黃子睿， 陳忠范， 黃東升， 何敏娟

(1 東南大學(xué)土木工程學(xué)院， 南京 211189；2 南京林業(yè)大學(xué)生物質(zhì)材料國家地方聯(lián)合工程研究中心， 南京 210037；3 阿伯特大學(xué)土木與環(huán)境工程系， 埃德蒙頓 T6G1H9； 4 同濟大學(xué)土木工程學(xué)院， 上海 200092)

0 引言

工程竹是原竹經(jīng)工業(yè)化制造而成的竹基復(fù)合材料。根據(jù)膠合單元不同，工程竹通常有重組竹、集成竹、竹膠板等。在工程竹制造過程中，對原竹材進行了篩選，僅截取竹莖中材質(zhì)比較均勻的部分，剔除其中的缺陷，并將不同部位進行分散搭配，經(jīng)高溫干燥處理后，再進行膠合。因此，工程竹不僅顯著減少了原竹幾何尺寸和力學(xué)性能的變異性，且強度較高，收縮和翹曲小，適用于制作建筑梁、柱和樓板等基本構(gòu)件，是一種理想的建筑結(jié)構(gòu)材料[1]。

近十年來，我國學(xué)者針對工程竹結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)和應(yīng)用研究開展了許多工作[2-5]，發(fā)展了輕型工程竹結(jié)構(gòu)、工程竹框架結(jié)構(gòu)、鋼-竹組合結(jié)構(gòu)等多種結(jié)構(gòu)形式，取得了一系列成果。工程竹作為一種可再生、綠色環(huán)保材料，也已逐漸被人們接受，我國各地已陸續(xù)建造了許多現(xiàn)代竹結(jié)構(gòu)建筑[6]。由于目前還沒有工程竹結(jié)構(gòu)設(shè)計標準，現(xiàn)代竹結(jié)構(gòu)建筑設(shè)計與建造主要參考現(xiàn)行《木結(jié)構(gòu)設(shè)計標準》(GB 50005—2017)[7](簡稱木結(jié)構(gòu)設(shè)計標準)。然而，研究證實，工程竹材料力學(xué)性質(zhì)與木材力學(xué)性質(zhì)并不完全相同。通常，木材的順紋受壓比例極限與其順紋受壓強度差異并不太大，有的文獻甚至以理想彈塑性關(guān)系描述木材的順紋受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系[8]。因此，采用線彈性理論計算木構(gòu)件的極限承載力與其實際承載力比較接近，且偏于安全，在工程上可以接受。然而，竹材的受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線則表現(xiàn)出顯著的非彈性特點，其受壓比例極限約為其極限受壓強度的50%[1]。工程竹的這種非彈性特點，對受彎構(gòu)件或壓彎構(gòu)件的力學(xué)行為影響顯著[9-14]。準確預(yù)估工程竹結(jié)構(gòu)的極限承載力，應(yīng)該考慮材料的非彈性性質(zhì)。若采用木結(jié)構(gòu)設(shè)計公式[15-17]，將會顯著低估工程竹構(gòu)件的極限承載力。

近年來，筆者所在課題組以重組竹和集成竹為研究對象，系統(tǒng)開展了材料基本力學(xué)性能、受彎構(gòu)件和壓彎構(gòu)件的極限承載力非彈性分析方法研究，建立了此類構(gòu)件極限承載力與變形計算方法[1,5,9-13]。本文系統(tǒng)總結(jié)了這些成果，給出了相應(yīng)的承載力與變形計算主要公式，以期為工程竹結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)設(shè)計提供依據(jù)。

1 非彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

重組竹一般選用毛竹為原料，首先將竹莖切成長2m左右的竹條，在80℃左右環(huán)境中烘干至含水率11%～16%，再將竹條碾成竹絲束，平行組坯，浸漬酚醛樹脂膠，在一定壓力和溫度下膠合而成。集成竹是將長約3m、寬30mm、厚20mm的竹條在80℃環(huán)境中烘干至含水率6%～11%，再將酚醛樹脂均勻涂抹于竹片表面，同方向組坯膠合而成。

文獻[1]和文獻[11]的研究表明，不論是重組竹還是集成竹，其順紋應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系均表現(xiàn)出類似的特性，即順紋受拉呈完全彈性，而順紋受壓在彈性極限內(nèi)呈線性，超過彈性極限后呈明顯非線性特性。為了建立工程竹受彎構(gòu)件和壓彎構(gòu)件的非線性分析模型，文獻[1]采用如圖1所示二次曲線模擬工程竹的順紋本構(gòu)關(guān)系：

圖1 工程竹順紋應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

(1)

其中：

式中：λ1，λ2，λ3均為材料常數(shù)；fcu和εcu分別為極限抗壓強度和極限壓應(yīng)變；fce和εce分別為比例極限壓應(yīng)力和比例極限壓應(yīng)變；ftu和εtu分別為極限抗拉強度和極限拉應(yīng)變；E為順紋楊氏模量。

2 受彎構(gòu)件極限承載力

木結(jié)構(gòu)設(shè)計標準給出的受彎構(gòu)件承載力計算公式為M/Wn≤fm，其中，M，Wn，fm分別為受彎構(gòu)件控制截面的彎矩、截面凈抵抗矩以及材料抗彎強度設(shè)計值。可見，木結(jié)構(gòu)設(shè)計標準中極限承載力的計算采用了線彈性力學(xué)模型。由于工程竹受壓本構(gòu)關(guān)系非線性特性明顯，故利用線彈性模型計算工程竹極限承載力會導(dǎo)致較大誤差。試驗[9]表明，工程竹受彎構(gòu)件破壞時，破壞截面受壓區(qū)靠近構(gòu)件上表面一定范圍內(nèi)的材料處于受壓屈曲狀態(tài)，使構(gòu)件產(chǎn)生非彈性響應(yīng)；而截面的其他區(qū)域，均處于彈性工作狀態(tài)，如圖2所示。因此，工程竹受彎構(gòu)件的極限彎矩Mu可由下式得到：

(2)

式中：f(y)為受壓區(qū)截面應(yīng)力分布；yc，yp，yt分別為彈性受壓區(qū)(ECZ)、非彈性受壓區(qū)(PCZ)和彈性受拉區(qū)(ETZ)的高度(圖2)，可通過截面平衡條件和幾何條件求得；kp為構(gòu)件曲率。

圖2 極限狀態(tài)下受彎構(gòu)件截面的應(yīng)力與應(yīng)變分布

(3)

計算結(jié)果[9-11]證明，采用式(2)計算重組竹與集成竹受彎構(gòu)件的承載力具有較高的精度。然而，式(3)是一個與材料極限應(yīng)變相關(guān)的參數(shù)，不便于工程應(yīng)用。為此，文獻[13]采用梯形分布代替受壓屈曲區(qū)的非線性應(yīng)力分布，得到了工程竹受彎構(gòu)件的極限彎矩計算公式：

(4)

式中b，h分別為梁截面寬度和高度。

以課題組研發(fā)的空心竹樓蓋單向板為例(圖3)，經(jīng)計算表明，式(4)的計算結(jié)果與試驗結(jié)果誤差不大，且偏于安全，可以滿足工程計算精度要求。

圖3 空心竹樓蓋單向板試驗與計算值比較[11]

3 壓彎構(gòu)件

3.1 單偏心受壓構(gòu)件

各國主要規(guī)范，如NDS-2015[14]，CSA086-14[15]和Eurocode 5[16]，給出了以軸向壓力-彎矩方程表達的構(gòu)件失效準則，以校核壓彎構(gòu)件是否滿足極限狀態(tài)下的承載力要求。盡管有些規(guī)范或標準給出的失效準則考慮了構(gòu)件的非線性特征，但極限應(yīng)力仍是基于線彈性理論給出的結(jié)果。如木結(jié)構(gòu)設(shè)計標準給出的單向偏心受壓柱極限承載力驗算公式：

(5)

式中：N和M0分別為偏心受壓構(gòu)件承受的軸向壓力和彎矩；e0為軸向壓力的初始偏心距；An和Wn分別截面凈面積和凈抵抗矩；fc和fm分別為材料抗壓強度與抗彎強度設(shè)計值。

與木結(jié)構(gòu)設(shè)計標準類似的還有歐洲規(guī)范Eurocode 5[16]，該規(guī)范給出的單向偏心受壓柱承載力驗算公式與式(5)類似，只不過采用應(yīng)力為基本變量。顯然，式(5)依據(jù)線彈性理論，將軸向壓力和彎矩產(chǎn)生的荷載效應(yīng)進行線性疊加，未考慮材料的非彈性響應(yīng)。有些設(shè)計標準考慮了壓彎構(gòu)件的非線性響應(yīng)，將壓彎構(gòu)件的破壞準則表達為軸向壓力與彎矩的二次曲線。如加拿大木結(jié)構(gòu)設(shè)計手冊[18]給出的在偏心壓力作用下中長柱的極限承載力計算公式：

(6)

式中：Pf為軸向荷載；Pr為軸向抗力極限值；Mr為抵抗彎矩極限值；PE為Euler臨界荷載。

事實上，受壓構(gòu)件的承載力與其長細比密切相關(guān)。對于細長柱，整體失穩(wěn)是其主要破壞模式，早在1744年，Euler就提出了細長柱的極限承載力計算公式[19]。當柱的長細比介于短柱和細長柱之間(即中長柱)時，其極限承載力取決于材料抗壓強度和長細比，柱破壞時，非彈性特征顯著。

為了計算承受軸向壓力中長柱的極限承載力，Engesser于1889年提出了切線模量理論[20]，該理論以切線模量Et，即應(yīng)力-應(yīng)變曲線某點的斜率，代替彈性模量E，得到的柱承載力計算公式和Euler公式具有相同的形式。此外，Von Karman于1919年提出割線模量理論[21]，該理論考慮材料卸載彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，得到的承載力公式也與Euler公式具有相同的形式，只不過以割線模量Er代替Euler公式中的彈性模量E。試驗結(jié)果[10]表明，Engesser和von Karman公式能較好預(yù)估軸心受壓工程竹中長柱的極限承載力，但不能用于計算偏心受壓柱的極限承載力。

文獻[21]在Euler和Timoshenko梁理論基礎(chǔ)上，建立了彎曲構(gòu)件和壓彎構(gòu)件統(tǒng)一模型，即梁-柱模型，研究了桿件偏心受壓或在軸向壓力與端部彎矩的聯(lián)合作用下，構(gòu)件極限承載力計算問題，給出的壓彎構(gòu)件控制方程為彎矩關(guān)于曲率的二階微分方程，材料的非線性則通過破壞面的彎矩-曲率-軸力關(guān)系表示。對端部同時承受軸力和彎矩聯(lián)合作用的壓彎構(gòu)件，當軸力恒定時，采用梁-柱模型很容易得到微分方程的解。對于偏心受壓柱，由于計算截面彎矩是軸力的函數(shù)，難以得到方程解析解，需采用數(shù)值方法對一系列荷載增量進行逐步計算，以逼近極限承載力真實值。采用這種方法進行結(jié)構(gòu)設(shè)計計算非常繁瑣。文獻[22]提出一種基于應(yīng)變的非彈性分析方法，該方法假設(shè)破壞截面上的應(yīng)變已知，根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系得出破壞截面的應(yīng)力分布，從而計算破壞截面的撓度和內(nèi)力。文獻[10]根據(jù)中長柱偏心受壓試驗結(jié)果，考慮工程竹拉、壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的差異和極限狀態(tài)下受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非彈性特點，將破壞截面分為彈性區(qū)域和受壓屈曲區(qū)域(圖4)，得到中長壓彎構(gòu)件彎曲破壞時極限承載力計算公式：

圖4 單偏壓柱及其破壞截面應(yīng)力分布

(7)

為了計算柱破壞截面的撓度，文獻[10]還提出了一種虛擬塑性鉸法。該方法假定破壞面的撓度由彈性撓度和非線性變形撓度兩部分組成，彈性撓度是指荷載達到比例極限時產(chǎn)生的撓度，由Euler方程求得；非線性變形撓度是指外荷載由比例極限增加至極限荷載過程中產(chǎn)生的撓度，在此過程中，破壞截面附近一定范圍內(nèi)由于非彈性壓曲，沿柱縱向產(chǎn)生一定長度的塑性鉸。通過塑性鉸發(fā)展過程中的幾何關(guān)系分析，可得偏心受壓柱破壞時破壞截面(1/2柱高)處的非線性變形撓度δp：

(8)

式中：Lp為塑性鉸長度；ytu為截面破壞時受拉區(qū)高度。

可見，非線性變形撓度取決于塑性鉸的長度。假設(shè)塑性鉸長度等于破壞截面高度，即Lp=h，則非線性撓度為：

(9)

3.2 雙向偏心受壓構(gòu)件

雙向偏心受壓構(gòu)件的非彈性分析模型研究較多[23-27]，大多數(shù)研究都假設(shè)材料具有理想彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系以減少計算難度。文獻[17]采用了與單向偏壓構(gòu)件類似的分析方法，建立了工程竹中長柱在雙向偏心受壓作用下的極限承載力分析模型。該模型假定柱破壞時，最外層纖維拉斷，受壓區(qū)纖維屈曲。根據(jù)平截面假定，將柱的破壞截面分為彈性受拉區(qū)、彈性受壓區(qū)和非彈性受壓區(qū)，由幾何條件得到破壞截面應(yīng)變分布方程，從而進一步得到極限承載力計算公式。由平截面假定可知，應(yīng)變分布方程可表示為：

ε(x,y)=Px+Qy+R

(10)

式中P，Q，R為應(yīng)變分布平面的外法線向量。

根據(jù)文獻[17]的研究結(jié)果，工程竹雙向偏心受壓構(gòu)件破壞時，破壞截面上的非彈性壓曲區(qū)有兩種可能的幾何形狀，即三角形或梯形。以非彈性受壓區(qū)為三角形為例，圖5給出了破壞截面的應(yīng)變和應(yīng)力分布。

圖5 非彈性受壓區(qū)為三角形時的截面應(yīng)變和應(yīng)力分布

由平衡條件可得上述兩種情況下雙向偏心受壓構(gòu)件的極限承載力計算公式：

非彈性受壓區(qū)為三角形時：

(11)

非彈性受壓區(qū)為梯形時：

3(b1+b2)2-(b1-b2)2]Q-3(2b-b1-

b2)R}-αa(2b-b1-b2)f

(12)

圖6 雙向偏心受壓柱截面上的彈性和非彈性區(qū)域

由于求解高階方程的困難，通過平衡條件和幾何條件確定彈性受壓區(qū)和塑性受壓區(qū)的分界線方程在數(shù)學(xué)上很難實現(xiàn)，故難以給出應(yīng)變平面的外法線向量顯式解析解。試驗和分析證實，雙向偏心受壓柱截面的破壞始于塑性受壓區(qū)最外邊緣纖維的屈服，彈性和非彈性區(qū)域分界線為直線且與中性軸平行，它始于塑性受壓區(qū)的最遠端，在截面發(fā)生損傷與破壞過程中，逐步平移至截面內(nèi)部。因此，式(11)和式(12)提供了一個計算雙向偏心受壓構(gòu)件非線性響應(yīng)的漸近法，即通過應(yīng)變分布平面方程，得到彈性和非彈性區(qū)域的分界線方程，逐漸將分界線從受壓區(qū)最外點向截面內(nèi)平移，計算相應(yīng)的外荷載和受拉區(qū)最外端的應(yīng)力，直至受拉區(qū)達到抗拉極限，停止計算，此時得到的外荷載值即為雙向偏心受壓柱的極限承載力。計算表明，上述方法可以得到滿意的結(jié)果。計算與試驗結(jié)果對比如表1所示。

雙向偏心受壓柱極限承載力試驗值與計算值對比[17] 表1

4 結(jié)語

工程竹順紋受拉和受壓應(yīng)力-應(yīng)變差異顯著，受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系呈明顯非線性特征，因此，工程竹極限承載力與變形計算應(yīng)考慮其非彈性響應(yīng)。本文系統(tǒng)總結(jié)了筆者所在課題組關(guān)于工程竹受彎構(gòu)件和偏心受壓構(gòu)件極限承載力與變形的計算方法，列出了相關(guān)計算公式。其中，受彎構(gòu)件和單向偏心受壓構(gòu)件可通過本文公式直接計算相應(yīng)的極限承載力，雙向偏心受壓構(gòu)件則需要通過逐步漸進法進行計算。就作為實用計算公式而言，式(2)，(3)，(7)，(11)，(12)還需要進一步簡化，以下工作還有待進一步開展：

(1)受壓屈曲區(qū)應(yīng)力不均勻系數(shù)α的取值問題。研究[9,11,17]表明，不論彎曲問題還是偏心受壓問題，α值的計算公式完全相同，通過計算分析，給定α某一確定的近似值，則式(2)，(3)，(7)，(11)，(12)將大為簡化，從而為得到工程竹極限承載力實用計算公式創(chuàng)造條件。

(2)各國木結(jié)構(gòu)設(shè)計標準(規(guī)范)只給出了偏心受壓構(gòu)件的承載力校核公式，沒有給出極限承載力計算公式。本文所列公式均可計算偏心受壓構(gòu)件的極限承載力。因此，通過進一步分析、簡化，給出偏心受壓構(gòu)件承載力實用計算公式，對編制工程竹結(jié)構(gòu)設(shè)計標準具有理論意義。

(3)本文討論的偏心受壓構(gòu)件承載力計算公式均在受拉區(qū)纖維應(yīng)力達到抗拉強度的假定下導(dǎo)出，即假設(shè)偏壓構(gòu)件的破壞模式為大偏心受壓破壞。當偏心距較小時，受拉區(qū)纖維在構(gòu)件破壞時達不到抗拉極限強度。因此，對于小偏心受壓構(gòu)件的非彈性分析，還需進一步研究。