楊國翠，周見文，段勝忠**

(1.保山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 保山678000；2.云南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 昆明650500)

考慮如下的Schr?dinger-Maxwell系統(tǒng)：

其中λ ＞0 為常數(shù).

近年來，對Schr?dinger-Maxwell系統(tǒng)及相關(guān)系統(tǒng)解的存在性與多解性問題的研究受到學(xué)者們的普遍關(guān)注[1-10].系統(tǒng)（1）作為一個數(shù)理方程，有著豐富的數(shù)學(xué)物理背景，其解的存在性刻畫了一個非線性Schr?dinger方程和一個未知靜電場相互作用所產(chǎn)生的駐波，在量子電動力學(xué)中用于描述帶電粒子和電磁場的相互作用，同時在半導(dǎo)體理論以及等離子物理中也有應(yīng)用[1].

我們研究了系統(tǒng)（1）非平凡解的存在性與多解性，所得結(jié)果更具有一般性.本文的主要結(jié)果如下：

定理1假設(shè)條件(V′)和如下條件：

成立，則當(dāng)參數(shù)λ ＞0 充分大時，系統(tǒng)（1）至少有一個非平凡解.進(jìn)一步地，如果此時f(x,u)關(guān)于變元u是奇函數(shù)，則系統(tǒng)（1）有無窮多對非平凡解.

注1在文獻(xiàn)[5]中，利用Ambrosetti-Rabinowitz假設(shè)條件：

作者得到了系統(tǒng)（1）無窮多個高能量解的存在性.這一類型的條件目前廣泛應(yīng)用于利用變分方法來研究非線性方程（組）解的存在性與多解性問題的相關(guān)文獻(xiàn)中，它的主要作用在于保證能量泛函（PS）序列的有界性.此時，定理1中對非線性項(xiàng)所使用的假設(shè)條件要更為一般.事實(shí)上，如果f滿足條件 (f1),(f2)和(fAR)，則類似于文獻(xiàn)[12]中引理2.2的證明可知條件(f3)和(f4)成立.

1 變分框架的設(shè)立

2 主要結(jié)果的證明

引理1[7]函數(shù)φu具有如下性質(zhì)：

（1）映射u→φu：Eλ→D1,2(R3)有界；

（2）映射u→ φu：Eλ→D1,2(R3)連續(xù)；

（3）如果un→u， 則φun→弱φu.

引理2[12]如果un?u， 則通過選取子列，存在一個序列un→u， 使當(dāng)n→∞ 時，有

進(jìn)一步地，如果{un}是一個(PS)c序列，則I(un-vn)→c-I(u),I′(un-vn)→0.

引理3假設(shè)條件(V′)，(K)， （f1）～（f4）成立，則泛函I的(PS)c序列有界.

即

并且

并且

由（13），（14）式可知

r＞0 ?u∈～EBr(0)I(u)＜0e∈Eλ‖e‖Eλ＞ρI(e)＜0.

從而存在充分大的 ，使 ， .即存在 : ，使得

顯然I(0)=0.利用文獻(xiàn)[13]中的定理2.2可知I有一個臨界值 η≥α，系統(tǒng)（1）在Eλ中有一個非平凡解.進(jìn)一步，如果f(x,u)是關(guān)于變量u的奇函數(shù)，則I(u)是關(guān)于u的偶泛函，利用文獻(xiàn)[13]中的定理9.12可知系統(tǒng)（1）有無窮多對非平凡解.證畢.