孟祥軍

（兗礦集團有限公司，山東 鄒城273500）

煤礦開采時為減少煤炭資源浪費，無煤柱護巷技術得到迅速發(fā)展，特別是沿空掘巷技術在國內(nèi)得到廣泛應用，但是沿空掘巷時的巷道圍巖變形明顯大于寬煤柱護巷，巷道維護比較困難?；夭蛇^程中，工作面前方及兩側(cè)煤體中會產(chǎn)生較高的支承壓力，支承壓力的峰值及極限平衡區(qū)的大小，不僅對工作面煤壁的穩(wěn)定產(chǎn)生影響，還會影響到巷道的穩(wěn)定性和煤柱尺寸的確定，甚至會波及到地表，引起沉陷。國內(nèi)外專家學者對采場上覆巖層破斷特征和運動規(guī)律做了大量的研究工作，提出了多種采場頂板力學結(jié)構(gòu)模型。其中，國外代表性的理論有懸臂梁假說、壓力拱假說、預生裂隙梁假說和鉸接巖塊假說[1-3]；此外，美國的S S Peng[4]對于采場頂板進行了分類，分析了不同類別頂板的垮落破斷形式及特點，并研究了相應的控制技術。國內(nèi)專家學者主要有宋振騏院士的傳遞巖梁理論[5-7]、錢鳴高院士的砌體梁理論和關鍵層理論[8-11]。陸士良[12]等在研究受采動影響巷道的礦壓顯現(xiàn)規(guī)律和圍巖變形的基礎上，提出了巷道在采動期間的圍巖變形量，以及采動穩(wěn)定期間的圍巖變形速度同護巷煤柱寬度之間的關系，并得出巷道服務期間的圍巖變形總量與護巷煤柱寬度之間的關系式。吳立新、王金莊[13]等應用小變形彈塑性理論中的庫侖準則推導出煤柱屈服區(qū)寬度計算公式，并依據(jù)“平臺載荷法”原則推導了煤柱寬度的計算公式。柏建彪[14]等采用數(shù)值模擬方法研究了綜放沿空掘巷圍巖變形及小煤柱穩(wěn)定性與煤柱寬度、煤層力學性質(zhì)及錨桿支護強度的關系，提出了高強錨桿支護的小煤柱是沿空掘巷圍巖承載結(jié)構(gòu)的重要組成部分，并針對不同煤層條件確定了相應的窄煤柱合理寬度。

對于超前支承壓力，相關研究較多[15-20]，但有關工作面兩側(cè)煤體中支承壓力分布規(guī)律的相關理論研究尚不多見?？紤]基礎的塑性應變軟化，采用基礎梁模型對沿空側(cè)向堅硬頂板的撓度、基礎反力及彎矩進行了分析，以便為沿空側(cè)向頂板的變形、損傷及破斷提供理論基礎，對煤礦安全開采具有重要意義。

1 符拉索夫彈性基礎梁理論

自文克爾（E Winkler）于1867年提出單參數(shù)的基礎梁模型以來，該模型逐漸發(fā)展。有一些專家學者提出了采用2個獨立參數(shù)來表征基礎特征的雙參數(shù)模型，從理論上改進了文克爾模型中不連續(xù)的缺陷[21-27]。采用的符拉索夫（Vlazov）模型就是其中常用的1種，弗拉索夫模型如圖1。

圖1 弗拉索夫模型Fig.1 Vlasov model

符拉索夫模型是引入了一些能簡化各向同性線彈性連續(xù)介質(zhì)基本方程的位移約束而得出的。利用變分法分析，可證明外載荷p（x）與位移w（x）之間的關系為：

式中：E為梁的彈性模量；I為梁的截面慣性矩；M為彎矩。

結(jié)合式（1）可得擱置在雙參數(shù)彈性基礎上、寬度為b的梁的撓度曲線微分方程為：

彈性基礎不考慮破壞后承載力的變化及介質(zhì)連續(xù)性，載荷傳遞率t及彈簧常數(shù)k為常數(shù)。這種假設在很多情況下都可以得到比較滿意的結(jié)果。但是實踐表明，基礎并不總處于彈性狀態(tài)。在巷道的開挖、支護與工作面的開采過程中，基礎將有可能發(fā)生彈塑性變形。此時基礎可以承受的荷載發(fā)生變化，不同應力條件下對應的載荷傳遞率t及彈簧常數(shù)k也將有所不同，導致在處于彈塑性時，擱置在其上的梁不再滿足原來的方程。

2 雙參數(shù)彈塑性基礎梁

2.1 模型建立

為了研究沿空側(cè)向頂板的變形與彎矩，并重點體現(xiàn)煤體的塑性變化特征，需要建立1種新的基礎梁模型。為此，提出雙參數(shù)彈塑性基礎梁模型，它通過改變塑性區(qū)內(nèi)彈簧參數(shù)k及載荷傳遞率t來實現(xiàn)。

以垮落矸石及煤層和直接頂視為基礎，建立半無限模型，考慮上覆壓力、基礎反力及基礎的塑性軟化，對側(cè)向破斷前的堅硬基本頂進行變形受力分析，彈塑性基礎梁力學模型如圖2。圖2中k1為采空區(qū)矸石的彈簧參數(shù)，k2、k3、k4分別為煤柱、巷道、實體煤及其上方直接頂?shù)膹椈蓞?shù)；q0可取為基本頂及其上覆巖層的自重，而q1可取為基本頂?shù)淖灾?，超前支承壓力系?shù)ξ及峰值位置按實際情況選取。

圖2 彈塑性基礎梁力學模型Fig.2 Mechanical model of elastic-plastic foundation beam

由于考慮了基礎的塑性軟化，導致基礎的彈簧參數(shù)隨位置及梁撓度變化而變化，則式（1）表示的雙參數(shù)彈塑性基礎反力可改寫為：

2.2 基本方程

分析側(cè)向破斷前的堅硬基本頂時，以煤層和直接頂視為基礎?；A的變形模量可以根據(jù)煤巖組合試件單向壓縮問題分析獲得。試件、煤及巖的彈性模量和高度分別為Es、Em、Ey和L、Lm、ξLm，則當試件受壓應力為σ時，有：

由式（7）及式（8）可得：

由式（9）可知，煤巖組合試件的變形模量Es介于煤和巖石的彈性模量之間，且隨著ξ的增加，E越趨附近于Ey。

分析側(cè)向破斷前的堅硬基本頂時，考慮基礎材料為彈塑性軟化材料?；A的彈簧參數(shù)k和t隨位置及梁撓度變化而變化，對于任一固定位置處的彈簧參數(shù)，可根據(jù)基礎材料的軟化程度確定該處基礎梁的撓度。為此，基礎的變形模量采用設初參數(shù)，通過逐步迭代的方法求解。①設初值：假定基礎為線彈性材料，并利用式（2）求基礎彈簧常數(shù)的初值；②試算：求解基礎梁方程，得到梁的撓度及相應的基礎反力和彎矩等參數(shù)；③判斷：如果該點的應力小于其屈服應力，則不變化，反之，當該點試算的應力大其屈服應力，則用該點應變對應的應力應變關系曲線中的割線模量代替其彈性模量；④根據(jù)割線模量，利用式（2）求基礎彈簧常數(shù)；⑤重復步驟②、步驟③、步驟④，直到滿足精度要求，則可以認為所得到的基礎彈簧常數(shù)及梁撓度即為所求結(jié)果。

2.3 雙參數(shù)彈塑性基礎梁方程的求解

自從彈性基礎梁基本方程建立以后，這些方程在各種問題的邊界條件下如何求解，曾經(jīng)是很多數(shù)學家和力學家研究的內(nèi)容。但是，對于工程上許多重要的問題，由于邊界條件較為復雜，并沒有能夠得出函數(shù)式解答。因此，彈性基礎梁問題的各種數(shù)值解法便具有重要的實際意義，差分法就是其中常用的1種。

差分法是微分方程的1種近似數(shù)值解法。它不是去尋求函數(shù)式的解，而是去求出函數(shù)在一些網(wǎng)格節(jié)點處的數(shù)值。具體的講，差分法就是把微分用有限差分代替，把導數(shù)用有限差商代替，從而把基本方程和邊界條件近似地改用差分方程來表示，把求解微分方程的問題改換為求解代數(shù)方程的問題。為此，先導出彈性基礎梁中常用的一些差分公式，以便于建立差分方程。

把彈性梁用節(jié)點分成間距為ξ的N份。撓曲線函數(shù)w（x）隨坐標的改變而變化。為了導出函數(shù)的差分公式，在節(jié)點i處將函數(shù)w展開為泰勒級數(shù)如下：

這樣，式（6）表征的變系數(shù)非齊次彈性基礎梁撓曲線微分方程，就變?yōu)橛蒒+1個節(jié)點的撓度為未知量的代數(shù)方程組，由式（11）、式（16）及式（17）組成，可以通過追趕法等數(shù)值方法進行求解。

對于彈塑性基礎梁問題，梁的撓度和基礎的彈簧參數(shù)k、t相互耦合，都是未知量，可以用彈性解為初始參數(shù)，通過逐步迭代同時求出滿足精度的撓度和彈簧常數(shù)值。

3 沿空側(cè)向頂板變形及彎矩分析

根據(jù)圖2的側(cè)向破斷前的單位寬度堅硬基本頂，取懸臂梁段長20 m，彈性模量E=2.8 GPa，厚度為11 m，則截面慣性矩I=110.9 m3，q0=15 MPa，懸臂段作用均布載荷q1=0.3 MPa，超前支承壓力系數(shù)ξ=2；基礎的高H=15 m，泊松比μs=0.29，由式（9）確定的彈性模量ES=1 GPa，則可得，在不考慮塑性軟化情況下基礎的彈簧參數(shù)k=0.66e8、t=1.92 GPa?？紤]不同工況進行變形受力分析，以獲得參數(shù)變化時側(cè)向堅硬頂板撓度、基礎反力及彎矩變化的規(guī)律，為實際采場側(cè)向頂板、煤柱等的變化狀況做出合理判斷。

3.1 沿空巷道開挖前

由圖2可知在沿空巷道開挖前、基礎彈性情況下，k2=k3=k4，首先在應力峰值距煤壁8 m時，研究基礎分別為彈性和軟化彈塑性2種情況下的基礎梁受力變形特性，其次在其它參數(shù)不變的情況下改變載荷峰值距煤壁的距離，分析其對基礎梁撓度、基礎反力和彎矩曲線的影響。

沿空巷道開挖前，載荷峰值距煤壁8 m時基礎梁的撓度、基礎反力和彎矩曲線如圖3。

圖3 載荷峰值距煤壁8 m時梁的撓度、基礎反力和彎矩Fig.3 Deflection,foundation pressure and moment of beam when the load peak is 8 m from the coal rib

由圖3可以看出，基礎梁距煤壁70 m以后的深部，基礎梁的撓度、反力和彎矩變化很小，可以忽略不計，而在基礎梁靠煤壁一側(cè)基礎梁的撓度、反力和彎矩變化比較大，即回采對側(cè)向煤壁的影響范圍約為70 m，這與實際情況基本相符，由此可以認為所建立的半無限基礎梁模型正確。

彈性基礎梁模型中，假設基礎的彈簧參數(shù)為常數(shù)，這與煤壁附近有一定范圍的塑性破壞區(qū)實際情況有一定的不相符。由計算結(jié)果可知，與彈性模型相比，采用軟化彈塑性模型，使基礎梁靠近煤壁一側(cè)的下沉量和彎矩大幅增加，其中最大下沉量由0.38 m增加到1.3 m，正向彎矩的最大值由380 N·m增加到930 N·m；而基礎反力的峰值下降，位置向深部轉(zhuǎn)移。

當頂板中承受較大拉應力時，可能出現(xiàn)受損、斷裂現(xiàn)象，使煤層及圍巖的礦壓發(fā)生比較大的變化。根據(jù)梁的相關理論，可以認為梁中彎矩最大處為頂板可能破斷的位置。

采動影響下，實際堅硬頂板的受力變形非常復雜，當基礎發(fā)生變化后頂板的載荷也會發(fā)生變化，采用圖3的理想模型并不能反映實際情況。這里主要是通過彈塑性基礎梁的分析，揭示頂板側(cè)向變形受力規(guī)律，找到其可能側(cè)向破斷位置。

第二，師生交流對話，檢驗生活素材。師生和學生之間的平等互動更有益于學生相互學習和改進。不要去刻意地批評，而是相互分享，友善地交流想法，鼓勵學生熱愛生活，更熱愛寫作，每個學生認知生活的方式和角度都是不同的，即便是不愛學習的同學，交流的過程中既可增強課堂的趣味性，又可以讓學生在真實的生活基礎上，根據(jù)文章主題的需要進行合理的加工、剪裁、虛構(gòu)，從而形成一篇優(yōu)秀的作文。

考慮基礎軟化彈塑性時應力峰值距煤壁距離不同情況下，梁的撓度、基礎反力和彎矩曲線如圖4。

由圖4可以看出，載荷峰值位置對基礎梁的撓度、彎矩及基礎反力影響比較大，但由于涉及基礎彈簧參數(shù)的耦合問題，規(guī)律不明顯。

煤柱寬度不同時基礎反力和彎矩峰值距煤壁的距離的變化如圖5。

圖5 載荷峰值位置不同時彎矩峰值距煤壁距離Fig.5 Distance of the peak moment away from the coal rib when position of load peak is different

由圖5可以看出，在研究范圍內(nèi)，彎矩峰值點距煤壁的距離，隨著載荷峰值點距煤壁的距離增加而近似線性增加。根據(jù)前文所述，彎矩峰值的位置對應于可能發(fā)生的基本頂側(cè)向破斷位置，由此，載荷峰值點距煤壁14 m時，彎矩峰值點距煤壁約16 m，與實測的側(cè)向破斷位置一致。因此，后文關于沿空巷道開挖后的計算，都通過基礎梁應力峰值與煤壁的距離研究。

3.2 沿空巷道開挖后

圖2的基本頂下方，當沿空巷道開挖后，基礎彈性情況下k2=k4，取k3=0.2k4，取應力峰值距煤壁為14 m時，研究基礎梁受力變形特性，巷道寬度為3.0 m和5.0 m、及煤柱寬度為2、4、6、8、10 m時，分析巷道及煤柱尺寸對基礎梁撓度、基礎反力和彎矩曲線的影響。

煤柱8 m，巷道寬度為5.0 m時，基礎梁的撓度、彎矩和基礎反力曲線如圖6。煤柱寬度為4 m，巷道寬度分別為3 m和5 m時梁的撓度、基礎反力和彎矩曲線如圖7。

由圖6可以看出，沿空巷道開挖以后，基礎的彈簧參數(shù)不連續(xù)，但基礎梁的撓度及彎矩曲線是連續(xù)的，這基本符合實際情況。采用彈性基礎梁模型情況下，基礎反力的極大值出現(xiàn)在巷道壁位置，而采用軟化的彈塑性模型，由于考慮了基礎材料的塑性和軟化，基礎反力曲線變得光滑，峰向深部轉(zhuǎn)移。

圖7 煤柱4 m不同巷道寬度下梁的撓度、基礎反力和彎矩Fig.7 Deflection,foundation pressure and bending moment of beam when the coal pillar is 4 m with different roadway width

由圖7可以看出，在其他參數(shù)不變的情況下，巷道寬度由3 m增加到5 m，使基礎梁撓度的最大值由1.08 m增加到1.38 m，彎矩變化更加劇烈，最大值由6.2×108N·m，8.3×108N·m，反向最大值由2.4×108N·m增加到3.9×108N·m，增幅達30%左右，影響比較大。

綜合分析可知，巷道寬度增加對基礎反力的影響很小，這是由于在基礎梁撓度增加的同時，基礎的彈簧參數(shù)由于塑性變小2種因素綜合影響的結(jié)果。從另一方面可以看出，巷道變寬使基礎反力中的應力峰值距巷道實體煤幫的距離減小了。因此，在基本頂不發(fā)生側(cè)向破斷情況下，沿空巷道采用大斷面，支護難度將大大增加，控制巷道頂?shù)滓平斐傻臄嗝婵s小，及由于基本頂損傷破斷造成的較大能量沖擊。

巷道寬度為3 m、煤柱寬度不同時，梁的撓度、基礎反力和彎矩曲線如圖8，基礎反力和彎矩峰值距煤壁的距離變化曲線如圖9。

圖8 煤柱寬度不同時梁的撓度、基礎反力和彎矩Fig.8 Deflection,foundation pressure and bending moment of beam with different coal pillar width

圖9 煤柱寬度不同時基礎反力和彎矩峰值距煤壁的距離Fig.9 Distance of the peak foundation pressure and moment away from the coal rib when the coal pillar’s width is different

由圖8和圖9可以得出，當巷道寬度為3 m時，在基本頂不發(fā)生破斷的情況下，隨著煤柱寬度的增加，基礎梁的撓度和彎矩逐漸增加，但彎矩最大值點距煤壁的位置幾乎不變，約為14 m；而基礎反力曲線隨煤柱寬度的增加變化很小，反力峰值位置隨著煤柱寬度的增加，呈現(xiàn)先保持不變?nèi)缓笤倬€性增加的趨勢。

巷道寬度5 m、煤柱寬度不同時，梁的撓度、基礎反力和彎矩曲線如圖10，基礎反力和彎矩峰值距煤壁的距離變化曲線如圖11。

圖10 煤柱寬度不同時梁的撓度、基礎反力和彎矩Fig.10 Deflection,foundation pressure and bending moment of beam when the width of coal pillar is different

圖11 煤柱寬度不同時基礎反力和彎矩峰值距煤壁的距離Fig.11 Distance of the peak foundation pressure and moment away from the coal rib when the coal pillar’s width is different

由圖10、圖11可知，巷道寬度為5 m時，在基本頂不發(fā)生破斷情況下，隨煤柱寬度的增加，基礎梁的撓度和彎矩逐漸增加，彎矩最大值距煤壁位置呈現(xiàn)先保持不變?nèi)缓笤倬€性增加的趨勢；而基礎反力曲線隨煤柱寬度的增加變化很小，反力峰值位置隨煤柱寬度的增加而增加。

4結(jié)論

1）基于彈塑性力學及礦壓理論，考慮基礎的塑性應變軟化，建立了沿空側(cè)向基本頂?shù)碾p參數(shù)彈塑性基礎梁模型。

2）采用彈性基礎梁模型分析頂板的受力變形問題，會導致部分結(jié)果與實際情況有一定的誤差；考慮基礎的塑性軟化模型，使基礎梁的撓度增加，基礎反力的峰值下降，峰值位置向深部轉(zhuǎn)移，結(jié)果與實際情況更加符合?；诹褐袕澗刈畲筇帪轫敯蹇赡芷茢辔恢?，通過理論分析具體工況下沿空側(cè)向堅硬基本頂?shù)碾p參數(shù)彈塑性基礎梁模型，可以為沿空側(cè)向頂板的變形、損傷及破斷提供理論基礎。

3）載荷峰值位置對基礎梁的撓度、彎矩及基礎反力影響比較大，在基本頂破斷前彎矩峰值距煤壁的距離，隨載荷峰值距煤壁的距離增加而近似線性增加。沿空巷道開挖后，在其他參數(shù)不變的情況下，巷道寬度由3 m增加到5 m，使基礎梁撓度的最大值及彎矩最大值增加30%左右，而基礎反力曲線變化較小。

4）巷道寬度不同時，煤柱寬度對基礎梁撓度、彎矩及基礎反力的影響也不同，其中巷道寬度為3 m時，呈現(xiàn)先保持不變?nèi)缓笤倬€性增加的趨勢；巷道寬度為5 m時，隨煤柱寬度的增加，基礎梁中彎矩最大值距煤壁位置呈現(xiàn)先保持不變?nèi)缓笤倬€性增加的趨勢，而基礎反力峰值位置與煤柱寬度呈正相關性；巷道寬度為5 m時，當煤柱寬度取4 m，基本頂?shù)姆逯祿隙群蛷澗貫樽钚≈?，為煤柱尺寸的選擇提供了理論依據(jù)。