鄒 斌 吳廣國

(1. 中央民族大學(xué)理學(xué)院,北京 100081; 2. 北京景山學(xué)校,北京 100006)

科學(xué)思維是物理學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分．[1]如何通過物理理想模型的建構(gòu),如何科學(xué)合理的分析推理,怎樣基于前人已有研究成果開展符合學(xué)術(shù)規(guī)范的論證研討,并對不同觀點(diǎn)與結(jié)論進(jìn)行科學(xué)檢驗(yàn)和修正,是需要物理教師在教學(xué)過程中深入思考和躬身實(shí)踐的重要內(nèi)容．共線三球體是三體問題中較為簡單的理想模型,本文擬通過對該問題的分析求解,幫助學(xué)生正確理解經(jīng)典物理學(xué)中彈性碰撞內(nèi)容,并結(jié)合分析過程,淺談如何對學(xué)生進(jìn)行科學(xué)思維方法的訓(xùn)練．

以2020年北京高考物理試卷第13題(共線三球體問題,或稱為三球牛頓擺問題)為例進(jìn)行分析．已知編號分別為1號、2號和3號的三個(gè)完全相同的小鋼球懸掛在同一豎直空間平面的同一高度處,初始時(shí)刻三只小球恰好能接觸并且保持懸線平行,如圖1所示．并且該體系中各懸線始終處于繃緊狀態(tài),各球之間都是對心正碰．

圖1 共線三球體示意圖

當(dāng)1號球移到高度h后從靜止?fàn)顟B(tài)釋放,經(jīng)過一系列碰撞后,可以觀測到2號球靜止,而3號球可以達(dá)到與1號球初始時(shí)相同的高度h．該題A選項(xiàng)創(chuàng)新性地提出,如果將中間的2號球換成質(zhì)量不同的小鋼球,并再次重復(fù)該碰撞實(shí)驗(yàn),問考生3號球是否還能擺至高度h．

從該題所給條件可以判斷出,三個(gè)完全相同的小鋼球在最低點(diǎn)碰撞過程需要滿足機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒(即碰撞過程為彈性碰撞),否則3號球是不能擺到h高度的．分析該選項(xiàng)通常的思路是,在保證對心正碰的前提下,如果2號球的質(zhì)量發(fā)生了改變,1號球和2號球的碰撞(后文記為“碰撞1”)會導(dǎo)致1號球碰后速度不為零．根據(jù)機(jī)械能守恒,2號球和3號球碰(后文記為“碰撞2”)后,3號球就不能獲得足夠的初動(dòng)能,從而不能擺至高度h．因此似乎可以排除該題的A選項(xiàng)．

問題是,這樣的思路是否可靠?在2號球質(zhì)量改變后,該共線三球體問題是否只進(jìn)行了1和2球之間及2和3球之間的兩次碰撞?3號小鋼球有沒有可能從1號和2號球那里獲得全部的動(dòng)量(機(jī)械能),依然擺到h高度呢?

盡管該問題涉及到三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和相互作用,但是這三個(gè)質(zhì)點(diǎn)在各自最低點(diǎn)是共線的,我們可以反復(fù)利用二體彈性碰撞的思路逐次進(jìn)行求解．需要指出的是,在理論上共線三球體問題中各球的碰撞次序是有爭論的,各球遞次發(fā)生碰撞和同時(shí)發(fā)生碰撞,其理論計(jì)算結(jié)果顯然是不同的．[2]不過,陳小兵等人考慮小鋼球的形變和密度參數(shù),利用彈性體中的縱波關(guān)系給出碰撞作用力的傳播速率為5.04×103m/s．[3]即使在毫秒時(shí)間間隔量級下,該數(shù)值也遠(yuǎn)大于小鋼球的線度,因此實(shí)際發(fā)生的碰撞應(yīng)認(rèn)為是各球依次進(jìn)行了碰撞．本文采用遞次彈性碰撞的假設(shè)進(jìn)行后續(xù)討論．

1號球從高度h處擺至最低點(diǎn)與2號球發(fā)生體系的第一次彈性碰撞(記為“碰撞1”),碰撞前后動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒,有

v1+0=v1(1)+αv2(1)，

(1)

(2)

聯(lián)立(1)式和(2)式得到

(3)

(4)

2號球與1號球碰撞后,與3號球發(fā)生第一次彈性碰撞,這是該體系的第二次碰撞,記為“碰撞2”．2號和3號球碰撞前后動(dòng)量和機(jī)械能守恒,即

αv2(1)+0=αv2(2)+v3(2)，

(5)

(6)

聯(lián)立(5)、(6)兩式,有

(7)

(8)

1 關(guān)于時(shí)間間隔的討論

本文上述理論模型中,各球之間的碰撞為彈性碰撞,時(shí)間間隔極短．問題是從1號球擺到最低點(diǎn)發(fā)生碰撞前開始,到3號球開始以v3(2)速率作圓周運(yùn)動(dòng)為止,經(jīng)歷的時(shí)間間隔具體有多長呢?“時(shí)間間隔極短”的提法有何依據(jù)呢?

由此還可以看出,盡管本文中1號、2號和3號小鋼球有各自的懸線,各小球會繞各自懸點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng),但是時(shí)間間隔極短,在討論問題時(shí)不需要考慮機(jī)械能中動(dòng)能和重力勢能的相互轉(zhuǎn)化．并且上述論證過程也同時(shí)說明,本文所提到的碰撞滿足文獻(xiàn)[7]所要求的彈性碰撞條件．

此外,在這么短時(shí)間內(nèi)的碰撞過程采用動(dòng)量守恒或角動(dòng)量守恒的觀點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算,其結(jié)果是一致的．

2 關(guān)于α取值范圍的3種情形

(1) 當(dāng)α=1時(shí),顯然有v1(1)=v2(2)=0,v3(2)=v1．即經(jīng)過”碰撞1”和“碰撞2”后,1號球和2號球先后靜止,3號球獲得了1號球的全部動(dòng)量．這種情形就是題目中給的已知條件．

(2) 當(dāng)α>1時(shí),考慮到(1+α)2>4α,有v1(1)<0,v1>v3(2)>v2(2)>0．也就是說體系兩次碰撞后,1號球向左運(yùn)動(dòng),2號球和3號球向右運(yùn)動(dòng),并且3號球擺動(dòng)更快．由于3號球的速度小于v1,在“碰撞2”發(fā)生后3號球無法擺到高度h．該情形對應(yīng)前文中提到的通常解決思路．

(3) 當(dāng)0<α<1時(shí),v1(1)>0,v2(2)<0,v3(2)>0,即此時(shí)1號球繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng),而2號球向左,3號球向右．1號球和2號球?qū)l(fā)生第二次碰撞(記為碰撞3)．下面我們主要討論0<α<1的情況．

3 0<α<1情形的深入探討

1號小球和2號小球的“碰撞3”過程依然滿足動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒,寫為

v1(1)+αv2(2)=v1(3)+αv2(3).

(9)

(10)

將(3)式和(7)式代入上述兩式,先消去v1(3),后聯(lián)立(9)和(10)式求得

(11)

(12)

也就是說,在0<α<1情形下,考慮到各次碰撞時(shí)間極短,2號球?qū)⒃俅巫飞?號球,并與之發(fā)生第二次共線彈性碰撞(記為碰撞4)．

2號小球和3號小球的“碰撞4”過程動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可分別表示為

αv2(3)+v3(2)=αv2(4)+v3(4)，

(13)

(14)

需要指出,3號球第二次碰撞前速度大小取的是其第一次碰后速率,這是由于考慮兩次碰撞(碰撞2和碰撞4)之間的時(shí)間間隔極短,3號球可認(rèn)為作勻速直線運(yùn)動(dòng),以下討論思路與此相類似．

將(8)式和(11)式代入并消去v3(4),可以得到

(15)

(16)

由(15)式和(16)式相減,可以得到

2]v1>0.

且有v3(4)>0．因此在“碰撞4”發(fā)生后,3號小球繼續(xù)向右擺動(dòng),并且速率大于2號小球的速率．

如果令v3(4)=v1,則要求-4α(α+3)(α-1)=(1+α)4,經(jīng)整理有

α4+8α3+14α2-8α+1=0.

(α2+4α-1)2=0.

圖2給出了2號球與3號球發(fā)生的前四次彈性碰撞后(也是與1號球發(fā)生了四次碰撞),要使3號球獲得全部動(dòng)量(機(jī)械能),其質(zhì)量比α的取值情況．這里α的數(shù)值分別為1.0000、0.2361、0.1099和0.0642,其解析表達(dá)式見上文．由圖2可以明顯看出來,隨著碰撞次數(shù)的增加,α的取值會衰減．可以預(yù)見,隨著碰撞次數(shù)的增加,滿足條件的α值將會趨近于零．

綜上所述,共線三球體系統(tǒng)(三球牛頓擺系統(tǒng))的2號球質(zhì)量較大時(shí),3號球肯定不能上擺到高度h處．但是,當(dāng)2號鋼球質(zhì)量較小,且滿足特定數(shù)值時(shí)(如圖2所示),位于中間的2號球?qū)⑴c1號球和3號球發(fā)生若干次碰撞．最終通過2號球的能量傳遞,3號鋼球獲得該共線三球體系統(tǒng)的全部動(dòng)量(機(jī)械能),從而有可能擺到高度h處．需要指出的是,只有α值為上述特殊取值,并且碰撞發(fā)生在遞次彈性對心正碰撞體系這一嚴(yán)格限定性條件下,理論上3號球才能上擺到與1號球相同的初始高度．在一般情況下3號球還是無法擺至高度h的,因此題目中的A選項(xiàng)依然是要被排除的．

圖2 不同碰撞次數(shù)情況下3號球能到達(dá)高度h處的α取值

本文對一類特殊的共線三球體系統(tǒng)(兩端球質(zhì)量相同,中間球質(zhì)量有變化)進(jìn)行分析討論,可以很清楚地展示出如何借鑒他人的計(jì)算結(jié)果引入遞次碰撞的假設(shè),如何論證各次碰撞時(shí)間間隔極短,從而建立本文的計(jì)算模型;針對通常的分析思路,本文也給出了如何進(jìn)行普通物理與初等數(shù)學(xué)水平下的理論檢驗(yàn)和數(shù)據(jù)修正;本文還較為詳細(xì)地展示了在彈性碰撞的前提下,通過動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律的反復(fù)使用,如何進(jìn)行推理和論證,從而得到右側(cè)鋼球也有可能達(dá)到相同高度地結(jié)論．此外,在引導(dǎo)學(xué)生一步步思考和論證共線三球體問題過程中,教師需要適當(dāng)引申說明多體碰撞問題是當(dāng)前機(jī)械工程、航空航天等關(guān)鍵領(lǐng)域的重要研究課題,這也是物理課程教學(xué)落實(shí)“立德樹人”根本任務(wù)的重要一環(huán)．