鄭雙進(jìn)，劉濤，廖坤，李足平，杜冬楠，劉裕，潘祎

1.長(zhǎng)江大學(xué)石油工程學(xué)院，湖北 武漢 430100 2.中石化勝利石油工程有限公司固井技術(shù)服務(wù)中心，山東 東營(yíng) 257100

固井環(huán)空壓力剖面的精確計(jì)算與控制非常重要，尤其是針對(duì)密度窗口較窄的地層，壓力控制不好容易發(fā)生井漏或溢流等事故，影響施工安全和固井質(zhì)量。由于地層縱向非均質(zhì)性的影響，或存在嚴(yán)重鹽膏層、泥巖段，井眼垮塌嚴(yán)重，井徑擴(kuò)大率不均勻形成“大肚子”不規(guī)則井眼十分常見(jiàn)[1]。據(jù)統(tǒng)計(jì)，全球泥頁(yè)巖地層占75%，90%的井眼穩(wěn)定性問(wèn)題發(fā)生在泥頁(yè)巖，有的層段擴(kuò)徑，有的層段縮徑，很容易形成“大肚子”或“糖葫蘆”不規(guī)則井眼[2]。從公開(kāi)文獻(xiàn)報(bào)道也可同樣得知，國(guó)內(nèi)各大油田也普遍存在不規(guī)則井眼油氣井[3]。不規(guī)則井眼固井過(guò)程中易發(fā)生油、氣、水竄問(wèn)題，影響界面膠結(jié)質(zhì)量，進(jìn)而影響固井質(zhì)量[4-8]。據(jù)調(diào)研，早在1986年FRANK等[9]就針對(duì)突擴(kuò)流進(jìn)行研究，得到了級(jí)聯(lián)展開(kāi)的納維葉-斯托克斯解；王常斌等[10]建立了突擴(kuò)管在低雷諾數(shù)條件下的物理模型，采用正交網(wǎng)格劃分，對(duì)牛頓流體層流下的管路突擴(kuò)情況進(jìn)行了數(shù)值模擬，分析了管路突擴(kuò)回流時(shí)速度和壓力的流場(chǎng)的分布情況；朱曉星等[11]基于非均勻網(wǎng)格Lattice-Boltzmann方法對(duì)二維突擴(kuò)流進(jìn)行了數(shù)值模擬，并驗(yàn)證了該方法的適用性；劉曉利等[12]運(yùn)用有限分析法求解Navier-Stokes方程，獲得了二維突擴(kuò)管流的數(shù)值解；夏慶福等[13]應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)k-ε雙方程模型對(duì)洞塞消能進(jìn)行了數(shù)值模擬計(jì)算，與經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果相比誤差小于5%。前述研究均是針對(duì)突擴(kuò)流進(jìn)行的，而實(shí)際不規(guī)則井眼大多為井壁曲線呈弧線狀的弧形凹面井眼，與突擴(kuò)管形態(tài)存在一定差異，目前鮮有描述弧形凹面區(qū)域流場(chǎng)規(guī)律的理論模型相關(guān)報(bào)道，該區(qū)域的流動(dòng)壓降情況也無(wú)從得知。因此，建立一套能夠描述弧形凹面區(qū)域流動(dòng)壓降的計(jì)算方法，分析弧形凹面區(qū)域的流動(dòng)壓降變化規(guī)律及影響因素，對(duì)于精細(xì)計(jì)算不規(guī)則井眼環(huán)空壓力剖面十分重要。

1 不規(guī)則井眼流動(dòng)壓降分析

如圖1所示，當(dāng)固井流體從小直徑環(huán)空進(jìn)入大直徑環(huán)空時(shí)，小直徑環(huán)空中的流線可近似看作平行直線，井徑變化區(qū)域會(huì)產(chǎn)生旋渦；當(dāng)固井流體從大直徑環(huán)空進(jìn)入小直徑環(huán)空時(shí)，流線收縮，井徑變化區(qū)域也會(huì)產(chǎn)生旋渦[14]。以上2個(gè)過(guò)程的流動(dòng)求解復(fù)雜，這里為簡(jiǎn)化求解，將流動(dòng)區(qū)域劃分為環(huán)形流動(dòng)區(qū)域與弧形凹面流動(dòng)區(qū)域。 相應(yīng)地，整個(gè)流動(dòng)區(qū)域內(nèi)的壓降為環(huán)形流動(dòng)壓降與弧形凹面流動(dòng)壓降之和。對(duì)于環(huán)形流動(dòng)區(qū)域，使用Burkhart給出的冪律流體環(huán)空壓降計(jì)算公式求解固井流體在該區(qū)域的流動(dòng)壓降[15]。對(duì)于弧形凹面流動(dòng)區(qū)域，運(yùn)用平板驅(qū)動(dòng)流理論描述其流動(dòng)問(wèn)題，以下通過(guò)推導(dǎo)弧形凹面區(qū)域的能量方程來(lái)分析該區(qū)域的附加壓降。

圖1 弧形凹面井眼固井流體流動(dòng)示意圖 圖2 微元控制體示意圖 Fig.1 Schematic diagram of cementing fluid flow in the Fig.2 Schematic diagram of the element control body borehole with curved concave surface

如圖2所示，弧形凹面流動(dòng)區(qū)域任一微元控制體內(nèi)能量守恒定律為體積τ內(nèi)流體動(dòng)能和內(nèi)能的變化率等于單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)量力和面積力所做功加上單位時(shí)間內(nèi)給予體積τ的熱量，則弧形凹面流動(dòng)區(qū)域內(nèi)的能量守恒定律可表達(dá)為：

(1)

式中:τ為微元體體積；S為微元體表面積；T為溫度的微分；ρ為流體密度；Q為微元體內(nèi)能；t為時(shí)間；v為速度矢量；n為微元面外法線方向單位矢量；F為體積力矢量；k為導(dǎo)熱系數(shù)；q為熱量；P為二階張量，包含正應(yīng)力與切應(yīng)力。

全微分形式的能量變化率可轉(zhuǎn)化為如下偏微分形式：

(2)

式中:vn為垂直于微元表面的速度。

根據(jù)奧高公式將面積分轉(zhuǎn)化為體積分：

(3)

(4)

此時(shí)積分形式的能量守恒方程可轉(zhuǎn)化為：

(5)

由于微元τ是任意的，且假定被積函數(shù)連續(xù)，由此可導(dǎo)出：

(6)

假定在流動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有熱量交換，即:

則有：

(7)

兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t積分可得：

(8)

在t=0時(shí)刻，v=0，則有：

(9)

除了平板驅(qū)動(dòng)切應(yīng)力及正應(yīng)力外，其余的正應(yīng)力與切應(yīng)力均為內(nèi)力，整個(gè)弧形凹面流動(dòng)區(qū)域內(nèi)力所做功總和為0。另外，考慮到壁面無(wú)滑移邊界條件，說(shuō)明壁面并不對(duì)流體做功，故只有重力及驅(qū)動(dòng)剪切力對(duì)流體做功，所做功即為整個(gè)弧形凹面流動(dòng)區(qū)域的動(dòng)能。

在圖2中的環(huán)形流動(dòng)區(qū)域與弧形凹面流動(dòng)區(qū)域接觸面處功能關(guān)系為：

(10)

式中：S0為環(huán)形流動(dòng)區(qū)域截面積。

當(dāng)|v|dt=L時(shí)，弧形凹面區(qū)域的附加壓耗：

(11)

2 弧形凹面區(qū)域流動(dòng)控制方程

2.1 連續(xù)性方程

在固井流體中取由一定流體質(zhì)點(diǎn)組成的物質(zhì)體，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，并假定固井流體是不可壓縮流體，廣義坐標(biāo)系下的連續(xù)性方程可表示為：

(12)

考慮徑向?qū)ΨQ(chēng)性，則柱坐標(biāo)系下的連續(xù)性方程為：

(13)

式中:vr為徑向速度；vz為軸向速度。

2.2 動(dòng)量守恒方程

廣義坐標(biāo)系下的動(dòng)量守恒方程可表示為：

(14)

考慮徑向的對(duì)稱(chēng)性后，動(dòng)量守恒方程在柱坐標(biāo)系下表示為：

(15)

2.3 柱坐標(biāo)下控制方程的無(wú)量綱化

取流場(chǎng)的特征長(zhǎng)度、特征速度、特征時(shí)間、特征壓力，將控制方程無(wú)量綱化：

(16)

無(wú)量綱化后的方程統(tǒng)一為：

(17)

式中：Re為雷諾數(shù)；X、Y分別為x與y方向特征化后長(zhǎng)度；U、V分別為x與y方向特征化后速度；p為特征化后壓力。

將控制方程無(wú)量綱化以后，可以避免控制方程中物理參數(shù)在量級(jí)上的懸殊差異，從而減少不必要的數(shù)值誤差和精度損失，同時(shí)可減少控制方程中的常數(shù)運(yùn)算而將常數(shù)轉(zhuǎn)化成幾個(gè)相似參數(shù)；此外，還易于實(shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算中的相似模擬，從而使計(jì)算結(jié)果更具通用性。

3 弧形凹面區(qū)域流場(chǎng)求解

3.1 控制方程的離散

對(duì)于驅(qū)動(dòng)流問(wèn)題，目前最常用的解法是交錯(cuò)網(wǎng)格法。所謂交錯(cuò)網(wǎng)格就是把速度U、V及壓力p(包括其他所有標(biāo)量場(chǎng)及物性參數(shù))分別存儲(chǔ)于3套不同網(wǎng)格上的網(wǎng)格系統(tǒng)中。其中速度U存在于壓力控制容積的東、西界面上，速度V存在于壓力控制容積的南、北界面上，U與V各自的控制容積是以速度所在位置為中心，求解過(guò)程中所建立的交錯(cuò)網(wǎng)格如圖3所示。偏微分控制方程組采用有限差分進(jìn)行離散，對(duì)速度項(xiàng)采用顯式格式，對(duì)壓力梯度項(xiàng)采用隱式格式，空間所有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均采用中心差分格式，時(shí)間步長(zhǎng)為Δt，空間步長(zhǎng)為ΔX與ΔY。

圖3 交錯(cuò)網(wǎng)格示意圖 Fig.3 Schematic diagram of staggered grid

將離散后的動(dòng)量方程代入離散后的連續(xù)性方程中得：

(18)

3.2 求解流程

1)定義變量，賦初始值、邊界值與參數(shù)值，如Re；

2)確定網(wǎng)格信息，如空間步長(zhǎng)、時(shí)間步長(zhǎng)：ΔX，ΔY，Δτ；

4)將離散動(dòng)量方程代入離散連續(xù)方程構(gòu)造統(tǒng)一的壓力方程；

5)以中間速度為源項(xiàng)求解壓力方程，采用迭代法直至收斂；

7)令t=t+Δt，返回步驟3)，以最新值進(jìn)行下一步推進(jìn)，直至推進(jìn)到穩(wěn)態(tài)為止；

8)有且需求穩(wěn)態(tài)值時(shí)一直推進(jìn)到穩(wěn)態(tài)為止，無(wú)或不求穩(wěn)態(tài)值時(shí)推進(jìn)到一定時(shí)刻終止。

4 實(shí)例應(yīng)用

4.1 實(shí)例計(jì)算

基于上述建立的理論模型和求解方法，運(yùn)用VB6.0程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言開(kāi)發(fā)了弧形凹面井眼流動(dòng)計(jì)算分析軟件，可計(jì)算弧形凹面井眼段的流體流動(dòng)壓降變化規(guī)律，并分析井徑擴(kuò)大率和流體排量對(duì)流動(dòng)壓降的影響規(guī)律。

南海某井固井前實(shí)測(cè)井徑曲線如圖4所示，合理簡(jiǎn)化設(shè)置模型總長(zhǎng)1m，弧形凹面井眼段長(zhǎng)0.5m，上下兩端的規(guī)則井眼段各長(zhǎng)0.25m，鉆頭直徑444.5mm，套管外徑339.7mm；弧形凹面井眼剖面線為正弦曲線，流經(jīng)弧形凹面井眼段的固井流體密度為1.8g/cm3，流性指數(shù)n為0.82，稠度系數(shù)k為0.53Pa·sn，黏度為40mPa·s。為了對(duì)比分析不同井徑擴(kuò)大率和不同排量條件下的流動(dòng)壓降，井徑擴(kuò)大率依次為0、20%、30%、40%、50%、60%，流體排量依次取30、40、50L/s，計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

圖4 南海某井固井前實(shí)測(cè)井徑曲線 圖5 不同流體排量下的流動(dòng)壓降計(jì)算結(jié)果 Fig.4 Measured diameter curve of a well in the South Fig.5 Calculation results of flow pressure drop at China Sea before cementing different fluid displacements

4.2 數(shù)值模擬

采用Fluent軟件進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證。由于井下弧形凹面井眼段的入口壓力及出口壓力未知，故在進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)采取入口流量條件，出口壓力條件(壓力為0)。其網(wǎng)格劃分情況(以井徑擴(kuò)大率50%為例)如圖6所示，排量分別為30L/s與50L/s時(shí)模擬結(jié)果如圖7所示。

圖6 弧形凹面井眼段流動(dòng)數(shù)值模擬網(wǎng)格劃分圖Fig.6 Numerical simulation results of flow pressure drop under different fluid displacements

圖7 弧形凹面井眼段壓力場(chǎng)圖Fig.7 Pressure field diagram of the borehole with curved concave surface

圖8 不同流體排量下的流動(dòng)壓降數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果 Fig.8 Numerical simulation results of flow pressure drop under different fluid displacements

依據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果，繪制弧形凹面井眼流動(dòng)壓降隨井徑擴(kuò)大率變化數(shù)值模擬曲線，如圖8所示。

從圖5和圖8可以看出，在同等井徑擴(kuò)大率條件下，排量越大流動(dòng)壓降越大；在同等排量條件下，隨著井徑擴(kuò)大率的增大，流動(dòng)壓降呈先減小后增大的趨勢(shì)；在常見(jiàn)的井眼擴(kuò)徑范圍內(nèi)，弧形凹面井眼的流動(dòng)壓降小于正常井眼的流動(dòng)壓降。對(duì)比圖5和圖8，軟件計(jì)算和數(shù)值模擬分析結(jié)果大體一致，且趨勢(shì)相同，數(shù)據(jù)偏差分析如表1所示。

從表1可以看出，軟件計(jì)算結(jié)果和數(shù)值模擬分析結(jié)果偏差均在15%以?xún)?nèi)。由于環(huán)空壓降在井筒壓力中所占的比重較小，因此該數(shù)據(jù)偏差在工程計(jì)算允許的誤差范圍內(nèi)，由此可認(rèn)為筆者所建立的模型能夠描述弧形凹面區(qū)域的流動(dòng)問(wèn)題，對(duì)于固井環(huán)空壓力的精細(xì)計(jì)算具有一定的參考價(jià)值和指導(dǎo)意義。

表1 軟件計(jì)算結(jié)果與數(shù)據(jù)模擬計(jì)算結(jié)果偏差分析

5 結(jié)論

1)通過(guò)建立弧形凹面井眼條件下的流動(dòng)壓降方程,分析了壓降的構(gòu)成，建立了環(huán)空流體控制方程，研究確定了求解方法與流程，并開(kāi)發(fā)軟件進(jìn)行了計(jì)算分析，運(yùn)用Fluent數(shù)值模擬軟件進(jìn)行了驗(yàn)證，軟件計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果偏差在工程允許的誤差范圍內(nèi)，為固井環(huán)空壓力的準(zhǔn)確計(jì)算與控制提供了參考。

2)軟件計(jì)算與數(shù)值模擬結(jié)果表明在同等井徑擴(kuò)大率條件下，流動(dòng)排量越大，弧形凹面井眼段的流動(dòng)壓降越大；在常見(jiàn)的井眼擴(kuò)徑范圍內(nèi)，弧形凹面井眼的流動(dòng)壓降小于正常井眼的流動(dòng)壓降。