陳德錦，嚴(yán) 謹(jǐn)，羅楊陽(yáng)，鄒律龍

(廣東海洋大學(xué)，廣東湛江524088)

0 引 言

輸流管道作為傳遞動(dòng)量流和能量流的主要工具，被廣泛應(yīng)用于機(jī)械、船舶、工業(yè)等領(lǐng)域。由內(nèi)外鋼管與中間層填充輕質(zhì)材料組成的夾層管道由于自身減振降噪隔熱保溫等優(yōu)良性能，常被用作輸流管道。目前對(duì)夾層輸流管道的研究主要集中在熱學(xué)性能與強(qiáng)度的研究，對(duì)夾層輸流管道聲模態(tài)的研究較少。聲學(xué)性能分析是管道故障聲檢測(cè)的核心技術(shù)，所以研究夾層管道振動(dòng)及內(nèi)部聲波導(dǎo)模式是非常必要的。

目前基于聲固耦合理論研究管道響應(yīng)的主要方法包括：解析法、實(shí)驗(yàn)法和數(shù)值分析法[1]，其中采用數(shù)值分析法的研究居多。解析法一般把輸流管道簡(jiǎn)化為梁模型或圓柱殼模型。此方法物理意義清晰、明確，便于揭示本質(zhì)。郭文杰等[2]利用半解析法對(duì)部分浸沒圓柱殼結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了聲固耦合系統(tǒng)的建模與求解，并討論了部分浸沒圓柱殼體的前四階耦合周向波型，但是，此方法使用條件苛刻，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，解析法的求解十分困難。Maze等[3]通過(guò)實(shí)驗(yàn)法得出了薄壁殼聲模態(tài)模型單邊受載和不受載時(shí)管壁彈性波的頻散曲線存在“排斥現(xiàn)象”。聲學(xué)實(shí)驗(yàn)易受外界環(huán)境的影響，測(cè)試結(jié)果容易出現(xiàn)誤差?；诼暪恬詈系墓艿澜Y(jié)構(gòu)與聲模態(tài)數(shù)值研究，蔣謇等[4]通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到了孔隙介質(zhì)包裹充液管道的縱向?qū)Рl散曲線，分析了孔隙介質(zhì)參數(shù)和壁厚對(duì)頻散曲線的影響。張術(shù)臣等[5]通過(guò)數(shù)值分析法計(jì)算了圓管的縱向?qū)Рê椭芟?Lamb波的頻散曲線，得出了這兩種模態(tài)的波動(dòng)特性。劉澤等[6]通過(guò)數(shù)值分析軟件求出了黏彈性管道縱向?qū)Рl散線和衰減曲線，得出了波在黏彈性管中的傳播特性。數(shù)值分析便于物理模型的構(gòu)建及邊界條件的假設(shè)。以上對(duì)于管道模態(tài)的研究主要采用材料屬性單一的管道，涉及夾層材料管道的聲模態(tài)研究較少。

本文運(yùn)用聲固耦合理論，對(duì)無(wú)限長(zhǎng)夾層輸流管道進(jìn)行數(shù)值模擬并且構(gòu)建彈性管壁與流體中彈性波的波數(shù)解析式。比較夾層管道內(nèi)部為空氣和水兩種流體情況下的頻散曲線，計(jì)算結(jié)果給出了無(wú)限長(zhǎng)夾層管道波數(shù)與頻率之間的關(guān)系以及管壁的變形情況，描述了波導(dǎo)的動(dòng)態(tài)特性以及特征模態(tài)。在輸流管道中，波不僅能在流體域中傳播，也能在管壁中傳播，頻散曲線顯示了各種波的特定傳播性質(zhì)。

1 管道彈性波理論

1.1 管中導(dǎo)波模態(tài)

管道中導(dǎo)波具有頻散與多模態(tài)特征[7]，輸流管道模型一般情況下被構(gòu)建為梁模型或殼模型。其中梁模型分為歐拉伯努利梁和鐵木辛柯梁，歐拉梁模型忽略管道剪切效應(yīng)，對(duì)于管壁較厚的復(fù)合材料的管道，忽略剪切變形是不妥的，鐵木辛柯梁模型更加適合對(duì)夾層管道的分析。因此，本文對(duì)夾層管道采用鐵木辛柯梁模型進(jìn)行構(gòu)建，依據(jù)管道的軸線方向與波的運(yùn)動(dòng)方向之間的相對(duì)位置，可將固體彈性波分為剪切波、縱向波以及彎曲波[8]，聲學(xué)域中模態(tài)分為周向模態(tài)與徑向模態(tài)[9]。

1.2 管壁波數(shù)

在 xy平面內(nèi)受橫向荷載作用引起橫向振動(dòng)的鐵木辛柯梁模型如圖 1所示。運(yùn)動(dòng)方程如式(1)所示[10]：

圖1 鐵木辛柯理論模型Fig.1 Timoshenko's theoretical model

式(1)中：E為彈性模量；G為剪切模量；μ為截面形狀因數(shù)；ρ為梁材料的密度；A為梁截面面積；I為梁截面對(duì)中性軸的慣性矩。由于管道為圓截面，所以根據(jù)剪切所計(jì)算的應(yīng)變能理論，μ取0.9。

假設(shè)所受外力為 0，即q=0，將方程基本解y= B ei(ωt-kx)以及波數(shù)k=ω/c(B為波幅，ω為角頻率，c為波速)，代入方程(1)得：

為了簡(jiǎn)化方程，令：

方程(2)可化簡(jiǎn)為

令ω= 2 π f ，其中f為頻率，可得管道鐵木辛柯梁模型彎曲波數(shù)為

管道縱向振動(dòng)模型如圖2所示，其中u表示x處橫截面上一點(diǎn)的縱向位移，S表示x處橫截面上的軸向應(yīng)力合力，A為橫截面面積，ρ為材料的質(zhì)量密度，當(dāng)管道縱向振動(dòng)時(shí)，每一分段上的軸向力根據(jù)達(dá)朗貝爾(D'Alembert)定理[11]可得：

圖2 管道縱向振動(dòng)模型Fig.2 Longitudinal vibration model of pipeline

根據(jù)波數(shù)與頻率的關(guān)系，將式(6)代入式(5)，得管道鐵木辛柯梁模型縱向波數(shù)為

圖3 管道剪切振動(dòng)模型Fig.3 Shear vibration model of pipeline

列出動(dòng)力學(xué)方程[12]得:

將ω= 2 π f 與式(8)代入式(9)，可得管道鐵木辛柯梁模型切向波數(shù)為

最終得到夾層管道彎曲波數(shù)解析方程(4)，縱向波數(shù)解析方程(7)，剪切波數(shù)解析方程(10)。

1.3 管道流體域波數(shù)

夾層輸流管道的管壁作為剛性壁面，以剛性壁面圓管波導(dǎo)來(lái)討論管內(nèi)流體域中簡(jiǎn)正波的傳播特性，即管內(nèi)聲模態(tài)傳播特性。

首先假設(shè)波導(dǎo)中存在(n,m)階簡(jiǎn)正波，則在柱坐標(biāo)系下該簡(jiǎn)正波函數(shù)為

表1 方程dJn(x)/dx=0的第m個(gè)根βnm的值Table 1 Value of the m-th root (βnm) of the equation dJn(x)/dx=0

由于管壁為剛性壁面，所以，當(dāng)r= a時(shí)，徑向波速vr= 0 ，即

式中：kr指的是徑向模態(tài)，根據(jù)柱貝塞爾函數(shù)Jn(x)的遞推關(guān)系得出：

利用表1的值，可以根據(jù)式(13)解出無(wú)限長(zhǎng)夾層管道簡(jiǎn)正波的每一階波數(shù)方程。

式中：m≥0，n≥0，m、n均為整數(shù)。

2 管道聲固耦合理論

聲固耦合屬于多物理場(chǎng)問(wèn)題，流體域與固體域通過(guò)聲固耦合邊界實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)交換，在邊界處流體域聲波會(huì)在固體域中產(chǎn)生聲壓載荷，固體域的振動(dòng)會(huì)對(duì)流體域產(chǎn)生法向加速度。

2.1 管道模型簡(jiǎn)化假設(shè)

聲固耦合的數(shù)學(xué)模型需要滿足三個(gè)基本物理方程，即質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量守恒方程和能量守恒方程[13]。

模型假定：

(1) 聲學(xué)域?yàn)槔硐肓黧w，聲波在管道中傳播無(wú)損耗且不存在粘滯性；

(2) 在聲波傳播過(guò)程中，所有的熱力學(xué)是等熵過(guò)程；

(3) 管道中的傳播都是小振幅振動(dòng)，聲學(xué)參量忽略二階以上微量；

(4) 只考慮與管束軸線相垂直的平面內(nèi)的聲場(chǎng)情況；

(5) 忽略管道內(nèi)流體流動(dòng)時(shí)所引起的噪聲；

(6) 沒有聲擾動(dòng)時(shí)，管道在宏觀上是均勻、靜止的。

滿足以上條件可將管道模型簡(jiǎn)化為二維模型，即將三維管道模型簡(jiǎn)化無(wú)限長(zhǎng)管道模型。

2.2 聲固耦合控制方程及邊界

描述空氣中聲波傳播的方程[14]可從流體流動(dòng)的控制方程推演而來(lái)。無(wú)損介質(zhì)中壓力波的波動(dòng)方程為

其中：Qm為單極子域源，是一個(gè)質(zhì)量源，單位為s-2。qd為偶極域源，是一個(gè)力源，單位為N·m-3，p為聲壓，ρ為材料密度，c為波速，由于本模型中不受外源影響，所以該兩域源數(shù)值為0。

聲固耦合邊界條件為

其中：n為耦合面法向量；pt為總聲壓；utt為結(jié)構(gòu)加速度；FA為結(jié)構(gòu)一側(cè)所受單位面積力。

在聲固耦合中，結(jié)構(gòu)體的控制方程是根據(jù)牛頓第二定律[15]決定的，結(jié)構(gòu)控制方程可表達(dá)為

其中：方程右邊兩項(xiàng)??s、FV分別為面載荷與體載荷。

3 數(shù)值模型構(gòu)建

本文使用COMSOL Multiphysics多物理場(chǎng)仿真軟件進(jìn)行數(shù)值分析。以二維平面構(gòu)建無(wú)限長(zhǎng)夾層管道模型，內(nèi)部橫截面呈圓形。在模型中，夾層管道內(nèi)徑為 0.054 m，外徑為 0.07 m，管壁內(nèi)外為結(jié)構(gòu)鋼，內(nèi)層厚度為0.003 m，外層厚度為0.002 m，夾層材料為聚丙烯[16]，厚度為 0.003 m，分別計(jì)算管道充水和充氣兩種情況。所使用的材料參數(shù)如表 2所示，無(wú)限長(zhǎng)夾層輸流管道模型如圖4所示，聲固耦合邊界為半徑最小閉合圓曲線。

表2 材料參數(shù)Table 2 Material parameters

圖4 無(wú)限長(zhǎng)夾層輸流管道模型Fig.4 Model of unlimited length sandwich pipe conveying fluid

聲學(xué)域網(wǎng)格采用自由三角形網(wǎng)格劃分，結(jié)構(gòu)域網(wǎng)格采用映射分布劃分，分布類型為固定單元數(shù)，單元數(shù)取 5，聲學(xué)域需嚴(yán)格遵循網(wǎng)格最大單元尺寸小于1/5波長(zhǎng)即每個(gè)波長(zhǎng)涵蓋5個(gè)以上網(wǎng)格單元的原則，這樣聲學(xué)分析時(shí)才能準(zhǔn)確。對(duì)建立的幾何模型進(jìn)行模式分析，求解模式數(shù)設(shè)為20，給定模式分析頻率f0=1 000 Hz，模式搜索基準(zhǔn)值設(shè)為1. 1k0，參數(shù)化掃描頻率范圍為 10～12 000 Hz，間隔取100 Hz，其中。解析計(jì)算結(jié)果是將文中推導(dǎo)的波數(shù)公式編程嵌入至COMSOL Multiphysics中進(jìn)行計(jì)算，x軸表示頻率，y軸表示波數(shù)，以此完成頻散曲線解析計(jì)算。通過(guò)求解分別得到了夾層輸流管道內(nèi)部充水和充氣兩種情況下的頻率-波數(shù)頻散曲線，以及內(nèi)部聲壓與管壁形變?cè)茍D。

4 計(jì)算分析

4.1 頻散關(guān)系分析

本文計(jì)算了無(wú)限長(zhǎng)夾層輸流管道的三種頻散關(guān)系，分別是內(nèi)部聲模態(tài)頻散關(guān)系、管壁彈性模式頻散關(guān)系以及耦合時(shí)的頻散關(guān)系。由于在中低頻條件下，所以本文求解流體域前8階聲模態(tài)面外波數(shù)(即軸向波數(shù))解析解，階次分別為：(0, 0)、(1, 0)、(2, 0)、(0, 1)、(3, 0)、(0, 2)、(0, 3)、(1,1)。夾層輸流管道內(nèi)部為空氣時(shí)，不同彈性波模態(tài)的頻散曲線如圖5所示，夾層輸流管道內(nèi)部為水時(shí)，不同彈性波模態(tài)的頻散曲線如圖6所示。

夾層輸流管道內(nèi)部流體是空氣時(shí)，從圖5(a)可以看出，聲模態(tài)解析計(jì)算結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本一致，在計(jì)算的前8階模態(tài)中，(0, 2)和(0, 3)階聲模態(tài)不存在，說(shuō)明此時(shí)掃描頻率沒有超過(guò)該階次的截止頻率，該階次聲模態(tài)無(wú)法在管道內(nèi)傳播。(0, 0)階聲模態(tài)是直通模式，因此該階次不發(fā)生頻散現(xiàn)象，其他存在的階次都發(fā)生了頻散現(xiàn)象。

夾層輸流管道的管壁彈性模式在圖5(b)中可以看出，管壁縱向模態(tài)和剪切模態(tài)的解析計(jì)算結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本吻合，由于梁模型彈性波頻散特性，彎曲模態(tài)在4 000 Hz前吻合度較好，4 000 Hz后產(chǎn)生了偏差，偏差隨著頻率的增加而加大。在數(shù)值模型計(jì)算中可以看出，管壁模式中還有其他傳播模態(tài)，例如由結(jié)構(gòu)特征變化派生的環(huán)形模態(tài)，在聲學(xué)探測(cè)中需盡量避免此模態(tài)的產(chǎn)生，因?yàn)樵撃B(tài)由模態(tài)疊加形成，會(huì)增加檢測(cè)信號(hào)的復(fù)雜性。還有的模態(tài)特性在較高頻處發(fā)生變化，彎曲模態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榧羟?、縱向模態(tài)。

圖5 充氣夾層管道內(nèi)不同彈性波模態(tài)的頻散圖Fig.5 Dispersion diagrams of different elastic wave modes in the gas-filled sandwich pipe

在聲固耦合模式下頻散曲線較為復(fù)雜，從圖5(c)可以得出，夾層輸流管道產(chǎn)生彈性波模態(tài)的總數(shù)大于兩個(gè)單模式之和，這說(shuō)明多出的模態(tài)是在耦合時(shí)產(chǎn)生的。所以針對(duì)多出的耦合模態(tài)，可利用有效數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)耦合情況進(jìn)行進(jìn)一步分析。耦合時(shí)的聲模態(tài)以及管壁彈性模態(tài)與非耦合情況下各單模式的計(jì)算結(jié)果基本吻合，說(shuō)明構(gòu)建的解析式適用于內(nèi)部為空氣時(shí)的夾層輸流管道的頻散特征分析。夾層輸流管道內(nèi)部流體是水時(shí)，從圖6(a)可以看出，聲模態(tài)解析計(jì)算結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本一致，但只存在“直通模式”即聲波均勻、聲壓幅值分布一致的(0, 0)階聲模態(tài)。水中傳播的聲模態(tài)較少，不易發(fā)生頻散現(xiàn)象，所以流體介質(zhì)屬性決定著管道內(nèi)部的聲模態(tài)特征。

圖6 充水夾層管道內(nèi)不同彈性波模態(tài)的頻散圖Fig.6 Dispersion diagrams of different elastic wave modes in the water-filled sandwich pipe

從圖6(b)可以看出，管壁縱向模態(tài)和剪切模態(tài)的解析計(jì)算結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本吻合，在高頻段有偏移但誤差偏移量極小可忽略，彎曲模態(tài)在高頻的偏移量較大。所以在高頻段利用鐵木辛柯梁模型對(duì)充水夾層管道的彎曲波數(shù)建立解析式不適用，在中低頻段鐵木辛柯梁模型波數(shù)解析式較適用。

從圖6(c)可以看出，在耦合情況下，構(gòu)建的聲模態(tài)波數(shù)解析式在掃描頻率為2 000 Hz之后與數(shù)值解產(chǎn)生了誤差，并隨著頻率的增加而加大，管壁彈性波彎曲模態(tài)誤差在此處也隨著頻率的增加而加大。在8 500 Hz處發(fā)生了“模態(tài)干涉”現(xiàn)象，即兩個(gè)相鄰模態(tài)出現(xiàn)了交叉點(diǎn)，此現(xiàn)象的產(chǎn)生是由于受到機(jī)械能轉(zhuǎn)化的影響。

4.2 截止頻率及模態(tài)分析

夾層輸流管道截止頻率可從構(gòu)建的解析式中計(jì)算得出，管道內(nèi)充水情況下，由頻散曲線可以看出只存在直通模式，直通模式在任何頻率下都可以產(chǎn)生，所以無(wú)須做截止頻率計(jì)算。充氣情況下管道在掃描頻率范圍內(nèi)存在6種模態(tài)，階次分別是(0, 0)、(1, 0)、(2, 0)、(0, 1)、(3, 0)、(1, 1)，通過(guò)計(jì)算可得出，截止頻率分別為0、3 810、6 210、7 810、8 510、10 810 Hz，與數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本一致，繪制出的夾層輸流管道模態(tài)圖(見圖 7)也與相應(yīng)的波導(dǎo)截面上簡(jiǎn)正波幅值分布圖[14]一一對(duì)應(yīng)，每個(gè)截止頻率對(duì)應(yīng)一階模態(tài)，再次驗(yàn)證了構(gòu)建的解析式的準(zhǔn)確性。從圖7中可看出管壁變形情況與內(nèi)部聲壓分布情況。

圖7 充氣夾層輸流管道內(nèi)不同彈性波的模態(tài)圖Fig.7 Nephograms of different elastic wave modes in the gas-filled sandwich pipe

5 結(jié) 論

基于聲固耦合理論，利用多物理場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法分別對(duì)充水和充氣的無(wú)限長(zhǎng)夾層輸流管道進(jìn)行彈性波頻散特征分析，根據(jù)內(nèi)部聲學(xué)傳播模式和鐵木辛柯梁模型建立無(wú)限長(zhǎng)夾層輸流管道彈性波波數(shù)解析式，得出這些解析式所適用的頻率范圍。通過(guò)模式分析計(jì)算可得出：

(1) 管內(nèi)充水時(shí)聲學(xué)域只存在直通模式，管內(nèi)充氣時(shí)存在多階聲學(xué)模態(tài)，耦合狀態(tài)時(shí)兩者都存在“模態(tài)干涉”現(xiàn)象。

(2) 通過(guò)解析計(jì)算得出的管道截止頻率與數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本一致，并且繪制出各截止頻率下的聲波模態(tài)圖，與對(duì)應(yīng)的波導(dǎo)截面上簡(jiǎn)正波幅值分布圖一致。

(3) 研究結(jié)果證明了所建立的鐵木辛柯梁模型的波數(shù)解析式適用于充氣夾層輸流管道的頻散特征分析，充水夾層輸流管道的彎曲波數(shù)解析式在高頻段不適用。

研究具有合理性和可行性，可為夾層管道聲固耦合理論的運(yùn)用提供一定的參考，為夾層管道故障的聲檢測(cè)提供一定的理論依據(jù)。