杜運(yùn)興，程鵬，周芬

（湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410082）

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，各種高性能材料相繼出現(xiàn)，比如功能梯度材料（FGM），F(xiàn)GM 是一種微觀上不均勻的空間復(fù)合材料，通常由兩種或多種不同的材料組成.FGM 因性能優(yōu)異而廣泛應(yīng)用于土木、機(jī)械和航空航天等領(lǐng)域.一些學(xué)者對FGM[1]或FGM 結(jié)構(gòu)[2]進(jìn)行了研究.而FGM 梁通常作為單獨(dú)的結(jié)構(gòu)或者作為FGM 結(jié)構(gòu)的構(gòu)件應(yīng)用于工程中，對于一些受到動荷載作用的FGM 梁，求解其固有振動特性從而避免共振具有重要意義.目前，對于軸力作用下的變截面FGM 梁的自由振動問題的研究仍不完善，需深入研究.

對于材料性質(zhì)沿梁高分布的FGM 梁的自振問題已有大量研究.基于Euler-Bernoulli 梁理論，Yang等[3]分析了帶有裂縫的FGM 梁的自由振動和穩(wěn)定問題.等[4]分析了FGM 梁在集中移動簡諧荷載作用下的自由和受迫振動.最近Lee 等[5]提出了一種精確傳遞矩陣法來分析FGM 梁的自由振動特性.盡管基于Euler-Bernoulli 梁理論計(jì)算較為簡單，但是在長細(xì)比較小時結(jié)果誤差較大.龔云[6]分別基于Euler-Bernoulli 梁理論與Timoshenko 梁理論分析了FGM 梁自由振動和彎曲問題，結(jié)果表明長細(xì)比對固有頻率影響顯著.基于一階剪切變形理論，Lee 等[7]研究了材料沿截面高度分布的FGM 梁的軸向-彎曲耦合振動.他還分析了FGM 梁法向應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能固有頻率貢獻(xiàn)率的影響.該方法能準(zhǔn)確地評估剪切變形的影響，蒲育等[8]也提出一種改進(jìn)型廣義微分求積法來求解FGM 梁的自由振動問題.也有一些學(xué)者基于高階梁理論分析該問題，比如，Pradhan 等[9]研究了不同邊界條件下FGM 梁的自由振動問題.基于不同的剪切變形梁理論以及經(jīng)典梁理論進(jìn)行了分析.[10]使用不同高階梁理論對FGM 梁的基頻進(jìn)行分析，結(jié)果表明使用各種高階梁理論所得結(jié)果差異很小.Karamanli[11]基于三階剪切變形理論研究了在多種邊界條件下，雙向FGM 梁的自由振動特性.

上述研究的材料性質(zhì)沿厚度方向變化的FGM梁均是等截面梁.對于變截面梁的研究較少.Maganti等[12]分析了FGM 旋轉(zhuǎn)楔形梁的彎曲振動，但并未考慮剪切變形的影響.Li 等[13]研究了變厚度FGM 梁在流體中的自由振動.

對于某些材料性質(zhì)沿厚度方向變化的FGM 梁，其物理中面可能與幾何中面不重合.一些學(xué)者[14-16]的研究表明，如果選擇合適的參考面即物理中面，就可以消除板振動方程中的拉伸-彎曲耦合，這可以大大減小計(jì)算量.基于物理中面的概念，賈金政等[17]分析了FGM 梁的彎曲和過屈曲問題，Larbi 等[18]基于高階梁理論分析了等截面FGM 梁的靜力和自由振動問題.但對于軸向力作用下的變截面FGM 梁的自由振動問題，還缺乏研究.因此本文基于物理中面的概念，對于變截面FGM 梁自由振動問題進(jìn)行研究.

在文獻(xiàn)[9-10]中，基于高階剪切變形梁理論所得的結(jié)果與基于一階剪切變形梁理論所得結(jié)果差異不大，因此，本文擬基于Timoshenko 梁理論對該問題進(jìn)行研究，并考慮軸向力的作用.由于變截面FGM 梁的自由振動方程為變系數(shù)微分方程組，無法用常規(guī)方法求解，故本文使用一種冪級數(shù)法對該變系數(shù)微分方程組進(jìn)行求解.通過本文方法容易求得變截面FGM 梁的固有頻率、振型以及臨界荷載，可為變截面FGM 梁的設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供理論支持.

1 理論分析

一個變截面FGM 梁如圖1 所示，梁截面為矩形.梁的上表面材料為純陶瓷，下表面為純金屬.材料性質(zhì)P（z）包括密度ρ（z）、泊松比ν（z）、彈性模量E（z）的分布規(guī)律見式（1）.

式中：Pt、Pb分別表示梁頂面和梁底面的材料性質(zhì)；k是梯度指數(shù)，且k≥0.剪切模量G（z）和彈性模量的關(guān)系為：

根據(jù)式（1）和式（2），梁頂面剪切模量Gt=，梁底面剪切模量.

圖1 FGM 梁模型及參數(shù)Fig.1 Model and parameters of FGM beam

根據(jù)文獻(xiàn)[15]給出的物理中面的概念，可以給出梁物理中面的位置，即：

對于各向同性均質(zhì)梁，e0=0.

基于Timoshenko 梁理論，梁的位移函數(shù)可表述為如下形式：

式中：θ 為梁截面轉(zhuǎn)角；u 和w 分別是梁物理中面沿x 軸和z 軸方向的位移分量.

假設(shè)σzz=0，基于小變形的假設(shè)，根據(jù)位移函數(shù)可以得到相應(yīng)的應(yīng)變：

于是，梁的應(yīng)變能（U）和動能（K）表示為：

式中：κ 為剪切形狀系數(shù).且

基于上述物理中面概念可知I2=0，但J2不一定等于0，若J2≠0，則會引起彎曲-軸向耦合振動.

假定梁的兩端邊界受到3 個作用力（如圖2 所示），分別是軸力N（x，t）、剪力Q（x，t）和彎矩M（x，t），因此外力做功（W）可以表述為：

使用哈密頓原理求解梁的振動微分方程以及相應(yīng)的邊界內(nèi)力與位移之間的微分關(guān)系：

將式（6）（7）（9）代入式（10）中可得梁的振動微分方程：

圖2 梁的邊界力Fig.2 Boundary forces of a beam

以及相應(yīng)的邊界內(nèi)力與位移之間的微分關(guān)系：

使用分離變量法，方程的通解具有如下形式：

式中：ω 是梁振動的固有圓頻率；i 是虛數(shù)單位.將式（13）代入式（11）（12）中，無量綱化可得：

式（14）（15）中無量綱參數(shù)及變量見式（16）.

式（14）表示的微分方程的系數(shù)隨著X 的變化而變化.采用冪級數(shù)法求解該微分方程，其精確解表示成冪級數(shù)形式如下：

I1（X），I3（X），A1（X），T（X），J1（X），J2（X），J3（X）表示成多項(xiàng)式形式如下：

本文研究的變截面梁高度h（x）和寬度b（x）沿x軸方向變化，可以表示為：

式中：αh、αb為截面變化系數(shù)，在本文中，取αh=αb=α，當(dāng)α=0 時，梁為等截面梁.b0、h0分別為梁左端的截面寬度和高度.因此N1=2、N3=4、N4=2、N5=3、N6=4、N7=2，di、fi、gi、hi、ki根據(jù)式（8）（16）（19）確定.本文所研究軸力為常軸力，因此N8=0，t0=1.

將式（17）（18）代入式（14）中可得冪級數(shù)解的系數(shù)ai+2、bi+2和ci+2的遞推關(guān)系：

對于式（20），n≥0，其中，ai=0、bi=0 以及ci=0，當(dāng)i ＜0 時.顯然，上述遞推關(guān)系需滿足d0、s2l0+τt0、f0不等于0.

利用上述遞推公式，式（14）的通解用矩陣可以表示為：

式中：Ui、Wi、Θi（i=1，2，3，4，5，6）均是式（14）的基本解.a0、a1、b0、b1、c0、c1為常數(shù)，它們可以通過邊界條件確定.

對于整個梁，其最左端（X=0）和最右端（X=L）的無量綱軸向位移、橫向位移、轉(zhuǎn)角、軸向力、剪力、彎矩可以由式（15）和（21）求出，因此，梁兩端的狀態(tài)向量可以表示為：

于是，根據(jù)式（23）和式（24）得：

其中，F(xiàn) 為六階方陣，通過它建立梁兩端狀態(tài)向量之間的關(guān)系，再結(jié)合具體邊界條件討論如下.

如圖1 所示，梁的邊界約束條件為非經(jīng)典邊界條件時，存在下列關(guān)系

寫成矩陣形式，有：

結(jié)合式（28）和式（25）可得：

式中：δ1、δ2為系數(shù)向量，G 為六階方陣.于是可得：

對于上述方程，若有非零解，則其系數(shù)矩陣行列式必須等于零，即：

式（33）即為頻率方程，通過求解式（33）可得梁的第i 階無量綱固有頻率βi，根據(jù)無量綱固有頻率與固有頻率之間的關(guān)系即可得固有頻率.值得一提的是，通過調(diào)整邊界約束彈簧的剛度也可以求解經(jīng)典邊界條件下FGM 梁的固有頻率，在本文中，以簡支FGM 梁為例，即取，然后可以根據(jù)式（33）求解相應(yīng)的無量綱固有頻率.

在得到無量綱固有頻率后，將它代入式（32），于是系數(shù)矩陣各個元素均為常數(shù).取U（0）=1，可以得到相應(yīng)的W（0）和Θ（0），進(jìn)而可求得狀態(tài)向量S1，再聯(lián)合式（23）可得積分常數(shù)向量d.于是可以得到梁的第i 階振型函數(shù)U（X）、W（X）和Θ（X）.

2 結(jié)果與討論

本文研究的FGM 梁的上表面的材料為純陶瓷（彈性模量為Et=380 GPa，密度為ρt=3 960 kg/m3，泊松比為0.3）；梁的下表面的材料為純鋁（彈性模量為Eb=70 GPa，密度為ρb=2 702 kg/m3，泊松比為0.3）.

2.1 結(jié)果驗(yàn)證與分析

由于本文振動微分方程的解為冪級數(shù)解，實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常采用近似解代替級數(shù)解，近似解選取級數(shù)解前N 項(xiàng)計(jì)算.理論上，N 越大，無量綱固有頻率近似解的精確度越高.為了探討近似解所取項(xiàng)數(shù)N對無量綱固有頻率精度的影響，以文獻(xiàn)[10]中的一個等截面簡支FGM 梁（取α=0 來分析等截面梁）為例，梁長與梁高之比1/μ 取5 和20，梯度指數(shù)k 取0、1、2，無量綱軸力τ 取0.由表1 中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)本方法所得的頻率方程式（33）的解是收斂的，且近似級數(shù)解并不需要取太多項(xiàng).

表1 簡支FGM 梁無量綱固有頻率計(jì)算值對比Tab.1 Comparison of dimensionless natural frequencies of simply supported FGM beam

計(jì)算所得結(jié)果與文獻(xiàn)[10]中經(jīng)典邊界條件下FGM 梁的無量綱基頻進(jìn)行比較，驗(yàn)證了所提出方法的有效性.且無量綱固有頻率隨梯度指數(shù)k 增大而減小.當(dāng)長高比較大時所得的無量綱固有頻率大于相應(yīng)的長高比較小時所得的數(shù)據(jù)，這反映了，長高比較小時，剪切變形對無量綱固有頻率的影響較大，不可忽略.此外，結(jié)果還表明：通過調(diào)整邊界約束彈簧的剛度來求解經(jīng)典邊界條件下FGM 梁的固有頻率是可行的.

當(dāng)1/μ 取5 和10，梯度指數(shù)k 取1 時，簡支FGM 梁的前四階振型函數(shù)U（X）和W（X）對比如圖3 所示.由圖可知，梁長與梁高之比對梁的自振特性有顯著影響，當(dāng)1/μ 取5 時，第三階模態(tài)由軸向振動主導(dǎo)，而當(dāng)1/μ 取10 時，第四階模態(tài)由軸向振動主導(dǎo)，其他階模態(tài)均由彎曲振動主導(dǎo).由于1/μ 值的大小反映了剪切變形的影響程度，1/μ 值越小，剪切變形影響越大，因此，剪切變形不僅會影響彎曲振動，對軸向振動也有影響.

圖3 簡支FGM 梁的前四階振型函數(shù)U（X）和W（X）（從左到右分別為第一到第四階模態(tài)）Fig.3 The first four mode functions U（X）and W（X）of simply supported FGM beam（from left to right，the first to the fourth modes respectively）

2.2 截面變化系數(shù)對變截面FGM 梁自振特性的影響

使用本文方法計(jì)算簡支FGM 梁無量綱固有頻率，取梯度指數(shù)k=1，梁長與梁高之比1/μ 取100，截面變化系數(shù)α 取不同的值時，梁前五階無量綱固有頻率計(jì)算值見表2.由表2 中的計(jì)算結(jié)果可知，隨著截面變化系數(shù)α 增大，梁的無量綱固有頻率逐漸減小.另外，還討論了截面變化系數(shù)α 對簡支梁前四階振型函數(shù)W（X）的影響，如圖4 所示，可以看出：隨著截面變化系數(shù)α 的增大，振型函數(shù)W（X）之間的差異逐漸增大.此外，右端差異較大，這是因?yàn)榱航孛鎻淖蟮接叶酥饾u變小從而使得剛度變小，于是變形就更大，但其形狀基本相同.

表2 截面變化系數(shù)不同時簡支FGM 梁前五階無量綱固有頻率Tab.2 The first five dimensionless natural frequencies of the simply supported FGM beam with different section variation coefficients

圖4 截面變化系數(shù)α 對FGM 簡支梁前四階振型函數(shù)W（X）的影響Fig.4 Influence of section variation coefficient α on the first four mode functions W（X）of the FGM simply supported beam

2.3 軸向荷載對FGM 梁自振特性的影響

當(dāng)軸向荷載作用于簡支FGM 梁時，其固有振動特性會隨軸向荷載的改變而改變，因此，對于軸向荷載作用下的FGM 梁需進(jìn)行進(jìn)一步研究.梯度指數(shù)k取1，截面變化系數(shù)α 取0，梁長與梁高之比1/μ 取100.不同軸向荷載作用下FGM 梁的前五階無量綱固有頻率見表3.由表中數(shù)據(jù)可以看出：軸向荷載對基頻影響較大而對高階頻率影響較小，這是因?yàn)楫?dāng)軸向壓力快達(dá)到臨界荷載時，無量綱固有頻率才會大幅減小，而軸向壓力達(dá)到一階臨界荷載時，還遠(yuǎn)不到二階臨界荷載，因此對高階頻率影響較小.軸向壓力接近一階臨界荷載時，基頻會逐漸接近于0.

表3 不同軸向荷載作用下梁的前五階無量綱固有頻率Tab.3 The first five dimensionless natural frequencies of the beam under different axial loads

基于上述結(jié)論，在本節(jié)進(jìn)一步分析了對于不同截面變化系數(shù)α 和梯度指數(shù)k，基頻和軸向壓力之間的關(guān)系，同時分析k 和α 對FGM 梁的臨界荷載的影響.對于簡支梁，選擇不同的k 和α 值，梁的基頻與軸向載荷之間的關(guān)系如圖5 所示.從圖中可以看出，隨著k 值的增大，F(xiàn)GM 梁的無量綱固有頻率都有所減小.此外，隨著k 值的增大，臨界荷載也大幅減小，這是因?yàn)?，隨著k 值的增大，梁中鋁的含量增加從而使得梁的彈性模量和密度都減小，而密度的減小對臨界荷載沒有影響，因此k 值的增大會導(dǎo)致一階臨界荷載的減小.另外截面變化系數(shù)α 也會導(dǎo)致一階臨界荷載的減小.

圖5 梯度指數(shù)取不同值時懸臂FGM 梁的無量綱基頻與軸向力的關(guān)系Fig.5 Relation between dimensionless fundamental frequency and axial load of cantilever FGM beam with different values of graded index

3 結(jié)論

本文基于Timoshenko 梁理論，建立了變截面FGM 梁的自由振動方程，采用冪級數(shù)法求解變截面梁振動微分方程組.隨后以上表面為陶瓷、下表面為鋁的FGM 梁為例，研究了該方法的收斂性，并分析了長高比、梯度指數(shù)、截面變化系數(shù)以及軸向力對固有振動特性的影響，主要結(jié)論如下：

1）本文提出的方法收斂性良好，且具有較高的準(zhǔn)確性.結(jié)果表明，剪切變形不僅會影響彎曲振動，對軸向振動也有影響.

2）對于簡支功能梯度梁，截面變化系數(shù)α 和梯度指數(shù)k 的增加會使得其固有頻率和臨界荷載減小，另外，截面變化系數(shù)對振型函數(shù)也有一定影響，但大致形狀不會改變.

3）可以通過改變邊界約束彈簧的剛度來實(shí)現(xiàn)經(jīng)典邊界條件下梁的固有頻率求解.