莫春鵬　覃柏英

摘 要：為提高阻尼譜修正迭代法求解病態(tài)線性方程組的性能，提出了一種較佳阻尼因子的新確定方法，并對其迭代方式進(jìn)行了改進(jìn).通過采用兩個(gè)經(jīng)典算例，采用新確定方法和改進(jìn)的迭代方式對算法求解病態(tài)線性方程組的影響進(jìn)行了分析.結(jié)果表明，兩者都可提高病態(tài)線性方程組求解的精度.

關(guān)鍵詞：阻尼因子;譜修正迭代法;病態(tài)線性方程組

中圖分類號：O241.6;O151.2 ?DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.02.018

0引言

科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的許多問題可建立其數(shù)學(xué)模型[1-2]，其中有一類常見的數(shù)學(xué)模型，即線性方程組.當(dāng)其系數(shù)矩陣的條件數(shù)較大時(shí)，稱其為病態(tài)線性方程組.傳統(tǒng)算法應(yīng)用于病態(tài)線性方程組求解時(shí)難以保證數(shù)值解的精度，給實(shí)際問題的解決帶來巨大困難和線性方程組的準(zhǔn)確性求解帶來極大不穩(wěn)定[3-5].因此，研究病態(tài)線性方程組的高精度求解，在科學(xué)研究和工程應(yīng)用中都具有重要的意義和價(jià)值.

為了實(shí)現(xiàn)病態(tài)線性方程組較準(zhǔn)確的求解，研究者提出了多種數(shù)值求解算法[6-14].為了改善系數(shù)矩陣的病態(tài)性，王新洲等[14]提出了譜修正迭代法.該算法理論上可獲得線性方程組的最優(yōu)解，但其實(shí)際應(yīng)用時(shí)收斂速度較慢.鄧興升等[15]提出了阻尼譜修正迭代法，但應(yīng)用于許多病態(tài)線性方程組求解時(shí)，因受阻尼因子選擇和數(shù)值迭代方式的影響，依然存在收斂速度較慢等問題，且精度依然有待提高.

因此，本文提出一種阻尼因子的新選擇方法，并改進(jìn)數(shù)值迭代方式，由此提出改進(jìn)阻尼譜修正迭代法，并探討了新確定方法和改進(jìn)數(shù)值迭代方式對改進(jìn)阻尼譜修正迭代法應(yīng)用于病態(tài)線性方程組求解的影響.采用兩個(gè)經(jīng)典算例，探討了結(jié)合兩者的改進(jìn)譜修正迭代法在病態(tài)線性方程組的應(yīng)用.

現(xiàn)采用3種算法LSM、DCCV、IDCCV分別求解上述兩算例，結(jié)果分別如表1和表2所示.其中兩算例[α]取值分別為2.500 0[×10-7]和1.111 5[×10-10]，算例1取[n=10]和[p=5×10-4]，算例2的[n=8]，[F]表示算法的迭代次數(shù)，并以[ε=E∞]為算法的終止條件.各算例中終止條件[ε]都取了3個(gè)值以驗(yàn)證算法的性能.

由表1和表2可知，LSM、DCCV、IDCCV都可實(shí)現(xiàn)病態(tài)線性方程組較高精度的求解，但比較第2至4列的結(jié)果可知，DCCV和IDCCV明顯優(yōu)于LSM，IDCCV明顯優(yōu)于DCCV，特別地，IDCCV 的解明顯更滿足線性方程組（1）.當(dāng)[ε]取第2個(gè)值時(shí)，在增加迭代次數(shù)時(shí)，算法IDCCV可獲得病態(tài)線性方程組更高精度的解，而算法DCCV卻無法實(shí)現(xiàn).同時(shí)，算法IDCCV還可通過[ε]取第3個(gè)值再次提高病態(tài)線性方程組求解的精度.由此可見，阻尼因子的新確定方法和其改進(jìn)迭代方式可提高阻尼譜修正迭代法求解病態(tài)線性方程組的精度，即IDCCV優(yōu)于算法LSM和DCCV，使IDCCV的數(shù)值解[X]更接近其真實(shí)解[X]，且更滿足線性方程組（1）.

6高維問題

對于病態(tài)線性方程組的求解，為了更充分說明IDCCV的性能，現(xiàn)將IDCCV應(yīng)用于高維病態(tài)線性方程組，即將IDCCV應(yīng)用于算例1和算例2的高維問題的求解.

取定算例1的[p=5×10-6].兩算例的維數(shù) n=100、200、500、1 000、2 000、3 000、4 000.系數(shù)矩陣A對應(yīng)的條件數(shù)[κ]，阻尼因子[α]的取值以及IDCCV求解病態(tài)線性方程組的結(jié)果分別如表3和 ? 表4所示.

對于高維的強(qiáng)病態(tài)線性方程組（1），由表3和表4可知，算法IDCCV可獲得高維問題高精度的數(shù)值解.由此可見，改進(jìn)阻尼譜修正迭代法應(yīng)用于病態(tài)線性方程組的高維問題時(shí)，其求解精度較高，并且相對于阻尼譜修正迭代法，可使得所求的數(shù)值解更能滿足線性方程組（1）和接近其真實(shí)解X.

7結(jié)論

針對阻尼譜修正迭代法，本文提出一種較佳阻尼因子的新確定方法和改進(jìn)數(shù)值迭代方式，由此提出改進(jìn)阻尼譜修正迭代法，并探討了新確定方法和改進(jìn)數(shù)值迭代方式對改進(jìn)阻尼譜修正迭代法應(yīng)用于病態(tài)線性方程組求解的影響.同時(shí)，采用兩個(gè)經(jīng)典算例，探討了結(jié)合兩者的改進(jìn)譜修正迭代法在病態(tài)線性方程組中的應(yīng)用.可得到如下結(jié)論：

1）阻尼因子的新確定方法，可使阻尼因子取得較佳值，從而保證系數(shù)矩陣病態(tài)的改善和阻尼譜修正迭代法求解病態(tài)線性方程組精度與效率的提高;

2）改進(jìn)數(shù)值迭代方式，可明顯提高算法求解病態(tài)線性方程組的精度;

3）結(jié)合阻尼因子的新確定方法和改進(jìn)的數(shù)值迭代方式，阻尼譜修正迭代法相比于其他算法，可明顯提高病態(tài)線性方程組求解的精度和效率，且將其應(yīng)用于高維病態(tài)線性方程組，也可高效率地獲得較高的精度數(shù)值迭代解.

參考文獻(xiàn)

[1] 熊新，吳洪濤，于學(xué)華，等. 工程車輛油氣懸架參數(shù)化建模與幅頻特性分析[J]. 振動(dòng).測試與診斷， 2014，34（5）：926-931，981.

[2] 錢進(jìn)，吳時(shí)國，崔若飛，等. 新驛礦區(qū)奧陶系灰?guī)r孔隙度預(yù)測方法[J].桂林理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，32（1）：43-47.

[3] DENG X S，YIN L B，PENG S C，et al. An iterative algorithm for solving ill-conditioned linear least squares problems[J].Geodesy and Geodynamics，2015， 6（6）：453-459.

[4] REICHEL L，RODRIGUEZ G. Old and new parameter choice rules for discrete ill-posed problems[J].Numerical Algorithms，2013，63（1）：65-87.

[5] BREZINSKI C，NOVATI P，REDIVO-ZAGLIA M. A rational Arnoldi approach for ill-conditioned linear systems[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2012，236（8）：2063-2077.

[6] 覃有堂，林賢坤，覃柏英. 精細(xì)積分阻尼譜修正迭代法在病態(tài)線性方程組中的應(yīng)用[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，28（3）：1-8，15.

[7] SMOKTUNOWICZ ALICJA，SMOKTUNOWICZ AGATA. Iterative refinement techniques for solving block linear systems of equations[J]. Applied Numerical Mathematics， 2013， 67： 220-229.

[8] NEUMAN A，REICHEL L，SADOK H. Implementations of range restricted iterative methods for linear discrete ill-posed problems[J]. Linear Algebra and Its Applications， 2012， 436（10）：3974‐3990.

[9] VILOCHE BAZ?N F S，CUNHA M C C，BORGES L S. Extension of GKB-FP algorithm to large-scale general-form Tikhonov regularization[J].Numerical Linear Algebra with Applications， 2014，21（3）：316-339.

[10] ? WU X Y. An effective predictor-corrector process for large scale linear system of equations[J]. Applied Mathematics and Computation，2006，180（1）：160-166.

[11] ? WU X Y. Note on predictor-corrector process for ill-conditioned linear system of equations[J]. Applied Mathematics and Computation，2006，183（1）：596-602.

[12] ? WU X Y， FANG Y L. Wilkinson's iterative refinement of solution with automatic step-size control for linear system of equations[J]. Applied Mathematics and Computation，2007，193：506-513.

[13] ? RILEY J D. Solving systems of linear equations with a positive definite，symmetric，but possibly ill-conditioned matrix[J].Mathematical Tables and Other Aids to Computation，1955，9（51）：96-101.

[14] ? 王新洲，劉丁酉，張前勇，等. 譜修正迭代法及其在測量數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用[J]. 黑龍江工程學(xué)院學(xué)報(bào)， 2001（2）： 3-6.

[15] ? 鄧興升，孫虹虹. 自適應(yīng)譜修正LU分解法解算高病態(tài)法方程[J].大地測量與地球動(dòng)力學(xué)，2014，34（6）： 135-139.

Improved iteration method by correcting characteristic value with damping factor for ill-conditioned system of linear equations

MO Chunpeng， QIN Boying*

（College of Science， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545006， China）

Abstract： To improve the performance of iteration method by correcting characteristic value with damping factor （DCCV） for solving the ill-conditioned system of linear equations （ICSLE）， a new method for determining the better damping factor of DCCV is proposed， and its iterative method isimproved. Two classical examples are used to discuss the influence of the new method and the ?improved iterative method on DCCV for solving ICSLE. The results show that the new method and the improved iterative method both can improve the accuracy of DCCV for solving ICSLE.

Key words： damping factor; iteration method by correcting characteristic value; ill-conditioned system of linear equations

（責(zé)任編輯：羅小芬、黎 ? 婭）

收稿日期：2020-10-19

基金項(xiàng)目：廣西自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2018GXNSFAA294122）;高校中青年教師基礎(chǔ)能力提升項(xiàng)目（2017KY0339）資助.

作者簡介：莫春鵬，碩士，講師，研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué).

通信作者：覃柏英，碩士，副教授，研究方向：計(jì)算流體力學(xué)，E-mail：392644147@qq.com.