馬秀榮， 司雨鑫， 孔 玲

(1. 天津理工大學(xué) a. 電氣電子工程學(xué)院， b. 光電器件與通信技術(shù)教育部工程研究中心， 天津 300384； 2. 93303部隊(duì) 綜合技術(shù)通信站， 沈陽 110069)

近年來，由于非二元低密度奇偶校驗(yàn)(NB-LDPC)碼具有出色的糾錯(cuò)性能，更適用于高階調(diào)制系統(tǒng)[1-4]等優(yōu)點(diǎn)，而受到廣泛關(guān)注.然而，NB-LDPC碼的基礎(chǔ)譯碼算法(如對(duì)數(shù)置信度傳播(LBP)譯碼算法)[5]譯碼復(fù)雜度極高，限制了其在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用.

隨著二元LDPC碼在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用逐漸成熟，非二元LDPC碼也逐漸受到人們重視，相應(yīng)發(fā)展出了一些更加高效的譯碼算法，這些譯碼算法主要分為兩類，一類是基于文獻(xiàn)[5]的對(duì)數(shù)置信度傳播譯碼算法發(fā)展而來的譯碼算法，如基于網(wǎng)格的高效最小和譯碼算法[6]、基于額外列網(wǎng)格的最小最大譯碼算法[7]、基于網(wǎng)格的基本集合最小最大譯碼算法[8]、基于網(wǎng)格的最小集合最小最大譯碼算法[9]及基于網(wǎng)格優(yōu)化的最小最大譯碼算法[10]等.這些譯碼算法通過對(duì)基礎(chǔ)算法中的某些計(jì)算步驟進(jìn)行近似，以犧牲小部分比特誤碼率為代價(jià)，一定程度上降低了譯碼復(fù)雜度.

非二元LDPC碼的第二類譯碼算法則是根據(jù)軟/硬可靠度信息進(jìn)行譯碼，這類譯碼算法的復(fù)雜度要遠(yuǎn)低于第一類譯碼算法，但相應(yīng)作為降低計(jì)算復(fù)雜度的代價(jià)，比特誤碼率性能也相對(duì)落后于第一類譯碼算法.其中利用軟信息進(jìn)行譯碼的算法包括冗余比特輔助的迭代軟可靠度譯碼算法[11]、剪裁調(diào)整的迭代軟可靠度譯碼算法[12]等，利用硬信息進(jìn)行譯碼的算法包括迭代硬可靠度(IHRB)譯碼算法[13]、改進(jìn)的迭代硬可靠度(IIHRB)譯碼算法[14]、加權(quán)迭代硬可靠度(WIHRB)譯碼算法[15]等.在這些譯碼算法中，WIHRB譯碼算法的復(fù)雜度適中，同時(shí)比特誤碼率性能較好，是一種比較有前景的譯碼算法.

對(duì)WIHRB譯碼算法進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，該算法的可靠度更新過程會(huì)忽略一部分正確碼元，導(dǎo)致譯碼結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤，造成比特誤碼率性能下降.為解決該問題，通過對(duì)可靠度更新過程進(jìn)行擴(kuò)展，本文設(shè)計(jì)了一種基于擴(kuò)大候選碼元范圍的加權(quán)迭代硬可靠度(IWIHRB)譯碼算法.仿真結(jié)果顯示，在由64個(gè)元素及256個(gè)元素構(gòu)成的伽羅華域中，IWIHRB譯碼算法的比特誤碼率性能增益分別可達(dá)到0.1 dB與0.2 dB，計(jì)算復(fù)雜度增加不超過2%.

1 WIHRB譯碼算法

WIHRB譯碼算法的步驟如下：

1) 初始化.參數(shù)的初始化表達(dá)式為

(1)

2) 設(shè)置最大迭代次數(shù)，開始迭代譯碼.將譯碼算法的最大迭代次數(shù)設(shè)為Imax=15.當(dāng)前迭代次數(shù)用k表示，迭代譯碼開始時(shí)，令k=1.

3) 計(jì)算校驗(yàn)和，并檢查是否存在錯(cuò)誤碼字.校驗(yàn)和s(k)的計(jì)算表達(dá)式為

s(k)=Z(k-1)HT

(2)

在第k次迭代過程中，若s(k)=0，則表示第k-1次迭代譯出的碼字序列Z(k-1)沒有錯(cuò)誤碼元，譯碼過程終止，并輸出Z(k-1)作為譯碼結(jié)果；若s(k)≠0，則表示碼字序列Z(k-1)中存在錯(cuò)誤，譯碼過程繼續(xù)執(zhí)行.

4) 計(jì)算外部校驗(yàn)和.外部校驗(yàn)和計(jì)算表達(dá)式為

(3)

5) 更新可靠度信息.可靠度信息更新公式為

(4)

6) 判決碼字.判決碼字的表達(dá)式為

(5)

2 IWIHRB譯碼算法

2.1 算法可靠度更新過程存在的問題

在WIHRB譯碼算法可靠度更新過程中，初始化元素與外部校驗(yàn)和之間的漢明距分布如圖1所示.

圖1 不同信噪比下初始化元素與之間的漢明距分布

圖2 不同信噪比下正確碼元與之間的漢明距分布

2.2 擴(kuò)大候選碼元范圍的可靠度更新方法

(6)

式中，η為可靠度更新幅度，為固定值，在后續(xù)仿真中取η=0.3.

綜上所述，改進(jìn)后的可靠度更新過程表達(dá)式為

(7)

2.3 EWIHRB譯碼算法的復(fù)雜度分析

由于擴(kuò)大范圍加權(quán)迭代硬可靠度(EWIHRB)譯碼算法可靠度更新的步驟與WIHRB譯碼算法有所區(qū)別，因此只需對(duì)比該步驟計(jì)算復(fù)雜度的變化，便可知EWIHRB譯碼算法的復(fù)雜度變化情況.表1列出了WIHRB譯碼算法和EWIHRB譯碼算法單次迭代所需的計(jì)算復(fù)雜度，表中W表示校驗(yàn)矩陣H中非0元素的個(gè)數(shù).

表1 兩種譯碼算法每次迭代所需的計(jì)算復(fù)雜度Tab.1 Computation complexities required by two decoding algorithms for each iteration

根據(jù)上述分析可知，在單次迭代中，EWIHRB譯碼算法僅在整數(shù)加法上所需的運(yùn)算次數(shù)有所增加，其他運(yùn)算的次數(shù)與WIHRB譯碼算法一致.整體上看，EWIHRB譯碼算法的復(fù)雜度比WIHRB算法略有增加.

3 仿真測(cè)試

為測(cè)試EWIHRB譯碼算法的性能，利用MATLAB仿真平臺(tái)(版本2018b)分別對(duì)基于伽羅華域GF(26)的(315，265)碼與基于伽羅華域GF(28)的(1 275，1 025)碼進(jìn)行測(cè)試.以上兩種碼的碼率分別為0.841 2與0.803 9，構(gòu)建校驗(yàn)矩陣時(shí)采用文獻(xiàn)[16]的方法.傳輸時(shí)，使用BPSK調(diào)制并通過加性高斯白噪聲信道(AWGN)進(jìn)行傳輸.仿真過程中，除使用WIHRB譯碼算法和EWIHRB譯碼算法外，還增加了IHRB譯碼算法以及IIHRB譯碼算法用于對(duì)比.通常來說，對(duì)于迭代譯碼算法，迭代次數(shù)越多，譯碼性能越好，但相應(yīng)的譯碼時(shí)間也會(huì)極大增加.為降低仿真時(shí)間，將4種譯碼算法的最大迭代次數(shù)設(shè)置為15次.仿真過程中的其他主要參數(shù)設(shè)置如表2所示.

表2 仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters

3.1 誤碼率性能對(duì)比

本節(jié)對(duì)上述4種譯碼算法的誤碼率性能進(jìn)行對(duì)比分析.圖3為使用伽羅華域GF(26)中的(315，265)NB-LDPC碼時(shí)4種譯碼算法的比特誤碼率性能對(duì)比圖；圖4為使用伽羅華域GF(28)中的(1 275，1 025)NB-LDPC碼時(shí)4種譯碼算法的比特誤碼率仿真圖.

圖3 使用GF(26)中的(315，265)NB-LDPC碼時(shí)4種算法的比特誤碼率性能對(duì)比

圖4 使用GF(28)中的(1 275，1 025)NB-LDPC碼時(shí)4種算法的比特誤碼率性能對(duì)比

從圖3中可以看出，在同一信噪比下，EWIHRB譯碼算法的比特誤碼率最低.與WIHRB譯碼算法相比，大約有0.1 dB的性能增益.且隨著信噪比的增加，EWIHRB譯碼算法的比特誤碼率性能與其他3種算法間的差距逐漸增大.當(dāng)信噪比為5.4 dB時(shí)，EWIHRB譯碼算法的比特誤碼率達(dá)到0.001；而其他3種算法在信噪比為5.6 dB時(shí)，誤碼率仍未達(dá)到0.001.圖4所示結(jié)果與圖3類似，區(qū)別在于圖4中EWIHRB譯碼算法的誤碼率性能與其他3種算法之間的差距更加明顯.與WIHRB譯碼算法相比，大約有0.2 dB的性能增益.

根據(jù)上述仿真結(jié)果可知，與WIHRB譯碼算法相比，對(duì)GF(26)中的(315，265)NB-LDPC碼進(jìn)行譯碼時(shí)，EWIHRB譯碼算法的性能增益約為0.1 dB；而對(duì)GF(28)中的(1 275，1 025)碼進(jìn)行譯碼時(shí)，EWIHRB譯碼算法的性能增益約為0.2 dB.

3.2 計(jì)算復(fù)雜度對(duì)比

3.2.1 平均迭代次數(shù)對(duì)比

下面對(duì)4種譯碼算法的平均譯碼迭代次數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析.圖5、6分別為使用伽羅華域GF(26)中的(315，265)NB-LDPC碼和使用伽羅華域GF(28)中的(1 275，1 025)NB-LDPC碼時(shí)，4種譯碼算法的平均迭代次數(shù)對(duì)比圖.

圖5 使用GF(26)中的(315，265)NB-LDPC碼時(shí)4種譯碼算法的平均迭代次數(shù)對(duì)比

圖6 使用GF(28)中的(1 275，1 025)NB-LDPC碼時(shí)4種譯碼算法的平均迭代次數(shù)對(duì)比

從圖5中可以看出，當(dāng)信噪比小于4.5 dB時(shí)，4種譯碼算法的平均迭代次數(shù)基本相同.當(dāng)信噪比超過4.5 dB后，WIHRB譯碼算法與EWIHRB譯碼算法所需的平均迭代次數(shù)較為接近，但略高于IHRB和IIHRB譯碼算法.從圖6中可以看出，當(dāng)信噪比小于4.5 dB時(shí)，4種譯碼算法的平均迭代次數(shù)基本相同.當(dāng)信噪比超過4.5 dB后，IWIHRB譯碼算法與WIHRB譯碼算法所需的平均迭代次數(shù)相近，但高于IHRB和IIHRB譯碼算法.

根據(jù)圖5、6的仿真結(jié)果可知，EWIHRB與WIHRB譯碼算法的平均迭代次數(shù)基本相同，但略高于IHRB和IIHRB譯碼算法.

3.2.2 單次迭代的復(fù)雜度對(duì)比

根據(jù)文獻(xiàn)[13]與表1可知，在單次迭代中，除整數(shù)比較與整數(shù)加法運(yùn)算外，4種譯碼算法所需的其他運(yùn)算類型與次數(shù)完全相同.因此在對(duì)比4種算法的復(fù)雜度時(shí)，只需比較這兩種運(yùn)算的計(jì)算次數(shù).圖7、8分別為不同的伽羅華域維度下，4種譯碼算法的整數(shù)加法與整數(shù)比較的運(yùn)算次數(shù)對(duì)比圖.

圖7 整數(shù)加法運(yùn)算次數(shù)對(duì)比Fig.7 Comparison of integer additive operation number

圖8 整數(shù)比較運(yùn)算次數(shù)對(duì)比Fig.8 Comparison of integer comparative operation number

從圖7中的曲線可以看出，當(dāng)伽羅華域維度3≤r≤7時(shí)，EWIHRB譯碼算法所需的整數(shù)加法運(yùn)算次數(shù)是4種算法中最多的.但與其他3種譯碼算法相比，增加的幅度較小.當(dāng)伽羅華域維度r>7時(shí)，EWIHRB譯碼算法所需的整數(shù)加法運(yùn)算次數(shù)遠(yuǎn)小于IHRB和IIHRB譯碼算法，但仍大于WIHRB譯碼算法.從圖8中的曲線可以看出，EWIHRB與WIHRB譯碼算法所需的整數(shù)比較運(yùn)算次數(shù)相同.當(dāng)伽羅華域維度r>3后，EWIHRB與WIHRB譯碼算法所需的整數(shù)比較運(yùn)算次數(shù)遠(yuǎn)少于IHRB與IIHRB譯碼算法.

根據(jù)圖7、8的仿真結(jié)果可知，當(dāng)伽羅華域維度r≥3時(shí)，與WIHRB譯碼算法相比，EWIHRB譯碼算法的復(fù)雜度更高；而與IHRB和IIHRB譯碼算法相比，當(dāng)3≤r≤7時(shí)，雖然EWIHRB譯碼算法所需的整數(shù)加法運(yùn)算次數(shù)略多，但由于所需的整數(shù)比較運(yùn)算次數(shù)減少的幅度大于整數(shù)加法運(yùn)算增加的幅度，所以EWIHRB的復(fù)雜度略低；當(dāng)r>7時(shí)，由于EWIHRB譯碼算法所需的整數(shù)加法與整數(shù)比較運(yùn)算次數(shù)均比較低，因此EWIHRB譯碼算法的復(fù)雜度也會(huì)更低一些.4種譯碼算法單次迭代的復(fù)雜度排序?yàn)椋篧IHRB

3.2.3 平均譯碼時(shí)間對(duì)比

由于4種譯碼算法在譯碼過程中所需的運(yùn)算類型完全一致，因此可通過譯碼時(shí)間直觀地反映出4種譯碼算法的整體復(fù)雜度.當(dāng)信噪比分別為3.5 dB和5 dB時(shí)，分別對(duì)幀數(shù)為200幀(315，265)及20幀的(1 275，1 025)碼進(jìn)行譯碼，4種譯碼算法每次譯碼所需的平均時(shí)間如表3所示.

表3 平均譯碼時(shí)間Tab.3 Average decoding time s

根據(jù)表3可知，在當(dāng)前仿真條件下，WIHRB與EWIHRB譯碼算法每次譯碼所需的平均時(shí)間皆遠(yuǎn)小于IHRB與IIHRB譯碼算法.而與WIHRB譯碼算法相比，在對(duì)基于GF(26)的(315，265)碼進(jìn)行譯碼時(shí)，EWIHRB單次譯碼所需的平均時(shí)間僅比WIHRB譯碼算法增加了1.7%；而在對(duì)基于GF(28)的(1 275，1 025)碼進(jìn)行譯碼時(shí)，單次譯碼所需的平均時(shí)間僅增加了約1.1%.

綜合上述仿真結(jié)果可以看出，與WIHRB譯碼算法相比，IWIHRB譯碼算法可在伽羅華域GF(26)與GF(28)中分別取得約為0.1 dB和0.2 dB的性能增益，而整體復(fù)雜度增加不超過2%.

4 結(jié) 論

為了進(jìn)一步提高非二元LDPC碼加權(quán)迭代硬可靠度譯碼算法的比特誤碼率性能，通過對(duì)可靠度更新計(jì)算方法進(jìn)行改進(jìn)，本文設(shè)計(jì)了一種基于擴(kuò)大候選碼元范圍的加權(quán)迭代硬可靠度譯碼算法.該算法通過擴(kuò)大可靠度更新時(shí)覆蓋的元素范圍，有效降低了譯碼結(jié)果中出現(xiàn)錯(cuò)誤碼元的概率，提高了算法的誤碼率性能.通過使用基于不同伽羅華域構(gòu)建的兩種非二元LDPC碼進(jìn)行仿真對(duì)比，結(jié)果顯示，改進(jìn)后的譯碼算法可以明顯提升比特誤碼率性能，與此同時(shí)，譯碼復(fù)雜度增加較少，仍維持在相對(duì)較低的水平，在復(fù)雜度容限較低的通信系統(tǒng)中，使用改進(jìn)后的算法可以有效提高通信質(zhì)量.