張飛正，張 亙，邱海艦

（中國電子科技集團公司第三十研究所，四川 成都 610041）

0 引言

隨著信號處理技術(shù)的發(fā)展，信號處理正在由模擬領(lǐng)域向數(shù)字領(lǐng)域轉(zhuǎn)變?，F(xiàn)代雷達、通信等信號處理系統(tǒng)通常要求先對天線接收到的信號進行數(shù)字化處理，根據(jù)傳統(tǒng)的采樣理論，對這些信號進行無失真恢復所需要的奈奎斯特采樣率可能會超過目前商用模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換器（Analog-to-Digital Converter，ADC）好幾個數(shù)量級，給硬件設(shè)計帶來了極大困難。因此必須通過進一步研究信號的結(jié)構(gòu)，以求獲得更多的信息，實現(xiàn)信號的恢復。而實際應(yīng)用中的無線電信號在傳輸過程中，都會被調(diào)制到很高的載頻上，也就是說相對于整個頻譜，它只包含了很少的窄帶信號，這種信號稱為稀疏多頻帶信號。

當信號載頻已知時，Landau 和Lin 分別用不同的方式提出所需要的最小采樣率為各頻帶帶寬之和[1]，當信號載頻未知時，一個挑戰(zhàn)性的任務(wù)是如何以遠低于奈奎斯特采樣率實現(xiàn)信號的盲恢復。多陪集采樣理論體系提出了全盲信號恢復系統(tǒng)[2]，但由于對時延的準確度要求很高，實際中難以實現(xiàn)?；趬嚎s感知理論提出的隨機調(diào)制器可以恢復出多頻信號[3]，但由于模擬信號需要大量的諧波才能近似逼近，而如此多的諧波極大地增加了重構(gòu)的復雜度。而基于Xampling 信號恢復算法利用調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換（Modulated Wideband Converter，MWC）系統(tǒng)，既能對稀疏多頻帶模擬信號以遠低于奈奎斯特采樣率進行采樣，又為硬件提供了易實現(xiàn)可能。本文正是基于Xampling 信號恢復算法理論，對信號進行降采樣恢復而設(shè)計的一套低速率采樣盲恢復硬件MWC 系統(tǒng)。

1 MWC 系統(tǒng)原理

1.1 稀疏多頻帶信號模型

在通信領(lǐng)域，現(xiàn)在的通信信號一般是由幾個具有一定帶寬的信號組成，分布在很寬的頻帶范圍之內(nèi)。且相對于奈奎斯特采樣率fNYQ，帶寬一般都很窄。其頻譜示意圖如圖1 所示：

圖1 典型通信信號頻譜

針對具有這種特征的稀疏多頻帶模擬信號，可采用MWC 模型來降低信號的采樣頻率。本文針對具有6 個子帶的稀疏多頻帶模擬信號作為信號模型來分析。

1.2 MWC 系統(tǒng)簡介及Xampling 原理

假設(shè)一個連續(xù)時間實信號x(t)，它的頻譜位于[-1/2T,1/2T]之間，其中1/T=fNYQ，fNYQ為奈奎斯特采樣率。一般情況下，信號x(t)在頻域上是分段連續(xù)的。在圖1 所示的信號模型中，信號在頻譜中只有6 段頻譜，定義參數(shù)N=6。

MWC 系統(tǒng)框圖如圖2 所示，包括乘法器、低通濾波和采樣3 個過程。

圖2 MWC 系統(tǒng)

從圖2 中可以看出，模擬信號x(t)同時進入m個信道。在每個信道中，信號x(t)首先與隨機序列pi(t)相乘。在理論上，pi(t)只需要是一個周期信號即可，即：

信號x(t)與pi(t)相乘之后，經(jīng)過一個截止頻率為1/2Ts的低通濾波器，然后被采樣率為1/Ts的ADC 采樣。

接下來分析MWC 采樣系統(tǒng)的原理，任意取一個信道i進行分析，因為信號pi(t)是周期函數(shù)，所以有：

式中，有：

信號x(t)與pi(t)相乘之后，定義：

式中，X(f)為原始信號x(t)的頻譜，為信號的頻譜。

從上述分析可以看出，信號x(t)與pi(t)相乘之后，即是對x(t)頻譜的搬移。所以，濾波器的輸入是原始信號頻譜X(f)經(jīng)過lfp搬移之后的線性組合。假設(shè)原始信號x(t)頻譜中每一段頻譜寬度均不超過B，即B為每一段頻譜的最大帶寬。因信號的頻譜分布位于[-fNYQ/2,fNYQ/2]范圍之內(nèi)，所以任意一路信號頻域最多有|fNYQ/B|個非零部分。信號經(jīng)過低通濾波器之后，只有位于[-fs/2,fs/2]之間的頻譜被保留了下來。因此，經(jīng)采樣后，信號yi[n]的離散傅里葉變換為：

式（6）建立了采樣之后的信號yi[n]的頻譜與未知原始信號x(t)的頻譜之間的關(guān)聯(lián)，是后面的恢復算法的關(guān)鍵。為了方便后面的分析，將式（6）寫成矩陣的形式，如下：

式中：

在矩陣A中，有：

定義：

計算可得：

同時，還定義θ=e-j2π/M，所以化簡可得：

定義：

令S為m×M的符號矩陣，即Si,k=αi,k，D=diag(dL0,…,d-L0)，其中dl由式（11）得到，于是有：

至此，MWC 模型的基本過程已經(jīng)分析完畢。從中可以看出，原始信號經(jīng)過與偽隨機序列相乘，低通濾波，采樣之后，原始信息的頻域與采樣之后的信號頻譜之間建立了關(guān)聯(lián)，這也是Xampling 恢復算法的理論基礎(chǔ)和依據(jù)。而恢復算法的本質(zhì)就是去求解這樣一個未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)的矩陣的方程。

1.3 Xampling 恢復算法

以上講述了MWC 模型中的采樣部分，下面開始介紹如何從采樣得到的信息中恢復出原始信號?；謴驮紨?shù)據(jù)Z的本質(zhì)是求解未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)的方程。然而，因為未知數(shù)中大多數(shù)是0，所以只要找到待求解的矩陣中哪些位置數(shù)據(jù)為0，哪些不為0，這個方程便可以求解[4]。

首先定義，若一個向量u中只有K個非零元素，或者只有K個較大的元素，那么向量u被稱為K稀疏向量。定義s=suup(u)記錄的是非零元素或者較大元素在向量u中的位置。針對式（15），s中保存的是矩陣Z中非零行的位置信息。求解向量s的過程如圖3 所示。

圖3 s 求解

在圖3 中，矩陣Y為采樣得到的數(shù)據(jù)矩陣，利用公式Q=∑y[n]yT，則有：

在得知矩陣Q之后，需要構(gòu)造任意一個滿足Q=VVH的矩陣V。此處，可以選取矩陣Q的特征向量組成的矩陣和對應(yīng)特征根的算術(shù)平方根所組成的對角矩陣的乘積作為矩陣V。

在確定了矩陣V之后，便可以利用正交匹配追蹤算法[5-6]來求解方程V=Cu。這樣，向量s便可以確定，從而確定矩陣Z中非零元素所在的行。

定義CS為在s索引下由矩陣C中的列向量組成的矩陣。同時，定義：

這樣，便可以用公式：

去恢復信號。需要注意的是，此時，z[n]的采樣率是fs。因此，還需要對此信號進行內(nèi)插。內(nèi)插過程用如下公式表示：

經(jīng)過內(nèi)插之后，信號被恢復到奈奎斯特速率。因位于不同頻帶的信號在采樣前均被搬移到了基帶，所以最后還應(yīng)該把他們搬移到原來的位置。各信號經(jīng)過搬移并相加之后，原始的信息便恢復了出來。

2 硬件設(shè)計部分

MWC 系統(tǒng)的硬件設(shè)計主要包括3 部分：現(xiàn)場可編程邏輯門陣列（Field Programmable Gate Array，F(xiàn)PGA）隨機序列產(chǎn)生部分、混頻濾波部分、數(shù)據(jù)采集傳輸部分。模擬部分包括功分器、乘法器、濾波器。模數(shù)轉(zhuǎn)換部分主要有AD 采樣，RAM 存儲和采樣數(shù)據(jù)串行傳輸。

硬件設(shè)計整體系統(tǒng)框圖，如圖4 所示。

圖4 MWC 系統(tǒng)硬件設(shè)計結(jié)構(gòu)

2.1 FPGA 偽隨機序列的產(chǎn)生

MWC系統(tǒng)中的隨機序列必須滿足一定的條件。在實際實現(xiàn)中，根據(jù)奈奎斯特采樣率和ADC 采樣率的要求，本文設(shè)計的m序列碼長為403。m序列的本原多項式F(x)為F(x)=1+x4+x9。因為當n=9 時，生成的隨機序列碼長為m=29-1=511，大于所需要的碼長403，故需要從511 個碼元中從起跳狀態(tài)開始跳過108 個，而且又要符合移位寄存器的輸出方式。由于本原多項式為F(x)=1+x4+x9，可以推得反饋系數(shù)C0=1、C4=1、C9=1，其余反饋系數(shù)為零。故反饋函數(shù)為：圖5 為m序列碼長為511 時發(fā)生器邏輯圖。

圖5 m 序列發(fā)生器

在時鐘CP 的驅(qū)動下，當寄存器的初始狀態(tài)Q8……Q0=111111111 時，根據(jù)式，可得到m序列的輸出如序列Ⅰ。為了找到起跳狀態(tài)，首先將Q8的輸出作為序列Ⅰ：

1 1 1 1 1 1 1 … 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 … 1 0 0 0 0 0

再將序列Ⅰ向左移108 個碼元，得到序列Ⅱ：

1 0 0 1 1 1 1 … 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 … 1 0 1 1 1 0

然后將序列Ⅰ和序列Ⅱ的對應(yīng)位進行模2 加運算得到序列Ⅲ：

0 1 1 0 0 0 0 … 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 … 0 0 1 1 1 0

最后，在序列Ⅲ中找到100000000，其所在的位置相對應(yīng)的序列Ⅰ的碼元111011001 就是要找的起跳狀態(tài)。

在長度為511 的序列Ⅰ中，從起跳狀態(tài)開始，消去108 個碼元，剩下的碼元即組成長度為403 的序列：

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 …… 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1

所以，m=403 的序列信號發(fā)生器的反饋函數(shù)f′為：

但是在最長線性序列信號發(fā)生器中，全0 狀態(tài)是最長線性序列狀態(tài)轉(zhuǎn)移中的偏離狀態(tài)。當各級觸發(fā)器狀態(tài)全為零時，由于反饋網(wǎng)絡(luò)是異或網(wǎng)絡(luò)，導致寄存器的輸出一直為0，即最長線性序列信號發(fā)生器在全0 狀態(tài)不具有自啟動特性。為了避免寄存器狀態(tài)一直為零，使其具有自啟動特性，必須對反饋函數(shù)f′進行修改。修改后的激勵方程為：

化簡可得：

根據(jù)以上表達式，編寫FPGA 代碼。在QuartusII開發(fā)環(huán)境中，進行時鐘分頻設(shè)計和邏輯時序代碼的編寫，可以得到如圖6 所示的隨機序列。

為了準確的分析隨機序列的頻譜特性，將FPGA產(chǎn)生的m序列，導入到MATLAB 進行FFT 分析得到如圖7 所示的隨機序列頻譜。可以明顯看出，隨機序列的頻譜間隔是固定，由此也驗證了所產(chǎn)生的m序列的正確性。

圖6 隨機序列時域波形

圖7 隨機序列頻譜

2.2 功分器設(shè)計

功分器的作用主要是為了解決直接將型號分為4 路造成的阻抗不連續(xù)，從而帶來的信號發(fā)射。為了有效地改善增益平坦度，在功分器和乘法器之間加入了寬帶無源幅度均衡器。功分器全稱是功率分配器，可以將一路輸入信號的能量平均分配到多路輸出信號中。功分器主要從頻率范圍、隔離度、插入損耗、相位平衡性、幅度平衡性等幾個參數(shù)去分析。綜合各種參數(shù)分析，功分器選用Mini-Circuits公司的AD4PS-1+。AD4PS-1+為工作頻率范圍在1～500 MHz，輸入阻抗為50 Ω 的無源貼片器件。信號最大輸入功率為0.5 W，理論上四路輸出之間相位差可為0°，典型隔離度值為30 dB，輸入端電壓駐波比為1.12，輸出端電壓駐波比為1.10。

2.3 混頻器的設(shè)計

一路信號分為四路之后，每一路首先要經(jīng)過一個乘法器，該乘法器的作為MWC 系統(tǒng)的混頻器使用。信號與隨機序列相乘，完成的功能是信號頻譜的搬移。乘法器選用亞德諾半導體（Analog Devices Inc.）公司的AD835。

AD835 是一個四象限，電壓輸出模擬乘法器。它的-3 dB帶寬為250 MHz。乘法器結(jié)構(gòu)如圖8所示。

它的轉(zhuǎn)移函數(shù)為：

AD835 為高輸入阻抗器件，所以在考慮功分器與乘法器相連時，可以把乘法器輸入端看作開路。AD4PS-1 輸出端接一個到地的50 Ω 電阻，然后與乘法器相連即可。AD835 輸入端電壓范圍為-1～1 V。因前面功分器為1/4 功率分配，所以功分器端差分電壓范圍為-2～2 V。

圖8 乘法器結(jié)構(gòu)

另外，AD835 的輸出阻抗比較低，帶負載能力較強，且輸出電壓擺幅在-2.5～2.5 V。乘法器是一個非線性器件，會帶來一定的諧波失真。當U=1、Z=0 時，有：

混頻電路的設(shè)計如圖9 所示。

圖9 混頻器電路設(shè)計

2.4 低通濾波器的設(shè)計

在MWC 系統(tǒng)中，隨機序列和信號混頻之后包含具有一定能量的很多高次諧波。在整個的頻譜范圍，有相當一部分高次諧波是超過所設(shè)定的采樣率fs的，而且具有不可忽略的能量。故需要設(shè)計一個過渡帶窄，阻帶外衰減能力強的高性能低通濾波器。這也是MWC 系統(tǒng)實現(xiàn)過程中的一個難點和重點。

常用的模擬低通濾波器有巴特沃斯和切比雪夫及橢圓型濾波器，前兩種低通濾波器的傳輸函數(shù)都是一個常數(shù)除以一個多項式，為全極點網(wǎng)絡(luò)，僅在無限大處阻帶衰減為接近零。橢圓函數(shù)濾波器在有限頻率上因為既有零點又有極點，零、極點在通帶和阻帶產(chǎn)生等紋波，阻帶內(nèi)的有限傳輸零點減小了過渡帶，可獲得極為陡峭的衰減曲線。也就是說對于給定的階數(shù)和紋波要求，橢圓濾波器能獲得較其他濾波器更窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器的矩形系數(shù)是最優(yōu)的。橢圓濾波器，在通帶和阻帶是等紋波的一種濾波器。相比切比雪夫濾波器，它是同時用通帶和阻帶的紋波起伏為代價來換取更為陡峭的過渡帶。橢圓濾波器相比其他類型的濾波器，在階數(shù)相同的條件下，有著最小的通帶和阻帶波動。它在通帶和阻帶的波動相同，這一點區(qū)別于在通帶和阻帶都平坦的巴特沃斯濾波器，以及通帶平坦、阻帶等波紋或是阻帶平坦、通帶等波紋的切比雪夫濾波器。

本系統(tǒng)以音頻作為測試信號，故設(shè)計低通濾波器截止頻率為50 kHz，輸入阻抗100 Ω，輸出阻抗1 kΩ。為了更好地抑制高頻噪聲，采用兩級七階低通橢圓濾波器級聯(lián)，并在無源低通濾波器后增加阻抗隔離電路，以增強濾波器電路的可靠性。橢圓濾波器電路設(shè)計如圖10 所示。

圖10 7 階無源橢圓濾波器

本設(shè)計的軟件部分和硬件部分均采用模塊化設(shè)計，大大減少了硬件資源的利用。除了必需的數(shù)據(jù)采集口和數(shù)據(jù)輸出外，AD 同RAM 和RAM 同UART 之間的接口，都在程序內(nèi)部做了處理，不占用實際IO 資源。MWC 系統(tǒng)硬件電路如圖11 所示，隨機序列輸出也是通過此部分完成的。

圖11 MWC 系統(tǒng)硬件電路

2.5 實驗結(jié)果驗證

為了驗證對信號的恢復效果，設(shè)定輸入信號為單一頻率20 kHz 的接近音頻范圍內(nèi)的模擬信號。該信號由信號發(fā)生器產(chǎn)生，奈奎斯特采樣率為8 MHz，采樣通道數(shù)量為4 路同步采樣，采樣率fs=fp=40 kHZ。為了方便數(shù)據(jù)的處理和傳輸，首先將AD 轉(zhuǎn)換后得到的數(shù)字序列存儲到由M4K 塊配置的單口RAM，然后利用MATLAB 讀取串口的采樣數(shù)據(jù)，并根據(jù)正交匹配追蹤OMP算法對信號進行恢復?；謴偷慕Y(jié)果如圖12 所示。其中圖12（a）是原始信號，為了方便與恢復后的信號對比，直接利用MATLAB產(chǎn)生。從圖12 可以看出，重構(gòu)的信號在時域比較接近原始信號，從而驗證了MWC 采樣系統(tǒng)的信號恢復性能。

圖12 重構(gòu)信號

3 結(jié)語

傳統(tǒng)的模擬解調(diào)無法對多頻帶寬帶信號進行有效地處理，時間交叉式采樣和周期非均勻采樣受限于AD 器件本身的跟蹤保持電路，必須保持較高的奈奎斯特頻率。本文利用具有嚴格時序特性的FPGA 產(chǎn)生偽隨機序列，完成對多頻帶信號頻譜搬移，結(jié)合MWC 系統(tǒng)和Xampling 算法，真正實現(xiàn)了利用低速AD 對寬帶多頻帶信號的降采樣，完成了一套對稀疏多頻帶信號利用遠低于奈奎斯特采樣率進行采樣和信號盲恢復系統(tǒng)地設(shè)計。為解決目前商用AD 難以滿足現(xiàn)代通信模數(shù)轉(zhuǎn)換需要高采樣率，提供了一套行之有效的解決方案。