周宇翔，周 華

（1.南京信息工程大學(xué) 長望學(xué)院，江蘇 南京 210044；2.南京信息工程大學(xué) 通信工程系，江蘇 南京 210044）

0 引 言

信源向信宿發(fā)送數(shù)據(jù)主要受信道帶寬等因素約束，在有限的帶寬中通常用吞吐量、誤碼率（Symbol Error Rate，SER）和信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）等數(shù)值衡量各類信道編碼的性能。在信道編碼中引入冗余位往往可以降低誤碼率。在分組碼中，信息被分成大小恒定的碼塊在信道中傳輸，這些在無記憶信道中被發(fā)送到接受節(jié)點(diǎn)的碼塊將一定程度上降低誤碼率。奇偶校驗(yàn)矩陣的意義在于獲取高質(zhì)量的碼塊，從而提高信道的傳輸質(zhì)量[1]。分組碼有線性、循環(huán)、BCH等形式。卷積碼是一種性能更好的碼字，通常應(yīng)用于數(shù)字無記憶信道傳輸。在這種碼字中，數(shù)據(jù)串行傳輸，而冗余的碼字被用于卷積編碼[2]。

當(dāng)信道帶寬受限時(shí)，網(wǎng)格編碼調(diào)制（Trellis Coded Modulation，TCM）方案就發(fā)揮了相應(yīng)作用。該方案采用移相鍵控（Phase Shift Keying，PSK）和幅度調(diào)制，使得在有限的帶寬內(nèi)編碼調(diào)制的誤碼率得到有效改善[3]。低密度奇偶校驗(yàn)碼（Low Density Parity Check Code，LDPC）使用奇偶校驗(yàn)矩陣降低誤碼率，包括結(jié)構(gòu)化LDPC碼和隨機(jī)LDPC碼兩種類型[4]。為了實(shí)現(xiàn)快速編譯碼操作，引入了噴泉碼，其中的LT碼和Raptor碼被驗(yàn)證了具有較為優(yōu)異的性能[5-7]。

1 線性分組碼

在線性分組碼中，信息以比特流的形式傳遞，這些比特流按某種規(guī)律分組后作為信道的輸入。在該編碼過程中，存在冗余項(xiàng)作為糾錯(cuò)碼被一起發(fā)送至接收端，用于糾正實(shí)際傳輸信息的碼字中的錯(cuò)誤。在接收端，這些碼字再次被轉(zhuǎn)化為比特流，從中檢索出原有的信息。碼字傳輸原理如圖1所示。

圖1 碼字傳輸原理

在分組碼中，信息序列被劃分成固定長度的消息分組，每一個(gè)消息分組含有k個(gè)信息比特，一共有2k個(gè)不同的消息。在(n,k)分組碼中，這k個(gè)消息比特按照一定的編碼規(guī)則被編碼成長為n（n＞k）的二進(jìn)制序列c=(c1,c1,…,cn-1)，由編碼器產(chǎn)生的n-k個(gè)添加到每個(gè)輸入消息中的比特稱為冗余比特。在接收節(jié)點(diǎn)處對碼字進(jìn)行譯碼后，接收端得到原始信息。

常用的線性分組碼有漢明碼、循環(huán)碼、二進(jìn)制BCH碼以及RS碼。令v和w是GF(2)上的兩個(gè)n維向量，v和w之間的漢明距離記為d(v,w)，即v和w相應(yīng)位置元素不相同的元素個(gè)數(shù)。對于線性碼，dH((v,w)=d(0,w-(v)=d(0,c)=w(c)。其中w(c)為c的漢明重量，表示c中非零元素的個(gè)數(shù)[8]。

在漢明碼中，兩個(gè)碼字之間的距離小于或等于漢明距離，其糾錯(cuò)上限為：

式中，Dm表示該分(n,k)組碼中兩個(gè)不同碼字之間的最小漢明距離。

循環(huán)碼任一碼字的循環(huán)移位（左移或右移）構(gòu)成該碼的另一個(gè)碼字，其編碼電路和伴隨式運(yùn)算電路可以用簡單的反饋移位寄存器來實(shí)現(xiàn)。因?yàn)榫€性循環(huán)碼具有相當(dāng)多固有的代數(shù)結(jié)構(gòu)，可以找到各種簡單有效的譯碼方法，所以得到了廣泛應(yīng)用[9]。

BCH碼和RS碼是兩類能夠先確定糾錯(cuò)能力或最小碼距，然后設(shè)計(jì)碼長和生成多項(xiàng)式的循環(huán)碼。BCH碼在二元域中尋找最小多項(xiàng)式，而RS碼是BCH碼的一個(gè)子類，其碼字向量的每一個(gè)分量稱為一個(gè)符號(hào)，并且每個(gè)符號(hào)均可表示為m比特。一個(gè)可以糾正任意小于等于t個(gè)符號(hào)差錯(cuò)的RS碼的基本參數(shù)為：

式中，n為碼長；r為校驗(yàn)位長。多項(xiàng)式誤差定位器找到發(fā)生差錯(cuò)的位置并計(jì)算差錯(cuò)的大小，然后從傳輸?shù)拇a字中糾正該誤差，恢復(fù)得到原有的信息。

2 卷積碼

卷積碼的編碼器是有記憶的，在一定的時(shí)間內(nèi)編碼器的輸出不僅取決于該時(shí)刻的輸入，也與一定數(shù)量以前的輸入相關(guān)。以碼率為R=k/n的卷積編碼器為例，信息序列u被劃分為長度為k的數(shù)據(jù)幀，在任意時(shí)刻一個(gè)k比特長的數(shù)據(jù)幀被作為信息序列送入卷積編碼器，相應(yīng)的輸出是n比特的編碼序列。每n比特的編碼輸出塊不僅依賴于當(dāng)前時(shí)刻的k比特輸入序列，也依賴于m個(gè)以前輸入的k比特序列。

圖2給出了一個(gè)存儲(chǔ)級(jí)數(shù)m=2、碼率R=1/2的卷積碼編碼器，該編碼器有1路輸入、兩路輸出。其中，刪余卷積碼定期刪除編碼位，使得碼率提高，性能也更加優(yōu)異。

圖2 卷積碼編碼器

3 Turbo碼

Turbo碼又稱為并行級(jí)聯(lián)卷積碼（Parallel Concatenated Convohtional Code，PCCC），它巧妙地將卷積碼和隨機(jī)交織器結(jié)合在一起，實(shí)現(xiàn)了Shannon隨機(jī)編碼的思想，同時(shí)采用軟輸出迭代譯碼來逼近最大似然譯碼。Turbo碼的一個(gè)重要特點(diǎn)在于它的分量碼采用遞歸系統(tǒng)卷積碼（Recursive Systematic Convolutional，RSC）。不同于一般的卷積碼器，Turbo碼編碼器中不僅有前向結(jié)構(gòu)，而且還有后向反饋結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 Turbo碼編碼器

RSC編碼器一般有2～5級(jí)移位寄存器，用生成多項(xiàng)式表示為：

式中，1表示系統(tǒng)比特；g1和g2分別表示編碼器的前饋多項(xiàng)式和反饋多項(xiàng)式。

4 LDPC碼

LDPC碼是一類具有逼近信道容量限性能的(n,k)線性分組碼，其校驗(yàn)矩陣H=[hij]是m×n的稀疏矩陣，包含有更多的零元素和較少的非零元素。根據(jù)H矩陣中非零元素的分布情況，該碼可以分為規(guī)則LDPC碼和不規(guī)則LDPC碼。若矩陣H具有恒定的列重和行重（即每行或每列上的非零元素個(gè)數(shù)相同），則稱為規(guī)則LDPC碼。矩陣H可以用Tanner圖表示，其中一個(gè)頂點(diǎn)集合表示符號(hào)變量，稱為變量節(jié)點(diǎn)；另一個(gè)頂點(diǎn)集合表示局部約束，稱為約束節(jié)點(diǎn)或校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)[10]。H矩陣的列數(shù)等于Tanner圖中的變量節(jié)點(diǎn)數(shù)，行數(shù)等于校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)數(shù)。(10,5)線性分組碼的Tanner圖如圖4所示。

圖4 (10,5)線性分組碼的Tanner圖

圖4中共有5個(gè)校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)和10個(gè)變量節(jié)點(diǎn)，這意味著它對應(yīng)的H矩陣是5行、10列。兩種節(jié)點(diǎn)間的連線表示行與列之間的連接，對應(yīng)于H矩陣?yán)锏姆橇阍?，代表變量?jié)點(diǎn)將信息發(fā)送到了相應(yīng)的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)。圖4對應(yīng)的矩陣為：

圖4中變量節(jié)點(diǎn)c1分別連接著校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)s1、s2、s4，對應(yīng)式（4）中矩陣H第1列的非零元素位于第1、2、4行。同理，變量節(jié)點(diǎn)c10分別連接著校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)s3、s4，對應(yīng)式（4）中矩陣H第10列的非零元素位于第3、4行。

圖4 上電時(shí)序

5 編碼方式

一個(gè)二元(n,k)線性分組碼C是GF(2)上所有n維向量組成的向量空間的一個(gè)k維子空間，C中存在k個(gè)線性獨(dú)立的碼字g0,g1,…,gk-1，C中每個(gè)碼字ci是這k個(gè)線性獨(dú)立碼字的線性組合，即：

將這k個(gè)線性獨(dú)立的碼字寫作矩陣的形式：

令待編碼的消息u=(u0,u1,…,uk-1)，則該消息對應(yīng)的碼字可表示為：

6 譯碼方式

基于接受序列、編碼規(guī)則以及信道的噪聲特征，接收機(jī)判斷哪一個(gè)消息是實(shí)際發(fā)送的，這個(gè)判決操作稱為譯碼。LDPC碼中常用的譯碼方法有兩種，即二進(jìn)制擦除譯碼和位翻轉(zhuǎn)譯碼[11]。二進(jìn)制擦除譯碼通過在變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)之間多次傳遞消息來完成校驗(yàn)，直到恢復(fù)出正確的信息，這種校驗(yàn)方法又被稱為迭代。位翻轉(zhuǎn)譯碼也是一個(gè)迭代的過程，每迭代一次后便計(jì)算信道輸出中“1”的個(gè)數(shù)，若不滿足原有的奇偶性則翻轉(zhuǎn)消息中的比特，直到獲取正確的碼字[12]。

7 結(jié) 論

隨著通信技術(shù)的不斷發(fā)展，與有線通信相比，無線通信具有便捷、限制小等優(yōu)點(diǎn)。但與此同時(shí)，無線通信也面臨著穩(wěn)定性差、易受干擾等問題。信道編碼技術(shù)有效解決了傳輸信道的相關(guān)問題，對傳輸過程中的誤差進(jìn)行了一定程度的控制，值得推廣應(yīng)用。