劉曉彤

在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，北京版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊第十單元中《方陣問題》一課是體現(xiàn)模型思想的典型課例，它以實際生活中的“方陣”為研究對象，是對“植樹問題”變式的再研究和靈活運用。學(xué)生通過核心活動，自主研究方陣中“每邊數(shù)量”“邊數(shù)”“頂點數(shù)”與“最外層總數(shù)”的關(guān)系，不斷探索此類問題所蘊含的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律，充分體驗?zāi)Ｐ徒⒌囊话氵^程，感受數(shù)學(xué)模型的實際應(yīng)用與其獨特的魅力。下面就以《方陣問題》一課為例，淺談教師如何通過設(shè)計核心活動，引領(lǐng)學(xué)生感悟模型思想，經(jīng)歷模型建立的過程。

借助問題，自主探究，初探模型

發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點，在小學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)具有鮮明的階段性、初始性特征，因此要從學(xué)生的生活和已有經(jīng)驗出發(fā)，引導(dǎo)他們經(jīng)歷將實際問題初步抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運用的過程。

因此，本節(jié)課伊始，我首先讓學(xué)生觀察體育節(jié)學(xué)生表演隊形圖片，理解方陣的含義，然后給出數(shù)學(xué)信息：最外層同學(xué)每人拿一束花，中間同學(xué)每人拿一個足球。隨后提出一個開放性問題：想一想，在準(zhǔn)備的過程中，他們會遇到哪些數(shù)學(xué)問題？學(xué)生根據(jù)所給信息，自然提出“最外層有多少個同學(xué)？”的問題，為后續(xù)構(gòu)建模型賦予了現(xiàn)實意義。然后我根據(jù)學(xué)生所提問題，引導(dǎo)學(xué)生將最外層每個同學(xué)抽象成一個“小圓點”，形成一個空心方陣，然后再次明確“最外層有多少個同學(xué)”是求哪里的數(shù)量，這個環(huán)節(jié)是在幫助學(xué)生對信息進(jìn)行再加工，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力及模型思想。

在明確問題后，出示第一個核心活動：

一是圈一圈，畫一畫，讓別人一眼就能看出你的想法，然后再列式解答。

二是解答完可以用數(shù)一數(shù)的方法驗證結(jié)果對不對。

三是想想還有沒有別的方法，然后小組交流。

該環(huán)節(jié)讓學(xué)生自主獨立探究解決方法，再交流互動，展示各種算式并讓學(xué)生圖式結(jié)合來解釋算理。學(xué)生們的探究結(jié)果體現(xiàn)了解題策略的多樣性，分別有：①6×4-4；②（6-1）×4；③（6-2）×4+4；④6×2+（6-2）×2；⑤6×6-4×4共5種解題方法。

在學(xué)生圖式結(jié)合把每種算法解釋清楚后，我選取學(xué)生更好理解、更便捷、使用的更多的方法：6×4-4，進(jìn)行第一次變式：如果每邊的數(shù)量變成8個，10個……不斷增加，那么最外層的總數(shù)怎樣計算呢？學(xué)生通過第一次活動的探究，顯然有了一定的經(jīng)驗，很快就得出了結(jié)論：原來每條邊的數(shù)量發(fā)生了變化，但是4條邊和重復(fù)的4個頂點永遠(yuǎn)不變，因此概括出通法：最外層總數(shù)=每邊個數(shù)×4-4。至此，學(xué)生通過第一個核心活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、歸納通法，找到最外層總數(shù)與每邊數(shù)量、邊數(shù)、頂點數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，經(jīng)歷了初步建模的過程。

深挖本質(zhì)，多元變式，優(yōu)化模型

如果本課都是在“每邊上的數(shù)量”這個單一的維度上進(jìn)行變式，歸納出“最外層總數(shù)=每邊個數(shù)×4-4”這個具有特殊性的模型，那么能讓學(xué)生深入感知事物之間的聯(lián)系、規(guī)律和歸納總結(jié)的素材不夠多元、不夠廣泛，不能說明一類事物的一般性，學(xué)生對于建模過程的體驗自然也就不夠豐富，這樣就會導(dǎo)致學(xué)生不能更好地根據(jù)現(xiàn)實問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。于是我在活動一的基礎(chǔ)上，設(shè)計第二個核心活動，即通過每邊個數(shù)、邊數(shù)的多元變式，逐步引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律，歸納出具有概括性的一般模型，提升學(xué)生的推理、概括能力，感悟用模型來刻畫現(xiàn)實世界的聯(lián)系。

在第二個核心活動中，我設(shè)計將四邊形的形狀進(jìn)行改變，變成三角形、五邊形、六邊形等多邊形，每邊的數(shù)量也進(jìn)行相應(yīng)改變，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中蘊含的通法。學(xué)生通過觀察、思考、歸納后，恍然大悟，原來雖然每邊個數(shù)和邊數(shù)都在不斷改變，但是背后不變的都是用“每邊個數(shù)×邊數(shù)-頂點數(shù)=最外層總數(shù)”。這個新的模型是在原模型基礎(chǔ)上的優(yōu)化，且更準(zhǔn)確、更具有描述“方陣問題”的一般性。

用模型講述現(xiàn)實世界的故事

學(xué)生構(gòu)建模型的最終目的是能用模型溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，解決現(xiàn)實問題，因此應(yīng)讓學(xué)生通過聯(lián)系生活實際，將模型一般化，體會數(shù)學(xué)模型的價值。

在學(xué)生經(jīng)歷了兩次活動，歸納總結(jié)出一般模型后，我出示第三個活動：一是這些“小圓點”還能代表什么？二是如果最外層共有32枚棋子，那么一共有多少枚棋子？第一個問題的目的在于幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)剛才所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型不僅適用于隊列方陣，同時也適用于生活中的很多不同的方面，從而感受數(shù)學(xué)模型的一般性與應(yīng)用的廣泛性。第二個練習(xí)的目的在于讓學(xué)生通過逆向思考的題目，嘗試用自己親自建立的數(shù)學(xué)模型來解決問題，不僅將知識進(jìn)一步內(nèi)化，而且還能充分體會到數(shù)學(xué)模型的實際應(yīng)用價值，體驗到數(shù)學(xué)模型的便利性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生借助數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生探索模型的過程是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的有效方法，教師應(yīng)利用合適的生活素材，設(shè)計充分的核心活動，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的過程，逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生學(xué)會用發(fā)展、聯(lián)系的眼光看待世界，擁有自主、合作、探究、創(chuàng)新的精神，為提升學(xué)生的核心素養(yǎng)奠定堅實的基礎(chǔ)。

（作者單位：北京市房山區(qū)長陽鎮(zhèn)長陽中心小學(xué)）