李月麗，徐銅浩，龔郁峰

(1.中國石化華北油氣分公司，河南 鄭州 450006;2.成都理工大學(xué)，四川 成都 610059)

0 引言

致密油氣藏水力壓裂施工開采過程中，壓裂液通過高壓泵組泵入地層，當(dāng)井底流壓超過巖石破裂壓力后，地層開始出現(xiàn)裂縫，通過加入一定濃度的支撐劑，形成一定長度的高導(dǎo)流裂縫，從而實(shí)現(xiàn)油氣儲層改造，提高單井產(chǎn)能的目的［1－2］，快速準(zhǔn)確開展壓裂后效果評價(jià)是目前的研究熱點(diǎn)。壓裂施工過程中，除支撐人工裂縫外，部分液體通過濾失進(jìn)入地層，該過程與注水井的注入壓降有類似之處，可以通過注入壓降方法分析停泵壓降數(shù)據(jù)，達(dá)到快速分析壓裂施工效果的目的。然而，壓裂停泵過程存在水錘現(xiàn)象，停泵壓力數(shù)據(jù)會出現(xiàn)明顯的低頻振蕩［3］，壓力數(shù)據(jù)噪聲大，對注入壓降評價(jià)有一定的影響，因此，有必要對停泵壓力數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理。停泵壓降數(shù)據(jù)滿足低通濾波信號特點(diǎn)，目前常用的去噪處理方法主要包括基于Savitzky－Golay濾波［4－5］、快速傅立葉變換［6］以及小波變換［7－8］3種。該文運(yùn)用3種壓力去噪處理方法，通過計(jì)算機(jī)程序?qū)ν１盟畵粽袷帀毫?shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理，對比分析不同方法的去噪效果，并將優(yōu)選的方法應(yīng)用于大牛地某井，該井壓裂施工結(jié)束后存在明顯的停泵壓降段，驗(yàn)證降噪處理方法的準(zhǔn)確性。

1 停泵水擊振蕩壓力降噪處理技術(shù)

1.1 基于Savitzky－Golay濾波的壓力去噪處理

平滑濾波是波動壓力分析中常用的預(yù)處理方法之一。Savitzky－Golay算法［9］被廣泛地應(yīng)用于數(shù)據(jù)流平滑除噪，是在時(shí)域范圍內(nèi)基于多項(xiàng)式并利用最小二乘法進(jìn)行最佳擬合的方法。通過該方法可以極大程度保證原始數(shù)據(jù)不失真，方法更加簡單、快捷。

Savitzky－Golay平滑公式為:

每一測量值乘以平滑系數(shù)hi的目的是盡可能減少平滑對有用信息的影響，從而改善平滑去噪算法的劣勢［10］，hi/H可基于最小二乘原理，通過多項(xiàng)式擬合求得［11］。Savitzky－Golay卷積平滑關(guān)鍵在于矩陣算子的求解。設(shè)濾波窗口的寬度為l=2m+1，各測量點(diǎn)為 x=(－m，－m+1，…0，1，…，m－1，m)，其中，m為頻率指數(shù)，采用 k－1次多項(xiàng)式對窗口內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合。

圖1為關(guān)井壓降數(shù)據(jù)Savitzky－Golay濾波處理效果對比。由圖1可知，現(xiàn)場實(shí)測壓力存在較為雜亂的波動，主要是由于停泵之后，井筒內(nèi)產(chǎn)生的水錘效應(yīng)引起的。可以發(fā)現(xiàn)采用Savitzky－Golay濾波能夠?qū)ν１煤笏N效應(yīng)引起的壓力波動進(jìn)行有效的濾波，并達(dá)到工程可接受的效果。但是，盡管采用Savitzky－Golay濾波能夠?qū)ν１煤髩毫η€進(jìn)行有效的平滑處理，但是壓力振蕩段濾波后的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)存在一定的偏離。

圖1 關(guān)井壓降數(shù)據(jù)Savitzky－Golay濾波處理效果對比Fig.1 Comparison of the Savitzky－Golay filtering processing effect of shut－in pressure dropping data

1.2 基于快速傅立葉變換的壓力去噪處理

雖然采用Savitzky－Golay濾波的方式能夠?qū)λN引起的壓力振蕩進(jìn)行有效的降噪處理，但是采用Savitzky－Golay濾波后的壓力數(shù)據(jù)在振動幅度較大的區(qū)域內(nèi)與實(shí)測數(shù)據(jù)存在一定的偏差，為了解決該問題，對停泵后壓力數(shù)據(jù)進(jìn)行了傅立葉變換濾波處理。目前，傅立葉變換是平穩(wěn)層號處理最常用的一種方法［12］，最主要的原因是傅立葉變換的基所用的正弦波eaωt是所有線性時(shí)不變算子的特征向量，因而任何信號都能展開為若干正弦信號的疊加，即傅立葉變換是將信號從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域［13］。在實(shí)際應(yīng)用中，為便于利用計(jì)算機(jī)對信號進(jìn)行分析，采集得到的信號一般都是離散信號。對已知連續(xù)信號x(t)，可以用采樣間隔Δt的有限離散序列xn(nΔt)來表示，其中，n 為變換點(diǎn)數(shù)，n=0，1，2，3，…，N－1，N 表示信號的長度，因此，信號的離散傅立葉變換可以表示為:

式中:xm為信號的離散傅立葉變換;xn為連續(xù)信號的未知量;N為信號的長度;a為復(fù)數(shù)單位;m為頻率指數(shù)，m=0，1，2，3，…，N－1。

直接通過式(2)進(jìn)行傅立葉變換需要計(jì)算的次數(shù)為2N，計(jì)算量很大。Cooley和Tukey提出了快速傅立葉變換(FFT)，使得計(jì)算量大大減少，約為N/2log2N。

圖2為某測井壓降曲線時(shí)間歷程以及通過快速傅立葉變換濾波處理后的數(shù)據(jù)。由圖2可知，采用快速傅立葉變換可以較為準(zhǔn)確地對水錘產(chǎn)生的復(fù)雜壓力波動振蕩進(jìn)行消除，進(jìn)而得到較為平滑的壓降曲線。采用快速傅立葉變換在處理特別復(fù)雜的工況時(shí)，在振蕩劇烈段會得到較為理想的結(jié)果，但同時(shí)也將使平滑段產(chǎn)生虛假振蕩。

圖2 關(guān)井壓降數(shù)據(jù)快速傅立葉變換濾波處理效果對比Fig.2 Comparison of the fast－Fourier－transform filtering processing effect of shut－in pressure dropping data

1.3 基于小波變換的壓力去噪處理

克服上述快速傅立葉變換濾波傳統(tǒng)方法帶來的誤差，提出采用小波變換濾波這一新的降噪處理方法，對井壓降數(shù)據(jù)低頻振蕩信號進(jìn)行濾波處理［14］。小波變換極大地克服了傅立葉和快速傅立葉變換的不足［15］，可以分析時(shí)變信號的局部特征。原則上講，能用傅立葉變換分析的問題，都可以用小波變換來代替。

一個(gè)離散時(shí)間序列xn(t)的連續(xù)小波變換為:

式中:WT(s，t)為小波變換結(jié)果;*為復(fù)共軛;s為分辨尺度，m;t為時(shí)間;n'為時(shí)間平移量;Δt為采樣間隔，s;ψ0為母小波;ψ為母小波ψ0無量綱化的結(jié)果［16］。

無量綱化處理是為了使每個(gè)尺度上的小波函數(shù)均有單位能量，方便小波變換后每個(gè)尺度的結(jié)果之間能夠進(jìn)行對比。

通過式(4)求解小波變換的計(jì)算量較大，根據(jù)卷積理論，可將其轉(zhuǎn)換為計(jì)算xn(t)和ψ*傅立葉變換乘積的逆傅立葉變換:

用式(6)實(shí)現(xiàn)連續(xù)小波變換，必須先選取合適的尺度。對尺度s的選取均采用二進(jìn)制方法，即把尺度設(shè)為2的分?jǐn)?shù)冪形式:

式中:sj是尺度數(shù);j是尺度變量;so為可分辨的最小尺度，m;J為確定的最大尺度，m;δ為閾值。

so需恰當(dāng)選擇以便使相等的傅立葉周期近似于 2Δt，δj決定尺度數(shù)，最大不能超過 0.5，一個(gè)足夠小的δj的選擇依賴于小波方程譜空間的寬度。

連續(xù)小波變換的逆變換為:

式中:Cδ為重構(gòu)系數(shù);Wδ(s)為母小波各個(gè)尺度計(jì)算結(jié)果;Re為復(fù)數(shù)的實(shí)部。

其中，如果采用的母小波為復(fù)數(shù)形式，xnA(t)表示xn(t)解析信號，實(shí)部是xn(t)，虛部與Hilbert變換的結(jié)果一樣。另外如果只對其中部分尺度感興趣，可以只計(jì)算這些尺度上的結(jié)果，這樣也叫做濾波。

圖3為關(guān)井壓降數(shù)據(jù)小波變換濾波處理效果對比。由圖3可知，采用小波變換方法對由停泵產(chǎn)生水錘效應(yīng)而導(dǎo)致的壓力波動進(jìn)行濾波，可以得到令人滿意的結(jié)果。經(jīng)小波變換濾波后的數(shù)據(jù)在波動劇烈段和壓力平穩(wěn)段均為非常平滑的數(shù)據(jù)，表明采用小波變換濾波的方法可以對復(fù)雜的壓力波動現(xiàn)象進(jìn)行濾波，得到理想的壓降曲線［17－24］。

圖3 關(guān)井壓降數(shù)據(jù)小波變換濾波處理效果對比圖Fig.3 Comparison of wavelet－transform filtering processing effect of shut－in pressure dropping data

2 去噪處理方法的優(yōu)選

圖4為3種濾波方法與實(shí)測數(shù)據(jù)的對比。由圖4可知，Savitzky－Golay濾波得到的校正壓力在壓力迅速降低段與實(shí)測壓力存在一定的差距，相對誤差達(dá)到5.3%。快速傅立葉變換得到的校正壓力在壓力平穩(wěn)段存在一定幅度的波動，與實(shí)測壓力數(shù)據(jù)有一定的差距。小波變換得到的校正壓力與實(shí)測壓力總體上吻合非常好，相對誤差只有0.4%，滿足了注入壓降分析精度要求。因此，建議采用小波變換濾波算法進(jìn)行停泵壓降數(shù)據(jù)的預(yù)處理工作。

圖4 3種濾波方法與實(shí)測數(shù)據(jù)對比Fig.4 Comparison of the three filtering methods and the measured data

3 壓力去噪技術(shù)在壓裂效果評估中的應(yīng)用

X1井為鄂爾多斯盆地伊陜斜坡東北部構(gòu)造帶上的一口開發(fā)井，完鉆層位為石炭系太原組，地面海拔為1 304.52 m，完鉆層位為石炭系太原組，完鉆井深為2 925.00 m。圖5為X1井壓裂施工曲線。由圖5可知:施工結(jié)束后存在明顯的停泵壓降段，因此，利用壓裂施工數(shù)據(jù)去噪算法，對停泵數(shù)據(jù)進(jìn)行了去噪處理，并開展了注入壓降評價(jià)。

圖5 X1井壓裂施工曲線Fig.5 Fracturing curve of Well X1

圖6為X1井第9段停泵后壓力變化曲線及采用小波變換濾波后的壓力曲線。由圖6可知:采用小波變換濾波處理后的壓力曲線在停泵前、壓力迅速下降段、壓力波動較大段以及壓力平穩(wěn)段均能夠很好的對實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，小波變換濾波在停泵水擊振蕩壓力降噪中具有良好的效果。

圖6 X1井壓降數(shù)據(jù)小波變換濾波處理效果對比Fig.6 Comparison of the wavelet－transform filtering processing effect of pressure dropping data from well X1

通過注入壓降分析，獲得停泵壓裂雙對數(shù)曲線(圖7)，該曲線壓力導(dǎo)數(shù)曲線上翹，呈現(xiàn)斜率為0.25的有限裂縫導(dǎo)流滲流模式，解釋表皮系數(shù)為0.385，滲透率為1.56 mD，解釋縫長為29.4 m，壓裂后試氣無阻流量為23.6×104m3，表明該井水力壓裂施工較為成功，與分析結(jié)果較為吻合。

圖7 X1井壓裂停泵后雙對數(shù)曲線Fig.7 Double logarithmic curve of well X1 after stopping pump during fracturing

4 結(jié)論

(1)Savitzky－Golay濾波得到的校正壓力在壓力迅速降低段與實(shí)測壓力有一定的差距，相對誤差達(dá)到5.3%;快速傅立葉變換得到的校正壓力在壓力平穩(wěn)段存在一定幅度的波動，與實(shí)測壓力數(shù)據(jù)有一定差距;而小波變換得到的校正壓力與實(shí)測壓力總體上吻合非常好，相對誤差只有0.4%，滿足注入壓降分析精度要求。

(2)停泵壓裂雙對數(shù)曲線為有限裂縫導(dǎo)流滲流模式，斜率為0.25，解釋表皮系數(shù)為0.385，滲透率為1.56 mD，解釋縫長為29.4 m，壓裂后試氣無阻流量為23.6×104m3，與分析結(jié)果較為吻合，表明該井水力壓裂施工較為成功。