劉加霞

北京教育學(xué)院初等教育學(xué)院院長，教育心理學(xué)博士，教授，教育部國培專家?guī)斐蓡T;提出“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)是一切教學(xué)法的根”“實證研究學(xué)生是有效教學(xué)的根本”“培訓(xùn)實質(zhì)是改變與創(chuàng)新”等觀點，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程教材教法》《中國教育學(xué)刊》《中小學(xué)管理》《人民教育》《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》《小學(xué)教學(xué)》等期刊發(fā)表論文百余篇，著作有《小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)》《小學(xué)數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)評價》《小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計》等。

從發(fā)生學(xué)角度看，人類解決現(xiàn)實問題的“本能”方法是數(shù)數(shù)，但是通過數(shù)數(shù)獲得答案太麻煩，于是人類首先“發(fā)明”了加法運算，然后是減法。同理，又“發(fā)明”了乘除運算，甚至其他更為“高級”的運算。因此，“發(fā)明”四則運算的根本目的是快捷、便利地解決問題。每一類運算解決不同類型的現(xiàn)實問題（對應(yīng)不同的現(xiàn)實模型），是對現(xiàn)實問題的抽象。

自然數(shù)的四則運算所對應(yīng)的現(xiàn)實情境模型是后續(xù)分?jǐn)?shù)、小數(shù)四則運算的認(rèn)知基礎(chǔ)。系統(tǒng)地梳理加、減、乘、除運算所對應(yīng)的各類現(xiàn)實模型及各類模型之間的邏輯關(guān)系意義重大。正如弗賴登塔爾所說，強調(diào)邏輯結(jié)構(gòu)（模式）可能比起算術(shù)（解決具體問題）更重要。整體認(rèn)知四則運算所對應(yīng)的各類模型，有助于教師把握數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，讀懂、吃透教材。

一、自然數(shù)加減法的不同現(xiàn)實模型

加法運算的產(chǎn)生與發(fā)展伴隨著自然數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展，數(shù)與運算的發(fā)展相互促進(jìn)。加法是最基礎(chǔ)、最本質(zhì)的運算，在其基礎(chǔ)上產(chǎn)生減法、乘法與除法運算。減法是加法的逆運算，由意義互為“相反”的現(xiàn)實問題情境決定。加減法能解決哪些現(xiàn)實問題呢？

富森明確提出，正整數(shù)加減法的現(xiàn)實意義主要包括靜態(tài)和動態(tài)模型，前者包括部分與部分的聚合以及兩個數(shù)量誰多誰少的比較，反映的是兩個數(shù)量之間的二元靜態(tài)關(guān)系;后者包括一個量的增加性變化與減少性變化，是一個一元動態(tài)變化的過程?？ㄅ筇睾湍瑵蔂柛釉敿?xì)地研究了加減法應(yīng)用題，根據(jù)語義結(jié)構(gòu)劃分出應(yīng)用題的類型：變化型（麗麗有5塊糖，明明又給了她8塊，這時麗麗有多少塊糖？明明有8塊糖，他拿出了3塊給麗麗，明明還剩多少塊糖？）、結(jié)合型（麗麗有5塊水果糖和8塊奶糖，她一共有多少塊糖？麗麗和明明共有8塊糖，如果明明有5塊糖，那么麗麗有多少塊糖？）、比較型（明明有5塊糖，比麗麗少8塊，麗麗有多少塊糖？麗麗有8塊糖，明明有5塊糖，麗麗比明明多幾塊糖？）、相等型（麗麗有5塊糖，如果明明減少8塊就和麗麗的一樣多，明明有多少塊糖？麗麗有8塊糖，明明有5塊糖，明明還需要幾塊就和麗麗的糖一樣多？）。

一元動態(tài)情境的逆向加法問題（例如，飛機場現(xiàn)在停著6架飛機，“正在”飛走3架，問飛機場原來停了多少架飛機。）對大多數(shù)一年級學(xué)生而言，理解及解決這樣的問題都有困難，因為需要“時間倒流”的逆向思考，厘清已知條件與所求問題之間是加法關(guān)系，不能因為情境中出現(xiàn)“飛走”就用減法解決。學(xué)生理解減法的二元靜態(tài)關(guān)系（即差比關(guān)系）比一元動態(tài)關(guān)系（取走）更困難。因此，現(xiàn)行各版本教材所設(shè)計的“加法的初步認(rèn)識”情境，首先是部分與部分的聚合，即“合并”情境，而“減法的初步認(rèn)識”的情境則是一元動態(tài)情境，即“取走”情境。

加減法的相等型模型具有培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維的價值，通過相等型模型，學(xué)生能夠更好地理解“=”的含義。史寧中建議，加法的初步認(rèn)識應(yīng)該采用相等型模型引入，而不是變化型（或合并型）。他認(rèn)為這兩種類型不能很好地解釋“=”的“等價”意義。例如現(xiàn)行教材大多數(shù)用下面的方法引入：

于是就得到3+1=4，這樣得到4是利用了“=”的對稱性，因為自然數(shù)4=3+1，這樣引入加法當(dāng)然可以，但沒有解釋“=”的含義。他認(rèn)為用對應(yīng)的方法（相等模型）引入加法更好。

首先給出下面的兩組方塊，問學(xué)生哪邊的方塊多？（學(xué)生知道誰多、多幾個）

然后，再拿出一個方塊加到左邊，形成下面的圖，問學(xué)生現(xiàn)在哪邊的方塊多？（一樣多）

在直觀圖示的基礎(chǔ)上解釋加法算式：3+1=4。

像這樣運用相等模型、按照對應(yīng)的方法引入加法，是否適合一年級學(xué)生的認(rèn)知特點，是否有助于滲透代數(shù)思想以及感悟加法本質(zhì)——加上一個自然數(shù)比原來的數(shù)大等價值，還需要實踐的檢驗。目前很少有教材這樣處理。

除前述模型外，小學(xué)階段的加法問題還包括比賽場次或握手問題（二者的結(jié)構(gòu)完全相同）。例如，有5支球隊（會場有5人），任意兩支球隊（兩人）之間都要進(jìn)行一場比賽（一次握手），那么一共開展多少場比賽（握手多少次）。其直觀幾何模型就是“有多少條線段”問題：平面上有5個點（共線與不共線均可），任意兩點連接成線段，一共有多少條線段。前述問題可以分類討論，然后求一共有多少種情況，其本質(zhì)仍然是“合并”問題，只不過怎么分類、分成幾類等問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，合理而正確地“分類”是問題解決的突破口。

加法運算能夠解決不同子類的“合并”問題。一般情況，各子類的交集是空集，其子集的并（相加）等于全集（部分+部分=整體）。還有一種情況，當(dāng)子集的交集不是空集，全集就等于子集的并再減去交集，這就是小學(xué)數(shù)學(xué)中的“集合”問題，其本質(zhì)仍然是加法模型。這兩種情況如以下兩幅韋恩圖所示。

二、乘除法的不同現(xiàn)實模型及其抽象數(shù)學(xué)模型

弗賴登塔爾、吉爾德·維格諾德、格里爾等都對自然數(shù)乘法的現(xiàn)實模型提出了各自的觀點。大致按照教材內(nèi)容的編寫順序，筆者概括出小學(xué)階段乘除法的現(xiàn)實情境模型，并進(jìn)一步分析各自所屬的數(shù)學(xué)模型。

1.等量組的聚集模型與映射模型

等量組的聚集模型就是日常所說的“相同加數(shù)連加”或者“幾個幾的和”問題，為了便捷而定義新運算——乘法。該模型也經(jīng)常用語言表述為“每……共……”的方式，即仍然是靜態(tài)的合并關(guān)系。例如，每組有4人，5組共有多少人。乘法的映射模型就是從兩個集合（如貓的集合、爪的集合）對應(yīng)的角度研究乘法數(shù)量關(guān)系。例如：1只貓有4只爪、2只貓有8只爪……5只貓有多少只爪。弗賴登塔爾稱這類問題的數(shù)學(xué)模型是從集合P到集合Q內(nèi)的映射，使Q的所有元素都有相同個數(shù)的原像。

事實上，等量組的聚集模型也是映射模型，只不過為了適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，初步認(rèn)識乘法時不是從“映射”角度引入，而是從“乘法是加法的簡便運算（靜態(tài)合并）”開始。這樣安排既適應(yīng)學(xué)生認(rèn)知特點，又凸顯乘法產(chǎn)生的必要性。筆者曾嘗試“初步認(rèn)識乘法”一課用映射模型，以失敗告終，但各版本教材在編制乘法口訣內(nèi)容時就已經(jīng)運用了映射模型。例如，三輪車的輪子數(shù)量問題，以表格和直觀圖表示三輪車數(shù)量與輪子總數(shù)量之間的關(guān)系，為繼續(xù)學(xué)習(xí)正比例關(guān)系等做鋪墊。

需要注意的是，乘法映射模型中“乘數(shù)、被乘數(shù)”的地位不完全對稱，因而就有兩種不同的逆運算——除法：已知總數(shù)與份數(shù)，求每份中元素的個數(shù)，即“等分除”;已知總數(shù)與每份數(shù)，求份數(shù)，即“包含除”。雖然目前乘法運算不再區(qū)分乘數(shù)、被乘數(shù)，除法不再明確區(qū)分等分除、包含除，但在現(xiàn)實問題中，兩種除法的含義、操作過程（長除法）是不同的，是否區(qū)分“兩種除法”值得商榷。

2.偶對集：矩形模型與配對模型

弗賴登塔爾認(rèn)為自然數(shù)的乘法有兩個數(shù)學(xué)模型，其一是映射模型，其二是偶對集模型，偶對集中的矩形模型意義更為重大。抽象地看，兩個自然數(shù)的積是由偶對集定義的，設(shè)A是a個元素的集合，B是b個元素的集合，則a×b是偶對集（A，B）的集合。在小學(xué)階段，偶對集主要包括矩形模型和配對模型。配對模型比較簡單，就是a件衣服與b條褲子可以搭配出多少套衣服的問題，下面重點分析矩形模型。

乘法矩形模型就是“每行有幾個，有這樣的幾行”，根據(jù)構(gòu)成矩形元素的抽象程度而有不同的表示方法：直觀實物圖的矩形模型，半抽象、半直觀的點子圖，以及長方形的面積。矩形模型使得乘法運算直觀化、幾何圖形結(jié)構(gòu)化，讓學(xué)生對乘法意義及算理達(dá)到可視化理解。例如，長方形的長是5厘米，寬是3厘米，則長方形可以被15個單位（每排5個，有這樣的3排）的小正方形覆蓋，即面積是15平方厘米。“厘米×厘米”得到“平方厘米”是學(xué)生認(rèn)知上的難點，學(xué)生混淆長度、面積以及體積單位不僅僅是“馬虎”，而是認(rèn)知困難導(dǎo)致的。

矩形面積模型，可以進(jìn)一步推廣來理解分?jǐn)?shù)乘法的算理，也可以用矩形模型將比率模型直觀化。例如，時間、速度分別是矩形的長、寬，則矩形面積就是路程。同樣，數(shù)量—單價—總價、工時—工效—總量、體積—密度—質(zhì)量等現(xiàn)實數(shù)量關(guān)系，也可以用乘法的矩形模型表示，使抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化、可視化。正如弗賴登塔爾所說，數(shù)學(xué)的特征就是把同構(gòu)的步驟歸納成抽象模式，矩形模型就是通用于乘除法的模式，因為在該模型中，乘法的兩個因數(shù)是對稱的，就不必再按照哪個因子作除數(shù)而區(qū)分兩種除法了。

3.比率模型

兩個數(shù)量之間既有差比關(guān)系，還有倍比關(guān)系，前者由加減法運算解決，后者由乘除法運算解決。倍比關(guān)系對應(yīng)乘法的比率模型，在小學(xué)階段可以再細(xì)分為同類量的倍數(shù)模型（例如，小明收集了9個礦泉水瓶，小紅收集的數(shù)量是小明的2倍，小紅收集了多少個）和兩個不同類量的變化率模型（例如，速度—時間模型、單價—數(shù)量模型、工時—工效模型、密度—體積模型等）。需要注意的是，單價、速度、工效等概念是用其他兩個異類數(shù)量的“比”，人為定義得到的，所以也稱為“導(dǎo)出的量”。這些量通過除法運算得到結(jié)果，用來刻畫事物的“變化率”，即變化的“快慢”程度。

三、自然數(shù)四則混合運算的現(xiàn)實模型

前面分析了自然數(shù)加減乘除運算的基本模型（數(shù)量關(guān)系），現(xiàn)實生活中還有大量的“復(fù)合模型”問題，即四則混合運算問題以及比例問題。后者是乘法結(jié)構(gòu)中的核心內(nèi)容，將另行撰文分析。

理解四則混合運算的意義及法則也需要借助現(xiàn)實模型。例如：算式“5×3+1”的生活模型是“信封里有3張5元的人民幣，信封外有1元人民幣，一共有多少元？”;算式“（1+5）×3”的生活模型是“1份早餐里有一個1元的雞蛋和一碗5元的八寶粥，3份早餐多少元？”。直觀的生活模型，既能幫助學(xué)生理解算式的意義和算理，也有助于學(xué)生歸納、概括出運算法則：“有括號的先算括號里的”“先乘除后加減”等。

助理編輯? 劉佳