馬子麟，師永民，李宜強(qiáng)，管 錯(cuò)，師 翔，李文宏，張忠義，左 靜

（1.北京大學(xué)地球與空間科學(xué)學(xué)院，北京 100871；2.中國(guó)石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院，北京 102249；3.中海油研究總院有限責(zé)任公司，北京 100028；4.中國(guó)石油長(zhǎng)慶油田分公司勘探開(kāi)發(fā)研究院，陜西西安 710018）

多層砂巖油藏在中國(guó)廣泛分布，儲(chǔ)量和產(chǎn)量均約占全國(guó)總量的50%［1］。由于層間非均質(zhì)性的影響，多層油藏注水開(kāi)發(fā)過(guò)程中普遍存在層間干擾問(wèn)題，導(dǎo)致低滲透層不能充分動(dòng)用，十分不利于采收率的提高［2-5］。因此，層間干擾的表征和分析一直是研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。業(yè)界主要采用物理模擬與數(shù)值模擬研究層間干擾特征。早期研究常采用采收率表征層間干擾對(duì)地層生產(chǎn)狀況的最終影響［6-10］；近年來(lái)，許多學(xué)者在研究中發(fā)現(xiàn)，隨著開(kāi)發(fā)過(guò)程的進(jìn)行，層間干擾程度是動(dòng)態(tài)改變的［11-14］，但目前仍需通過(guò)模擬方法或分層測(cè)試表征、預(yù)測(cè)層間干擾，尚無(wú)較為便捷的方法。

耿正玲等研究發(fā)現(xiàn)，層間干擾是由水驅(qū)油過(guò)程中層間滲流阻力差異引起的［15-16］。通過(guò)計(jì)算層間滲流阻力差異的動(dòng)態(tài)變化，可以預(yù)測(cè)不同時(shí)刻各層吸水量和產(chǎn)液量，分析開(kāi)采過(guò)程中的層間干擾程度，為生產(chǎn)指標(biāo)的劈分、開(kāi)發(fā)措施的調(diào)整提供依據(jù)［17-20］。針對(duì)油水兩相滲流阻力計(jì)算，學(xué)者們給出了不同形式的求取公式與解法［21-24］，但存在計(jì)算復(fù)雜或精度不高的問(wèn)題，不利于推廣應(yīng)用。為此，基于Buckley-Leverett理論，推導(dǎo)了一維水驅(qū)油過(guò)程滲流阻力計(jì)算公式，并通過(guò)對(duì)油水總流度倒數(shù)與含水率導(dǎo)數(shù)變化關(guān)系的擬合，建立了兼顧精度與效率的兩相滲流阻力求取方法。利用單層模型數(shù)值模擬，驗(yàn)證該計(jì)算方法的準(zhǔn)確性，并將該算法應(yīng)用于多層一維流動(dòng)層間滲流阻力差異的求取，以期為多層油藏層間干擾的預(yù)測(cè)以及開(kāi)發(fā)方案調(diào)整提供方法和依據(jù)。

1 滲流阻力計(jì)算方法

1.1 單層滲流阻力計(jì)算方法

考慮一維定截面積地層中水驅(qū)油過(guò)程，模型假設(shè)為：①非活塞式驅(qū)替，忽略重力和毛管壓力的影響，注采平衡。②油、水相流動(dòng)均服從達(dá)西線性滲流定律。③不考慮巖石和流體壓縮性。

對(duì)于兩相區(qū)內(nèi)任一含水飽和度為Sw的截面，通過(guò)該截面的瞬時(shí)流量可由兩相滲流達(dá)西定律得到：

該截面上滲流阻力為：

兩相區(qū)內(nèi)滲流阻力需由（2）式對(duì)兩相區(qū)長(zhǎng)度積分得到：

利用Buckley-Leverett 方程（簡(jiǎn)稱(chēng)B-L 方程），可以將位置轉(zhuǎn)化為含水飽和度。B-L方程給出任一含水飽和度平面的前進(jìn)距離［25-26］為：

設(shè)兩相區(qū)前緣含水飽和度為f′(Sw)=f′(Swf)，則前緣相對(duì)于注入端前進(jìn)距離為：

（4）式與（5）式相除并整理可得：

對(duì)（6）式微分可得：

采出端見(jiàn)水前，兩相區(qū)兩端含水飽和度分別為：在x=xf處，Sw=Swf；在x=xm處，Sw=1-Sor。將（7）式代入（3）式并變換積分上下限后，可得兩相區(qū)內(nèi)滲流阻力為：

（8）式積分項(xiàng)中的分母部分實(shí)際為某一含水飽和度下油水總流度，是某一含水飽和度下地層流體總流動(dòng)能力的表征，記為：

將（9）式代入（8）式，同時(shí)將積分項(xiàng)上下限互換以消去負(fù)號(hào)，可得：

設(shè)從注入端到采出端距離為f′(Sw)=f′(Swf)，在水驅(qū)前緣到達(dá)采出端前，即xf＜L時(shí)，巖心中存在純油相區(qū)與油水兩相區(qū)，此時(shí)總滲流阻力為兩區(qū)域滲流阻力之和，對(duì)其進(jìn)行整理，可得：

當(dāng)采出端見(jiàn)水后，為繼續(xù)分析注采井間油水流動(dòng)情況，可看作水驅(qū)前緣穿過(guò)采出端繼續(xù)向前推進(jìn)，即將注采井距視為水驅(qū)前緣前進(jìn)距離的一部分（xf≥L）［25-26］。此時(shí)注采井間純油相區(qū)消失，兩相區(qū)滲流阻力即為總滲流阻力；同時(shí)前緣含水飽和度平面也消失，因此（11）式中的前緣含水飽和度Swf要相應(yīng)變?yōu)椴沙龆撕柡投萐we，即：

求取總滲流阻力關(guān)鍵在于求出表達(dá)式（見(jiàn)水前為（11）式，見(jiàn)水后為（12）式）中的積分項(xiàng)，為便于求解，可將積分項(xiàng)轉(zhuǎn)化為以含水率導(dǎo)數(shù)為自變量的形式：

由于油水總流度倒數(shù)1/λt(Sw)與含水率導(dǎo)數(shù)f′(Sw)之間為隱函數(shù)關(guān)系，此類(lèi)積分通常需要采用數(shù)值積分［25］或圖解法［26-27］得到。其中數(shù)值積分方法往往需要專(zhuān)業(yè)軟件，同時(shí)傳統(tǒng)的梯形法在數(shù)據(jù)點(diǎn)之間采用線性插值，可能存在一定誤差；圖解法則需要人工讀圖，工作量較大且不易保證結(jié)果準(zhǔn)確。為此，筆者考慮利用多項(xiàng)式擬合得到兩者之間的顯式函數(shù)關(guān)系，即將二者的關(guān)系表示為：

（14）式積分得到：

將（15）式分別代入（11）式與（12）式，同時(shí)采用礦場(chǎng)單位，滲流阻力最終計(jì)算公式可表示為分段函數(shù)，即：

通過(guò)多項(xiàng)式擬合得到各擬合系數(shù)am值之后，可以由（16）式較為便捷地計(jì)算出任意給定含水率導(dǎo)數(shù)值對(duì)應(yīng)的滲流阻力值；又由于含水率導(dǎo)數(shù)與累積注入量（以注入孔隙體積倍數(shù)表示）為倒數(shù)關(guān)系，最終可得到滲流阻力隨累積注入量的變化曲線。

1.2 層間阻力差異計(jì)算方法

基于建立的單層滲流阻力計(jì)算方法，可計(jì)算多層油藏水驅(qū)過(guò)程中各層滲流阻力變化。假設(shè)：①各層間無(wú)竄流。②各層流體性質(zhì)及相對(duì)滲透率曲線相同。對(duì)（16）式分析可知，任一時(shí)刻單層滲流阻力由該層累積注水量確定，而各層的注水量又需由各層滲流阻力的相對(duì)大小確定，因此需采用迭代法計(jì)算，計(jì)算流程如下：①給定儲(chǔ)層物性參數(shù)滲透率K、孔隙度?、油水黏度μo與μw、注采井距L、截面積A及注水量步長(zhǎng)qi。②由（5）式計(jì)算前緣位置。③比較xf與L，若xf＜L，由（16）式計(jì)算見(jiàn)水前各層滲流阻力Rtik，并根據(jù)Rtik值劈分注水量qi+1。④重復(fù)步驟②—③至xf≥L。⑤見(jiàn)水后，由f′(Swe)=L?A/Qt計(jì)算此時(shí)采出端含水率導(dǎo)數(shù)，由（16）式計(jì)算見(jiàn)水后各層滲流阻力Rtik，并根據(jù)Rtik值劈分注水量qi+1。⑥重復(fù)步驟⑤，直至達(dá)到設(shè)定的注水量上限，計(jì)算結(jié)束。

2 應(yīng)用實(shí)例

2.1 單層滲流阻力計(jì)算與驗(yàn)證

采用某中高滲透巖心的相對(duì)滲透率數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，相對(duì)滲透率曲線形態(tài)如圖1 所示。對(duì)應(yīng)巖心滲透率為200 mD，其余參數(shù)設(shè)為：注采井距為100 m，地層截面積為1 m2，孔隙度為20%，地層原油黏度為10 mPa·s，注入水黏度為0.5 mPa·s。

圖1 油水相對(duì)滲透率曲線Fig.1 Oil-water relative permeability curves

首先，根據(jù)相對(duì)滲透率數(shù)據(jù)繪制含水率曲線，由切線法［25-27］求出水驅(qū)前緣含水飽和度。然后，取其右側(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，計(jì)算出不同含水飽和度對(duì)應(yīng)的總流度倒數(shù)與含水率導(dǎo)數(shù)。以含水率導(dǎo)數(shù)為橫坐標(biāo)，以總流度倒數(shù)為縱坐標(biāo)，使用多項(xiàng)式對(duì)兩者在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)確定的散點(diǎn)進(jìn)行擬合，得到總流度倒數(shù)與含水率導(dǎo)數(shù)的關(guān)系曲線。所選數(shù)據(jù)采用三次多項(xiàng)式即可達(dá)到較好的擬合效果（圖2）。

圖2 總流度倒數(shù)與含水率導(dǎo)數(shù)關(guān)系曲線Fig.2 Relationship between reciprocal of total mobility and derivative of water cut

給定不同含水率導(dǎo)數(shù)，即可求出對(duì)應(yīng)的總流度倒數(shù)，進(jìn)而計(jì)算出積分項(xiàng)，得到滲流阻力；同時(shí)，根據(jù)B-L 方程，可由含水率導(dǎo)數(shù)求出對(duì)應(yīng)的注入量，得到滲流阻力隨注入量的變化規(guī)律。對(duì)比本文方法計(jì)算結(jié)果與數(shù)值積分和數(shù)值模擬結(jié)果（圖3）發(fā)現(xiàn)：三者計(jì)算得到的滲流阻力變化趨勢(shì)基本一致；但本文方法計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果在滲流阻力大小和變化趨勢(shì)上均偏差更小，尤其在高-特高含水期。與數(shù)值積分方法相比，本文方法簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，并且具有更高的精度。本文方法計(jì)算結(jié)果較數(shù)值模擬結(jié)果下降略快，一方面可能是由于本文方法計(jì)算時(shí)忽略了巖石和流體的壓縮性，另一方面可能是由于水驅(qū)前緣讀取及曲線擬合過(guò)程中的誤差所致；基于B-L 方程計(jì)算得到的水驅(qū)指標(biāo)變化快于數(shù)值模擬結(jié)果，這在其他研究中亦有發(fā)現(xiàn)［27］。同時(shí)在注水初期，由于數(shù)值模擬中能反映出井間壓力平衡的過(guò)程，使得折算出的滲流阻力在注水初期表現(xiàn)為短暫上升再下降的趨勢(shì)。但總體來(lái)說(shuō)，本文方法與數(shù)值模擬結(jié)果較為吻合，相對(duì)誤差低于12%，說(shuō)明本文方法能夠用于滲流阻力變化的預(yù)測(cè)與監(jiān)控。

圖3 不同方法計(jì)算所得注水過(guò)程中滲流阻力變化對(duì)比Fig.3 Seepage resistance changes calculated by different methods during water flooding

分析滲流阻力的變化（圖3）發(fā)現(xiàn)，滲流阻力整體呈現(xiàn)下降最終逐漸減緩的趨勢(shì)，隨著注入量增加，依次分為線性、漸緩和近平緩3個(gè)下降階段。線性下降階段對(duì)應(yīng)無(wú)水采油期，因?yàn)橛桑?6）式可知，當(dāng)水驅(qū)前緣未到達(dá)采出端時(shí)，f′(Sw)=f′(Swf)，滲流阻力實(shí)際只是前緣位置xf的函數(shù)，而前緣位置又與注入量成正比。當(dāng)采出端見(jiàn)水后，隨著含水率上升，滲流阻力下降速率開(kāi)始減小，進(jìn)入漸緩下降階段，對(duì)應(yīng)中-高含水期。隨著含水率進(jìn)一步上升，進(jìn)入近平緩下降階段，滲流阻力下降速率進(jìn)一步降低，對(duì)應(yīng)特高含水期。滲流阻力的下降速率與含水率的上升速率具有一定對(duì)應(yīng)性，這是由于兩者都受到B-L 方程所描述的含水飽和度平面移動(dòng)速率控制。

2.2 多層非均質(zhì)油藏滲流阻力計(jì)算

以雙層介質(zhì)滲流過(guò)程為例，根據(jù)計(jì)算流程計(jì)算水驅(qū)過(guò)程中各層滲流阻力的變化。同時(shí)，引入滲流阻力比值的概念，更加直觀地反映層間阻力差異，分析層間干擾程度的變化特征。

2.2.1 注水過(guò)程中滲流阻力變化特征

利用本文方法可以計(jì)算得到層間干擾程度的動(dòng)態(tài)變化。設(shè)兩層滲透率分別為200 和100 mD，滲透率級(jí)差為2，注采井距為100 m，滲流面積為1 m2，孔隙度為20%，地層原油黏度為10 mPa·s，注入水黏度為0.5 mPa·s。分析計(jì)算得到的各層滲流阻力與層間滲流阻力比值（圖4）可知，隨著注水過(guò)程的進(jìn)行，各層滲流阻力變化趨勢(shì)相近，但變化速率不同，高滲透層阻力低，下降快，低滲透層阻力高，下降慢。滲流阻力比值反映了兩層滲流阻力的差異，表現(xiàn)為一條近拋物線曲線，當(dāng)注入量為2 PV 時(shí)，滲流阻力比值達(dá)到最大，由初始值2升高至最大值（約為3.7），層間干擾程度達(dá)到最大；當(dāng)注入量大于2 PV時(shí)，滲流阻力比值呈緩慢下降趨勢(shì)，而此時(shí)高滲透層已進(jìn)入特高含水期，注入水無(wú)效循環(huán)嚴(yán)重，該層滲流阻力近乎為定值。因此，對(duì)多層油藏應(yīng)及早進(jìn)行以分層注水為主的調(diào)控措施，抑制層間干擾，避免無(wú)效注水；而在層間滲流阻力差異達(dá)到最大值后，調(diào)控措施應(yīng)以封堵高滲透層為主。

圖4 注水過(guò)程中各層滲流阻力及滲流阻力比值變化Fig.4 Changes of seepage resistance and the resistance ratio of each layer during water flooding

2.2.2 滲透率級(jí)差對(duì)層間阻力差異的影響

滲透率級(jí)差是層間干擾的主要影響因素［7-9］?？刂频蜐B透層滲透率為100 mD，依次改變高滲透層滲透率為200，300 和400 mD，形成級(jí)差為2，3 和4的3 個(gè)模型，計(jì)算得到滲流阻力比值變化規(guī)律。結(jié)果（圖5）表明，滲透率級(jí)差越大，滲流阻力比值越大，層間滲流阻力差異越大。滲透率級(jí)差為2時(shí)，滲流阻力比值最大值約為3.7；滲透率級(jí)差為3 時(shí)，滲流阻力比值最大值約為8；滲透率級(jí)差為4 時(shí)，滲流阻力比值最大值超過(guò)12。隨著滲透率級(jí)差的增加，滲流阻力比值最大值迅速增加，反映層間干擾程度迅速增大，給油藏產(chǎn)油能力帶來(lái)不利影響。因此，對(duì)于多層合注油藏，及早實(shí)施調(diào)控措施抑制層間干擾至關(guān)重要。

圖5 不同滲透率級(jí)差儲(chǔ)層注水過(guò)程中滲流阻力比值變化Fig.5 Changes of seepage resistance ratios with different permeability ratios during water flooding in reservoirs

3 結(jié)論

基于Buckley-Leverett 理論，推導(dǎo)了兼顧計(jì)算效率與精度的一維地層兩相滲流阻力計(jì)算方法，并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了該方法的有效性與實(shí)用性。結(jié)果表明，本文方法與數(shù)值模擬的計(jì)算結(jié)果在各開(kāi)發(fā)階段均具有較好的一致性，相對(duì)誤差低于12%，能夠表征水驅(qū)油過(guò)程中滲流阻力變化規(guī)律。

在單層滲流阻力計(jì)算的基礎(chǔ)上，形成了基于層間阻力差異計(jì)算的多層油藏層間干擾程度快速預(yù)測(cè)方法，并應(yīng)用該方法分析了中高滲透油藏層間干擾程度隨注水開(kāi)發(fā)過(guò)程及滲透率級(jí)差的變化特征，為多層合注油藏開(kāi)發(fā)措施的調(diào)整及調(diào)控時(shí)機(jī)的確定提供了依據(jù)。

在計(jì)算多層油藏層間阻力差異時(shí)假定各層間無(wú)竄流，隔層發(fā)育較為完善的油藏可以滿(mǎn)足這一假設(shè)。因此，在應(yīng)用文中流程進(jìn)行層間干擾程度預(yù)測(cè)時(shí)，需要加強(qiáng)對(duì)隔層發(fā)育狀況的認(rèn)識(shí)，以確保預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。

符號(hào)解釋

am——多項(xiàng)式擬合系數(shù)；

A——地層截面積，m2；

i——注水量步長(zhǎng)序號(hào)，i=1，2，3，…；

k——多層油藏層編號(hào)，k=1，2，3，…；

K——絕對(duì)滲透率，D；

Kro——油相相對(duì)滲透率，f；

Krw——水相相對(duì)滲透率，f；

L——注采井距，m；

m——多項(xiàng)式中擬合系數(shù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的指數(shù)，m=0，1，2，3，…，n；

n——擬合得到的多項(xiàng)式最高次項(xiàng)指數(shù)，正整數(shù)；

p——給定時(shí)刻任一含水飽和度平面所在位置壓力，MPa；

qi——注水量步長(zhǎng)，m3；

Q——兩相區(qū)內(nèi)任一截面上的瞬時(shí)流量，m3/ks；

Qt——給定時(shí)刻累積注入量，m3；

R——兩相區(qū)內(nèi)滲流阻力，（mPa·s）/（D·m）或MPa/（m3/d）；

Rt——注采井間總滲流阻力，（mPa·s）/（D·m）或MPa/（m3/d）；

Rtik——第i步第k層總滲流阻力，（mPa·s）/（D·m）或MPa/（m3/d）；

Sw——含水飽和度，f；

Swf——兩相區(qū)前緣含水飽和度，f；

Sor——?dú)堄嘤惋柡投?，f；

Swe——采出端含水飽和度，f；

x——給定時(shí)刻任一含水飽和度平面所在位置，m；

xf——給定時(shí)刻兩相區(qū)前緣（前緣含水飽和度平面）所在位置，m；

xm——給定時(shí)刻兩相區(qū)末端（最大含水飽和度平面）所在位置，m；

?——地層孔隙度，f；

λt(Sw)——兩相區(qū)內(nèi)油水總流度，f；

μo——地層原油黏度，mPa·s；

μw——注入水黏度，mPa·s。