīng)弦長的方法, 之后經(jīng)過托勒密(Claudius Ptolemy，約100—170)的發(fā)展，編算成半徑為60，間隔為半度的弦表，并收入其《至大論》(Almagest)第一卷中。

托勒密之后的相當(dāng)長時間內(nèi)，弦表并沒有得到重視和發(fā)展，直到德國天文學(xué)家雷喬蒙塔努斯(Iohannes Regiomontanus，又名 Johannes Müller，1436—1476)于1463年左右編寫了一份共計三十頁，半徑為60000，間隔為1角分的弦表。(28)不過，直到1490年該表才在其著作Tabul? Directionum Profectionumque中出版。Johannes Regiomontanus,Tabul? Directionum Profectionumque,Augsburg: Erhard Ratdolt, 1490.為了提高精度，雷喬蒙塔努斯于1465年又將弦表的半徑增加至6000000。隨后，為了計算方便，他又對弦表進行了改進，在1468年完成了半徑為10000000(八位)的弦表(29)Folkerts, Menso, Regiomontanus als Mathematiker, Centaurus,1977(3-4):pp.214-245.，這項工作也奠定了以后弦表的基本形式。

在相當(dāng)長時間里，西方編撰的各類弦表都是直接或間接來自雷喬蒙塔努斯。例如，德國學(xué)者阿皮安(Peter Apian，1495—1552)就將雷喬蒙塔努斯弦表的半徑簡化到100000(六位)。(30)Peter Apian, Introductio Geographica, Ingolstadt,1533.此外，哥白尼(Nicolaus Copernicus，1473—1543)也在其基礎(chǔ)上，完成了一份共計三十六頁，間隔為1角分的八位弦表。(31)Nicolas Copernicus,De lateribus et angulis triangulorum, tum planorum rectilineorum, tum sphaericorum, libellus eruditissimus & utilissimus.Wittemberg: Johannes Lufft, 1542.同時，哥白尼在其《天體運行論》中也給出了一份進行簡化的，間隔為10角分的五位弦表。(32)Nicolas Copernicus，De revolutionibus orbium coelestium.Nuremberg:Johannes Petreius, 1543.

哥白尼的門徒雷蒂庫斯(Georg Joachim Rheticus，1514—1574)則將弦表計算推向了極致，他一生中最主要的工作除了幫助哥白尼出版《天體運行論》，就是進行三角算表的編算。因其將畢生精力都投入算表的編算中(33)雷蒂庫斯不但出版了最早的正割表，還首次使三角算表的編排間隔達到一角分以下。，雷蒂庫斯也被認(rèn)為是“二十世紀(jì)之前最偉大的數(shù)學(xué)算表編算者”(34)Archibald R C, Rheticus, with special reference to his Opus Palatinum,Mathematics of Computation,1949,3(28):pp.552-561.。他認(rèn)為當(dāng)時造成觀測誤差的主要原因，已經(jīng)不再是儀器的精密與否，而是三角算表中不斷累計的誤差所致，于是立志編算間隔為10角秒的十一位弦表。然而，這項工作一直到他死后，才由他的門徒瓦倫廷(Valentinus Otho，1550—1603)繼續(xù)完成。雷蒂庫斯甚至還試圖編算一份間隔為10角秒，半徑為十六位的弦表，但這一目標(biāo)直到1613年才由皮提斯卡斯(Bartholomaeus Pitiscus，1561—1613)實現(xiàn)。

《別編》八位弦表由利瑪竇傳入中國，由于利瑪竇介紹至中國的《幾何原本》《測量法義》《圜容較義》等西方著作，都是直接或間接源自克拉維斯。(35)克拉維斯被利瑪竇稱為丁先生，徐光啟在“刻《幾何原本》序”中說：“利先生從少年時，論道之暇，留意藝學(xué)，且此業(yè)在彼中所謂師傳曹習(xí)者，其師丁氏，又絕代名家也。”并且《同文算指》前編和通編的主要內(nèi)容亦是源自克拉維斯(36)《幾何原本》《測量法義》《圜容較義》《同文算指》前編和通編的主要內(nèi)容分別來自克拉維斯的Euclidis elementorum libri XV(1574);Geometria practica(1604);In sphaeram Ioannis de Sacro Bosco commentaries(1570);Epitome arithmeticae practicae(1583)。，所以可以推斷，這份弦表很可能來源也相似。當(dāng)時，在西方出版八位弦表著作的數(shù)學(xué)家屈指可數(shù)，克拉維斯便是其中一位?？死S斯多部著作中都有與《別編》弦表非常相似的算表(圖3)。(37)例如，克拉維斯的著作Astrolabium(1593); Theodosii Tripolitae Sphaericorum libri tres(1558);Opera Mathematica(1612) 和Tabul? Sinuum, Tangentium Et Secantium, Ad partes radij 10,000,000(1607)。此外，克拉維斯也指出，其弦表也是在雷喬蒙塔努斯的基礎(chǔ)上修訂而成。

圖3 克拉維斯著作中的弦表(38)左圖源自Astrolabium，右圖源自Tabul? Sinuum, Tangentium Et Secantium, Ad partes radij 10,000,000。

在克拉維斯的各種著作中，與《別編》在內(nèi)容和性質(zhì)上最為接近的是1607年出版的一本手冊(39)該書全名為Tabul? Sinuum, Tangentium Et Secantium, Ad partes radij 10,000,000.& ad scrupula prima Quadrantis, Et ad earum praxin breuis introductio, ex pleniore Tractatu。大意為《半徑為一千萬的正弦、正切和正割及其簡要使用手冊》。，名為“Tabul?Sinuum,TangentiumEtSecantium,Adpartesradij10,000,000”。(40)該書原書包括“Typographus Ad lectorem”(序言)、“Definitions”(定義)、“Observationes”(慣例)、“Exposition partium tabulae”(表的一些解釋)、“Usus tabularum in sinibus”(正弦表的使用)和“Usus tabularum in tangentibus & secantibus”(正切和正割表的使用)。其中“Definitions”部分簡要介紹了“Chorda”(弦)、“Sinvs rectus”(正弦)、“Sinus versus”(倒弦)、“Complementum sinus versi”(倒余弦)、“Complementum arcus”(余弧)、“Sinus complementi”(余弦)、“Sinus totus”(半徑，即全數(shù))、“Tangens”(正切)、“Secans”(正割)?！癊xposition partium tabulae”部分則與《同文算指別編》一樣介紹了表的編排結(jié)構(gòu)和查表方法。該書與《別編》不同之處，一方面只是《別編》還介紹有弦表在天文計算中的運用，并且給出了具體算例；另一方面，《別編》并沒有和弦表一起給出切線和割線的算表。因此，與《同文算指》的前編和通編一樣，《別編》很明顯也不是單一的直譯克拉維斯的某部著作，其天文計算部分應(yīng)該參照了其他相關(guān)著作，而算例應(yīng)該是根據(jù)中國京師的位置和萬歷年間的天象重新編算而成。

至于《別編》為何沒有最終出版，可能與利瑪竇于1610年去世有關(guān)。李之藻與利瑪竇于1601年相識(41)李之藻于1601年，在利瑪竇留居北京不久，便去拜訪，他曾在《職方外紀(jì)序》中提到：“萬歷辛丑(1601)，利氏來賓，余從僚友數(shù)輩訪之?！眳⒁奫明]李之藻：《天學(xué)初函 編器 下》，黃曙輝點校，上海：上海交通大學(xué)出版社，2013年，第1352頁。，從其學(xué)習(xí)西方天文﹑數(shù)學(xué)﹑地理等知識。因為聰穎勤奮，李之藻很快地掌握了這些新知識，利瑪竇在其《札記》中也提到“他(李之藻)掌握了丁先生(Father Clavius，即克拉維斯)所寫的幾何學(xué)教科書的大部分內(nèi)容”(42)[意]利瑪竇、[法]金尼閣著：《利瑪竇中國札記》，何高濟等譯，北京：中華書局，1983年，第432頁。。不久兩人以“耳受手書”的方式(43)李之藻在《渾蓋通憲圖說自序》中記載有：“昔從京師識利先生，歐羅巴人也，示我平儀。……得未曾有，耳受手書，頗亦鏡其大凡?！焙献魍瓿闪恕稖喩w通憲圖說》(44)《渾蓋通憲圖說》于1605年開始編譯，1607年刻印出版。(1607)和《圜容較義》(1608)兩書(45)利瑪竇在1608年8月2 日給羅馬耶穌會總會長阿桂委瓦神父的信中提到“跟我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)已經(jīng)好久了，今年再印刷《渾蓋通憲圖說》, 是我恩師丁先生神父的Astrolabio 的節(jié)譯本, 由我口授而他筆錄”，“現(xiàn)在他已回到北京, 準(zhǔn)備印刷丁先生恩師的《同文算指》 (Arithmetica Practica) 及《論鐘表》(De Horologiis)兩書”。參見[意]利瑪竇著：《利瑪竇書信集》，羅漁譯，臺北：光啟出版社，1986年，第366頁。。隨后，兩人又開始了《同文算指》的編譯。李之藻在《同文算指》序中說也提到“往游金臺，遇西儒利瑪竇先生”，利瑪竇與其“精言天道，旁及算指”，李之藻因“喜其便于日用”，隨即決定翻譯此書。與此同時，利瑪竇也不斷寫信要求羅馬教廷給他寄送最新的數(shù)學(xué)書籍。

1610年，利瑪竇過世，次年李之藻亦因其父去世而回家鄉(xiāng)守喪，《同文算指》的出版事宜一再拖延。雖然《前編》和《通編》幾年后陸續(xù)出版，但由于《別編》只有“截圜弦算”一節(jié)，屬于尚未完工的著作，書中介紹的平面三角學(xué)知識，與后面舉例的球面三角學(xué)內(nèi)容，在體例上也不太一致。因此，利瑪竇去世后，李之藻可能難以獨自繼續(xù)完成該書，最終只留下了這部“半成品”。

三、三角函數(shù)表在中國的引入和調(diào)適

《別編》作為最早將西方弦表及其使用方法介紹至中國的著作，因并未出版，所以在當(dāng)時影響比較有限。中國最早正式出版的一批三角學(xué)著作主要有鄧玉函的《大測》《割圓八線表》和羅雅谷(Giacomo Rho，1593—1638)的《測量全義》。這些著作大約完成于1631年左右，皆屬于《崇禎歷書》的一部分。(46)崇禎四年(1631)正月二十八日徐光啟在第一次進呈的書中正式提交了《大測》二卷、《割圓八線表》六卷和《通率表》二卷等?！稖y量全義》十卷則屬于崇禎四年八月初一日第二次進呈的書目之一。然而，由于中西知識體系之間的差異，其出版過程也并不順利，在使用習(xí)慣以及編算方法等方面都面臨著不小的爭議。

《崇禎歷書》中保留有兩份早期的三角函數(shù)表，一份為《割圓八線表》中間隔為1角分的六位算表，另一份為《測量全義》卷3中的“割圓八線小表”(間隔為15角分的五位算表)。這里的“小表”是相對“大表”和“中表”而言(47)如《治歷緣起》曾提到有《黃道升度立成中表》四卷，今已不得見。，其區(qū)別在于“大表之全數(shù)或八位或九位、十位，今小表止全數(shù)六位，以便推算”(48)[明]徐光啟：《崇禎歷書·割圓八線表》，韓國首爾大學(xué)奎章閣圖書館藏明刊本。，即不同位數(shù)的表格用于滿足不同精度需求的計算。

據(jù)《治歷緣起》記載，崇禎三年(1630)主持歷法改革的歷局已完成 “書表稿草一十九卷”，其中就包括《測圓八線立成長表》四卷和《通率立成表》一卷等。不過，崇禎四年(1631)正式進呈崇禎皇帝時，書目中包括有《割圓八線表》六卷和《通率表》二卷。(49)[明]徐光啟：《崇禎歷書·治歷緣起》，美國哥倫比亞大學(xué)藏明刊本。然而，《崇禎歷書》正式刊印時卻僅有《割圓八線表》一卷。可見，當(dāng)時編算的《長表》等最終都并未付梓。

另據(jù)《學(xué)歷小辯》記載，最初編修《大測》時“有《立成》，有《通率》，都為一十六卷，八十余萬言”(50)[明]徐光啟：《學(xué)歷小辯》，日本國立公文書館藏本。,可見其內(nèi)容之多，工作量之巨大?！洞鬁y》中亦提到使用算表可以“不勞余力，不費晷刻”，但是同時 “為之者勞，用之者逸”(51)[明]徐光啟：《崇禎歷書·大測》，韓國首爾大學(xué)奎章閣圖書館藏明刊本。。此外，徐光啟也指出，諸表的編算“此則今之愈繁，乃后之愈簡，以臣等之甚難，開諸臣之甚易，何足畏哉？”(52)[明]徐光啟：《崇禎歷書·治歷緣起》，美國哥倫比亞大學(xué)藏明刊本。表明了這些算表的編算工作在當(dāng)時雖然艱巨，但編成后便可以一勞永逸，使用極為便捷。

三角八線表的使用也大大促進了明末歷法改革的進程，以及《崇禎歷書》的編修工作。崇禎二年(1629)，徐光啟在改歷之初就提到“如舊用測圓術(shù)，求距度一率，即須展轉(zhuǎn)乘除，窮日之力。而臣等翻譯原文二萬一千六百率，又改從大統(tǒng)加減演算為三萬六千率，用之，推步展卷即得”。他還指出“新法立成其種以百計，一種之率大者以萬計，儻用其舊術(shù)，當(dāng)聚數(shù)十人推算二三百年乃可竣事，將何以應(yīng)詔稱任使乎”(53)[明]徐光啟：《學(xué)歷小辯》，日本國立公文書館藏本。。因此，在徐光啟看來，倘若使用傳統(tǒng)的弧矢割圓術(shù)進行推算，動輒上萬格的篇幅，幾乎無法在短期內(nèi)完成。

由于三角八線表 “推步展卷即得”的特點，使其不僅得到歷局的追捧，甚至一些反對西法的傳統(tǒng)歷算家也不排斥將其作為一種工具來使用。例如，徐光啟曾批評魏文魁 “尤用周三徑一，開方求矢之法”，認(rèn)為他固執(zhí)地堅持中國傳統(tǒng)弧矢割圓術(shù)。魏文魁則答復(fù)：“弧矢割圓三乘之誤，貴局定有良見著為書，何如使魏收入《歷元》以傳后世？”(54)[明]徐光啟：《學(xué)歷小辯》，日本國立公文書館藏本?？梢姡幢阄何目@樣的保守派，也希望徐光啟能將西方三角之法公諸于世。當(dāng)然，徐光啟自然不愿與其分享這一利器，只是略帶嘲諷的回應(yīng)他：“老而好學(xué)，誠往昔之美談。然求人之術(shù)，乃當(dāng)以排抵為羔雁耶？”并指出歷局編譯的算表多達八十余萬言，如果“以入《歷元》得無本末不相稱耶？此書為用甚大，故名《大測》，自當(dāng)孤行于世，待知者用之”。(55)[明]徐光啟：《學(xué)歷小辯》，日本國立公文書館藏本。

圖4 《崇禎歷書·通率表》朱補遺抄本(日本天理大學(xué)藏)

從《崇禎歷書》最終的出版情況看，其三角八線表還是放棄了傳統(tǒng)百進制，選擇全盤接受西法的六十進制。一方面，可能是這樣的轉(zhuǎn)換，無疑加大了推算的工作量，且使用不便。另一方面，可能是徐光啟等人在修歷中意識到“會通”的難處，中國的勾股術(shù)和以三角為基礎(chǔ)的西方割圓八線法并不完全相容。如祝平一就認(rèn)為，放棄周天度而統(tǒng)一使用平度360度，正是歷局策略調(diào)整之一。這樣會使以往《大統(tǒng)歷》所使用的各類立成表形同廢物，以迫使傳統(tǒng)歷法的支持者放棄中法，從而接受西法。(59)祝平一：《三角函數(shù)表與明末的中西歷法之爭——科學(xué)的物質(zhì)文化試探》(上)、(下)，載《大陸雜志》1999年5月：第41—48頁；1999年6月，第9—18頁。

其實，關(guān)于三角函數(shù)表的編算到底采用六十進制還是百進制，至清代還一直存有爭議。例如，清初歷算家薛鳳祚(1599—1680)在其《天學(xué)會通》(60)《天學(xué)會通》原題名《歷學(xué)會通》，部分內(nèi)容收入《四庫全書》后避諱改名。中就編撰有百進制的三角函數(shù)，認(rèn)為“今有較正會通之役，復(fù)患中法太脫略，而舊法又以六成十不能相入，乃取而通之，自諸書以及八線皆取六數(shù)通以十?dāng)?shù)”(61)[清]薛鳳祚：《歷學(xué)會通·中法四線引》，益都薛氏遺書本。。梅文鼎對其采用百進制，以此與傳統(tǒng)《授時歷》保持一致的做法，給予了充分肯定，認(rèn)為“是書亦稱其以西法六十分通為百分，從授時之法，實為便用”。(62)李亮、石云里：《薛鳳祚西洋歷學(xué)對黃宗羲的影響——兼論<四庫全書>本<天學(xué)會通>》，載馬來平主編《中西文化會通的先驅(qū)“全國首屆薛鳳祚學(xué)術(shù)思想研討會”論文集)》，濟南：齊魯書社，2011年，第218—230頁。然而，清代數(shù)學(xué)家江永(1681—1762)對此卻提出了不同看法，指出“薛儀甫(即薛鳳祚)著《天學(xué)會通》改六十分為百分，則當(dāng)先改八線表，而余諸表皆不可用，亦覺更張多事”(63)[清]江永：《數(shù)學(xué)》卷1，《叢書集成初編》本。。他認(rèn)為薛鳳祚雖然將三角函數(shù)表轉(zhuǎn)為百進制，這卻給其他各種六十進制表的使用帶來了極大不便，明顯多此一舉。

結(jié)語

16世紀(jì)，隨著新航路的開辟，歐洲傳教士絡(luò)繹東來，開啟了中西文化交流的序幕，西方近代科學(xué)隨之不斷傳入中國。當(dāng)近代科學(xué)與中國傳統(tǒng)科學(xué)接觸后，尤其在天文與數(shù)學(xué)等領(lǐng)域產(chǎn)生了較為深遠(yuǎn)的影響。誠如梁啟超所言:“自明徐光啟以后,士大夫漸好治天文算學(xué)”，而“其于西來法,食而能化,足見民族器量焉”(64)粱啟超：《清代學(xué)術(shù)概論》，上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1985年，第47頁。。不過，這種對外來知識的吸收與融合并非一蹴而就。

由于中西科學(xué)知識體系的不同，在當(dāng)時傳入的西學(xué)知識中，人們最難以接受的便是三角學(xué)。其根源在于中國人的數(shù)學(xué)思想與實踐一貫是代數(shù)學(xué)的，而不是幾何學(xué)的。想要用三角學(xué)取代傳統(tǒng)代數(shù)計算方法，就需要人們在概念和工具等多個層面產(chǎn)生思想上的轉(zhuǎn)變。

雖然，一些西方三角學(xué)知識在隋唐時期就已經(jīng)隨著佛經(jīng)從印度傳入中國，但并沒有產(chǎn)生任何影響。真正意義上的三角學(xué)知識及其算表，則是自明末以后通過耶穌會士傳入中國。據(jù)李儼先生統(tǒng)計，自三角學(xué)被引入中國至19世紀(jì)末，中國共出版了102部三角學(xué)著作，其中關(guān)于平面三角學(xué)的有39部，球面三角學(xué)37部，三角函數(shù)表26種。(65)李儼：《三角術(shù)和三角函數(shù)表的東來》，載《中算史論叢》第3集，北京：科學(xué)出版社，1955年，第191頁。這些變化可以說，帶來了一場數(shù)理知識的革命。

《同文算指別編》是最早將西方弦表和三角學(xué)知識傳入中國的著作，全書內(nèi)容雖然只有 “截圜弦算”一節(jié)，但較為全面地介紹了“弦”“弧”和“全數(shù)”等概念，以及“弧”和“弦”的六種用法。書中還通過算例介紹有如何通過弦表進行天文學(xué)上的球面三角計算，是一本極具實用性和操作性的三角學(xué)手冊。本文研究發(fā)現(xiàn)，《別編》中的弦表與利瑪竇傳入的其他西學(xué)著作相似，同樣也是參照了克拉維斯的著作。不過，《別編》在算例等內(nèi)容上，因地制宜地做了適當(dāng)改編，地理緯度選用“京師北極出地四十度”，時間則采用了“萬歷庚子(1600)”。

此外，由于《別編》屬于尚未完成的著作，該書最終并未出版，在當(dāng)時影響比較有限。到了崇禎改歷期間，隨著《崇禎歷書》的纂修，西方三角學(xué)知識通過《大測》《割圓八線表》和《測量全義》等書系統(tǒng)地傳入中國。三角八線表的引入和使用，在很大程度上促進了歷法改革的進程，許多天文算表得以借此迅速地編算完成。

在改歷之初，為了符合中國傳統(tǒng)百進制的習(xí)慣，在算表編算方面，歷局曾計劃在翻譯西方六十進制表格基礎(chǔ)上，另制一份百進制算表，并且通過《通率表》對兩種不同的進制單位進行轉(zhuǎn)換計算。然后，由于工作量巨大，且使用不便，歷局最后不得不放棄中國傳統(tǒng)，轉(zhuǎn)為與西方傳統(tǒng)保持一致。此外，做出這樣的決定也可能是歷局的一項策略，希望以此迫使中法的支持者接受西法。

入清之后，關(guān)于三角函數(shù)表進制的爭論仍舊在延續(xù)，這也反映了其傳入和會通經(jīng)歷了一個較長的調(diào)適過程。在三角函數(shù)表受到普遍重視之后，人們也不再僅僅滿足于了解其用法，還關(guān)注起其不同的構(gòu)造方法，并且在此基礎(chǔ)上亦有所創(chuàng)新。(66)董杰、陳建平：《中國第一部三角學(xué)譯著<大測>的底本與版本研究》，載《中國科技史雜志》2017年第2期，第51—63頁。通過明清之際三角函數(shù)表在中國的使用，反映了在歐洲科學(xué)知識傳入過程中，如何通過消化與吸收近代科學(xué)的思維方式、概念，以及工具和方法，逐步不斷地調(diào)適，以實現(xiàn)對舊有科學(xué)范式的改造。

致謝：法國國家圖書館藏《同文算指別編》抄本的調(diào)查和整理，起始于作者2012年在巴黎第七大學(xué)博士后工作期間參與的HNT(History of Numerical Tables)項目。作者感謝林力娜(Karine Chemla)教授提供《別編》的館藏信息和線索，以及在2013年5月法國布列塔尼HNT項目Workshop期間幫助獲得Christopher Clavius的部分拉丁文著作。