劉 濤， 張奇峰， 張運(yùn)修， 孫英哲， 范云龍

(1.中國科學(xué)院沈陽自動化研究所機(jī)器人學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧沈陽 110016；2.中國科學(xué)院機(jī)器人與智能制造創(chuàng)新研究院，遼寧沈陽 110169；3. 遼寧省水下機(jī)器人重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧沈陽 110169; 4.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

引言

水下機(jī)械手是作業(yè)型水下機(jī)器人的核心工具，其性能決定了水下機(jī)器人的作業(yè)能力，隨著海洋資源的開發(fā)利用及其關(guān)鍵技術(shù)的日趨成熟，水下機(jī)械手得到了越來越廣泛的應(yīng)用。水下機(jī)械手按驅(qū)動方式分為液壓機(jī)械手[1]和電動機(jī)械手[2]。水下液壓機(jī)械手發(fā)展比較成熟，有較強(qiáng)的負(fù)載能力，但需要復(fù)雜的液壓系統(tǒng)支持[3]；水下電動機(jī)械手體積小，重量輕，控制精度較高，可通過關(guān)節(jié)內(nèi)部充油進(jìn)行壓力補(bǔ)償以適應(yīng)深海作業(yè)[4]。當(dāng)前水下機(jī)械手的研究主要集中在0.5～2 m 之間的臂展[5]，搭載在中小型遙控水下機(jī)器人及載人潛水器上，開展深海布放、拾取、采樣及輔助測量等作業(yè)，大范圍的移動依賴機(jī)器人本體的移動。隨著深海作業(yè)愈加復(fù)雜和專業(yè)化，大臂展機(jī)械手在一些作業(yè)領(lǐng)域顯現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢，如深海實(shí)驗(yàn)站等大型裝備的原位作業(yè)，保持實(shí)驗(yàn)站靜止而動作較大臂展的機(jī)械手，可以更好地保持環(huán)境參數(shù)，覆蓋更大作業(yè)范圍及獲得更高的重復(fù)作業(yè)精度；同時，對于水下大型裝備的捕獲，也需要更大臂展及作業(yè)范圍的機(jī)械手。

大臂展機(jī)械手在空間領(lǐng)域發(fā)展較早。加拿大航天局開發(fā)的SSRMS最大臂展約17 m，重達(dá)1.63 t，可進(jìn)行國際空間站硬件的裝配、維修和更換[6]；美國宇航局中性浮力實(shí)驗(yàn)室開發(fā)的Robonaut大臂展機(jī)械手用于配合航天員模擬失重訓(xùn)練，需將最大線速度控制在 0.3～0.6 m/s 之間，以減小水動力影響[7]。當(dāng)前，小臂展的水下機(jī)械手驅(qū)動設(shè)計(jì)較為保守，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩設(shè)計(jì)余量較大；受制于電機(jī)、減速機(jī)及制動器等元器件的約束，水下大臂展機(jī)械手的設(shè)計(jì)需要較為精確地評估關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，因此動力學(xué)建模和關(guān)節(jié)驅(qū)動力的求解是設(shè)計(jì)階段迫切需要解決的問題，也是本研究的重點(diǎn)。

1 運(yùn)動學(xué)分析

6R串聯(lián)型機(jī)械手具有工作空間/占地比大、結(jié)構(gòu)緊湊、靈活度高等優(yōu)點(diǎn)[8]，在許多領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。本研究所述的水下大臂展機(jī)械手采用R1⊥R2∥R3∥R4⊥R5⊥R6構(gòu)型，如圖1所示。相比常規(guī)臂展水下機(jī)械手，大臂展機(jī)械手的第2，3關(guān)節(jié)連桿加長以增大作業(yè)空間，末端連桿不變以兼具靈巧性。由于關(guān)節(jié)2,3連桿較長，前3個關(guān)節(jié)所需驅(qū)動力矩較大，是重點(diǎn)研究對象。

1.1 正運(yùn)動學(xué)分析

機(jī)械手運(yùn)動學(xué)方程，是建立每2個相鄰連桿之間的坐標(biāo)變換關(guān)系，與世界坐標(biāo)系或基坐標(biāo)系聯(lián)系起來，表示末端位置和姿態(tài)的方程。連桿i-1與連桿i之間坐標(biāo)系變換為旋轉(zhuǎn)變換和平移變換的疊加，即[9]：

Rot(xi,αi-1)

(1)

式中，ai-1—— 連桿長度

αi-1—— 連桿扭轉(zhuǎn)角

θi—— 關(guān)節(jié)夾角

di—— 連桿偏距

利用D-H法[10]建立圖1所示構(gòu)型6R水下大臂展機(jī)械手的坐標(biāo)系，連桿示意圖如圖2所示，連桿參數(shù)表如表1所示。

圖1 水下大臂展機(jī)械手構(gòu)型

圖2 水下大臂展機(jī)械手連桿示意圖

表1 水下大臂展機(jī)械手D-H連桿參數(shù)表

(2)

其中，位置矢量P=(pxpypz)T表示末端連桿位置；旋轉(zhuǎn)矩陣R=[noa]代表末端連桿的方位。已知各關(guān)節(jié)角θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6，可以求解得到末端位置和姿態(tài)。

1.2 逆運(yùn)動學(xué)分析

逆運(yùn)動學(xué)是機(jī)械手運(yùn)動控制的基礎(chǔ)，為使機(jī)械手末端到達(dá)目標(biāo)位置和姿態(tài)，必須求得相應(yīng)的各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θi。水下大臂展機(jī)械手的末端3個關(guān)節(jié)軸線相交于一點(diǎn)，所以有封閉解，利用幾何法與歐拉角法求得機(jī)械手的逆解。

利用三角代換：

(3)

逆解出各關(guān)節(jié)角度分別為：

(4)

2 動力學(xué)分析

水下大臂展機(jī)械手機(jī)械結(jié)構(gòu)外形如圖3所示，其中關(guān)節(jié)2，3連桿長度分別為L1，L2。末端的3個連桿相對整機(jī)尺寸較小、質(zhì)量較輕(水下配成中性浮力)，其運(yùn)動對機(jī)械手整機(jī)影響相對較小，故在分析水下大臂展機(jī)械手的動力學(xué)時，為簡化計(jì)算，將末端3個關(guān)節(jié)和負(fù)載視為1個剛體，重點(diǎn)研究前3個關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩。

圖3 水下大臂展機(jī)械手機(jī)械結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

對水下大臂展機(jī)械手進(jìn)行受力分析，可得其動力學(xué)模型的一般表達(dá)式[12]：

(5)

式中，τ—— 關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，τ=[τ1τ2τ3]T

M—— 包括質(zhì)量的慣量矩陣

C—— 離心力系數(shù)和科氏力系數(shù)

H—— 浮力和重力項(xiàng)，為常數(shù)

JT—— 力雅克比矩陣,是速度雅克比矩陣J的轉(zhuǎn)置

FF—— 末端受到的力

DL—— 水動力項(xiàng)

2.1 連桿運(yùn)動的傳遞

為了方便水動力項(xiàng)求解和末端線速度控制，需要求解各關(guān)節(jié)的的角速度、角加速度以及各連桿的線速度、線加速度。

連桿i+1的角速度相對于自身坐標(biāo)系∑i+1的表達(dá)式為[13]：

(6)

坐標(biāo)系∑i+1原點(diǎn)的線速度在坐標(biāo)系∑i+1中的表達(dá)：

(7)

式中，iPi+1為坐標(biāo)系∑i+1在坐標(biāo)系∑i的位置向量。按照圖3所示坐標(biāo)系，可得前3個關(guān)節(jié)的線速度。

(8)

式中,J為速度雅克比矩陣。

對式(6)求導(dǎo)，可得連桿i+1的角加速度相對于坐標(biāo)系∑i+1的表達(dá)式：

(9)

對式(7)求導(dǎo)，并考慮連桿質(zhì)心的位置矢量iPci，可得各連桿質(zhì)心處的線加速度在連桿坐標(biāo)系下的表達(dá)：

2.2 水動力項(xiàng)求解

水下大臂展機(jī)械手所受的水動力主要來自流體環(huán)境影響和關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)。各連桿上不同位置的速度、加速度可由2.1節(jié)求解，本節(jié)將使用莫里森公式和D-H理論求解動力學(xué)模型中的水動力項(xiàng)。

莫里森方程將水流對物體的水動力分為兩部分：一部分為同相對速度的平方以及投影面積成正比的拖曳力項(xiàng)，另一部分為同相對加速度以及單位體積成正比的慣性力項(xiàng)[12]。

物體受到的拖曳力為：

(11)

式中,CD—— 拖曳力系數(shù)，與物體形狀有關(guān)

ρ—— 海水密度

A—— 垂直于速度方向投影面積

μx—— 水平速度，通過μx|μx|決定拖曳力的正負(fù)

物體受到的慣性力為：

(12)

式中,CM—— 慣性力系數(shù)，與物體形狀有關(guān)

V0—— 單位物體排水體積

將由式(11)和式(12)推導(dǎo)水下機(jī)械手的水動力項(xiàng)。連桿受水動力如圖4所示，其中difDK為桿上微元k受到的水動力，dl為微元長度，iνDK為水流與桿的相對速度，iνSDK為水流與桿在垂直與桿方向上的相對速度，PK為微元在桿坐標(biāo)系下的位置向量，jrk為微元k相對于坐標(biāo)系j的位置向量，jri為i坐標(biāo)系相對于j坐標(biāo)系的位置向量，irk為微元k相對于i坐標(biāo)系的位置向量。

圖4 水下機(jī)械手連桿所受的水動力

水流在根關(guān)節(jié)坐標(biāo)系下的速度為：

0νw=[νwxνwyνwz]T

(13)

則其在各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系下的速度為：

(14)

桿上微元k在各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系下的速度為iνki，其在各坐標(biāo)系下的位置向量為Pk=[lk0 0]T，則其在關(guān)節(jié)坐標(biāo)系下的速度用如下公式計(jì)算：

iνk=iνi+ωi×iPk

(15)

則水流與微元的相對速度為：

iνDk=iνw-iνk

(16)

根據(jù)參考文獻(xiàn)[14]，沿桿的切向的水動力很小，故利用垂直于桿方向的速度計(jì)算拖曳力。

iνSDk=SyziνDk

(17)

則圓柱桿微元上的拖曳力為：

(18)

其中“° ”為哈達(dá)瑪積(Hadamard product)，表示矩陣對應(yīng)項(xiàng)相乘。

式中，Ri—— 圓柱桿的半徑，m

2Ridl—— 微元在垂直于桿速度方向的投影面積,m2

則微元上的拖曳力對坐標(biāo)系j的力矩為：

(19)

jrk可由i坐標(biāo)系相對于j坐標(biāo)系的位置向量jri和微元k相對于i坐標(biāo)系的位置向量irk代替，于是上式變成：

(20)

上式為i桿上的微元對坐標(biāo)系j的拖曳力矩，對上式求積分得到i桿受到的拖曳力對坐標(biāo)系j的拖曳力矩：

(21)

對上式求和可得到所有桿上受到的拖曳力對坐標(biāo)系j產(chǎn)生的力矩：

(22)

對上式右乘關(guān)節(jié)z向的方向向量jzj=[0 0 1]T，可得關(guān)節(jié)j上水動力產(chǎn)生的關(guān)節(jié)力矩：

(23)

同理，對式(19)進(jìn)行修改可得圓柱桿微元上的慣性力：

(24)

對上式按照式(19)～式(23)的方法進(jìn)行推導(dǎo)，可得慣性力產(chǎn)生的關(guān)節(jié)力矩計(jì)算公式：

(25)

則關(guān)節(jié)所受水動力矩τd為:

τd=DL=[τd1τd2τd3]T

=[τD1+τA1τD2+τA2τD3+τA3]T

(26)

2.3 其他力項(xiàng)求解

通過拉格朗日公式推導(dǎo)可得出慣性力、離心力、科氏力的合力矩[9]：

(27)

末端3個連桿以及負(fù)載對關(guān)節(jié)產(chǎn)生的力矩為：

τs=JTFF=[τs1τs2τs3]T

(28)

式中，F(xiàn)F=[FxFyFzτxτyτz]T為末端的負(fù)載，JT為力雅克比矩陣,是速度雅克比矩陣J的轉(zhuǎn)置，矩陣J可用式(8)求解。

則動力學(xué)模型表達(dá)式(5)可改寫為：

τ=τk+τs+τd

(29)

3 仿真分析

以上章節(jié)構(gòu)建了水下大臂展機(jī)械手的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)模型，并求解了關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩τ的函數(shù)表達(dá)式。本章將結(jié)合具體運(yùn)動實(shí)例進(jìn)行分析，水下大臂展機(jī)械手機(jī)械結(jié)構(gòu)如圖5所示，相比正常機(jī)械手，其連桿2，3較長、前3個關(guān)節(jié)負(fù)載較大。由于水下大臂展機(jī)械手的重量尺寸大，負(fù)浮力會產(chǎn)生較大靜力矩，故通過使用臂桿配浮力材的方式使其整體在水下呈中性浮力(即H=0)。該手搭載于最高航行速度為2.5 kn的大型載體上，其極限作業(yè)目標(biāo)為：將負(fù)浮力為10 kg的小體積重物放入采樣籃中；輔助長5.02 m，直徑543 mm，質(zhì)量為400 kg的中性浮力的大型自治水下機(jī)器人(AUV)回塢，各連桿詳細(xì)參數(shù)見表2。

圖5 水下大臂展機(jī)械手三維模型

表2 水下大臂展機(jī)械手D-H連桿參數(shù)表

工業(yè)機(jī)器人的動力學(xué)模型已經(jīng)比較成熟，故慣性力、離心力、科氏力項(xiàng)不再重復(fù)驗(yàn)證。將單個臂桿簡化為長3 m、外徑100 mm的圓柱體，使用Computational Fluid Dynamics(計(jì)算流體動力學(xué))軟件進(jìn)行水動力數(shù)值仿真，令臂桿繞其關(guān)節(jié)(垂直于臂桿軸線方向)以角速度ω旋轉(zhuǎn)，仿真得出關(guān)節(jié)所受水動力矩。如圖6所示，對10組不同角速度下的關(guān)節(jié)水動力矩仿真值進(jìn)行二階的最小二乘法擬合，結(jié)合式(21)可解其拖曳力系數(shù)CD值[15]。

圖6 不同角速度下關(guān)節(jié)水動力矩

分別假設(shè)末端空載、夾持重物或AUV以及載體是否移動的場景，分析水下大臂展機(jī)械手末端靠近目標(biāo)點(diǎn)過程中各關(guān)節(jié)所受的各部分力矩。在該過程中，機(jī)械手末端以夾爪朝下的固定姿態(tài)從世界坐標(biāo)系∑0的坐標(biāo)點(diǎn)(807，-4580，667)運(yùn)動至點(diǎn)(-69，-485，1826)。在始末位置之間采用五次多項(xiàng)式插值法進(jìn)行機(jī)械手軌跡規(guī)劃以完成上述動作，該過程中各關(guān)節(jié)角速度ω和角加速度ψ見圖7。

根據(jù)式(26)可求解出該過程中各關(guān)節(jié)所受水動力矩，各關(guān)節(jié)所受水動力矩大小與連桿形狀、迎流面積、排水體積均有關(guān)系。在靜水中末端靠近目標(biāo)點(diǎn)時各關(guān)節(jié)所受水動力矩如圖8a所示，結(jié)合圖7a可知，水動力矩與關(guān)節(jié)角速度平方成正比。當(dāng)載體全速前進(jìn)時，水下大臂展機(jī)械手在0νw=[0 -0.514 0]Tm/s的水流環(huán)境中完成該動作，各關(guān)節(jié)所受水動力矩如圖8b所示。加載沿世界坐標(biāo)系y軸方向的水流前后，關(guān)節(jié)1，2，3所受最大水動力矩分別增加了0，216，120 N·m。通過軌跡規(guī)劃可減小運(yùn)動過程中臂桿的迎流面積，從而減小水流引起的關(guān)節(jié)水動力矩。

圖7 靠近目標(biāo)點(diǎn)過程中各關(guān)節(jié)角度信息

圖8 靠近目標(biāo)點(diǎn)過程中各關(guān)節(jié)所受水動力矩

根據(jù)式(27)可求解出末端靠近目標(biāo)點(diǎn)過程中前三關(guān)節(jié)所受的慣性力、離心力、科氏力的合力矩，該力矩與各連桿質(zhì)量、關(guān)節(jié)角速度及角加速度均有關(guān)?？蛰d狀態(tài)時末端靠近目標(biāo)點(diǎn)的過程中各關(guān)節(jié)力矩如圖9a所示，結(jié)合圖7b可知，該力矩的大小與對應(yīng)關(guān)節(jié)的角加速度成反比，會阻礙關(guān)節(jié)的加速運(yùn)動。當(dāng)該手夾持質(zhì)量為400 kg 的AUV完成相同動作時，由于AUV對慣性張量的影響，各關(guān)節(jié)力矩如圖9b所示，相對圖9a空載狀態(tài)成比例的增大。故在運(yùn)動軌跡規(guī)劃時，需要考慮末端負(fù)載的質(zhì)量，以設(shè)定機(jī)械手各關(guān)節(jié)相應(yīng)的角加速度上限。另外，在滿足剛度條件下，選用輕質(zhì)的復(fù)合材料臂桿替換合金材料臂桿，可大幅度減小運(yùn)動過程中各關(guān)節(jié)所受的合力矩。

圖9 靠近目標(biāo)點(diǎn)過程中慣性力、離心力、科氏力的合力矩

根據(jù)式(28)可求解出靠近目標(biāo)點(diǎn)過程各關(guān)節(jié)所受的末端力矩?？蛰d靠近目標(biāo)點(diǎn)過程中，3個關(guān)節(jié)所受末端作用力矩均為0。當(dāng)該手夾持負(fù)浮力為10 kg的重物以相同動作放回采樣籃中時，末端負(fù)載為FF=[0 0 -100 N 0 0 0]T，該過程各關(guān)節(jié)所受末端作用力矩如圖10a所示。

圖10 靠近目標(biāo)點(diǎn)過程中各關(guān)節(jié)所受末端作用力矩

當(dāng)載體全速前進(jìn)、機(jī)械手夾持大型AUV以相同動作完成回收時，AUV的運(yùn)動可分解為隨載體0.514 m/s前向運(yùn)動和隨機(jī)械手向下的1 m/s的側(cè)向運(yùn)動。將AUV三維模型進(jìn)行簡化，并通過水動力仿真分別求2個方向的水動力，圖11a和圖11b分別為AUV前向和側(cè)向運(yùn)動時所受的壓力云圖，得出末端力為FF=[0 401.5 N 747.1 N 0 0 0]T，該過程各關(guān)節(jié)所受末端作用力矩如圖10b所示。故在運(yùn)動軌跡規(guī)劃時，需要考慮末端負(fù)載的凈浮力和水動力，以設(shè)定機(jī)械手各關(guān)節(jié)相應(yīng)的角速度上限。

圖11 AUV移動過程水動力仿真壓力云圖

根據(jù)式(29)的動力學(xué)模型，可求解出水下大臂展機(jī)械手動作過程中各關(guān)節(jié)所需的驅(qū)動力矩。在設(shè)計(jì)水下大臂展機(jī)械手時，需根據(jù)應(yīng)用需求(包括作業(yè)空間、環(huán)境水流速度、負(fù)載)，并在其所有工作位置和姿態(tài)內(nèi)選取關(guān)節(jié)所受力矩的最大值，作為極端情況設(shè)計(jì)關(guān)節(jié)驅(qū)動模塊、校核臂桿強(qiáng)度。在分析水下大臂展機(jī)械手時，可對負(fù)載能力、響應(yīng)速度進(jìn)行估算。

4 結(jié)論