韓順杰 單新超 于愛君 符金鑫

(①長春工業(yè)大學電氣與電子工程學院，吉林 長春 130000；②北京首鋼國際工程技術(shù)有限公司，北京 100043)

隨著智能化制造在社會發(fā)展中的地位越來越重要，機器人成為智能化發(fā)展過程中不可或缺的關(guān)鍵因素，如何讓機器人更加智能、安全、可靠地運行顯得尤為重要[1-2]。軌跡規(guī)劃是機器人技術(shù)中的重要組成部分，也是一直以來機器人運動學中研究的熱點問題。軌跡優(yōu)化能進一步改善規(guī)劃軌跡的性能，滿足實際需求，縮短機械臂運動時間，減少能量消耗，同時能夠避免不必要的抖動及沖擊，增加平穩(wěn)性[3-4]。

國內(nèi)外學者對軌跡規(guī)劃的相關(guān)研究論文已有很多，文獻[5-6]采用三次多項式函數(shù)進行軌跡規(guī)劃，結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)，但其二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)導(dǎo)致機械手運行不穩(wěn)定；文獻[7]提出了5-7-5次分段多項式與復(fù)合型法相結(jié)合的方式，提高了效率，降低了能耗，但運算相對復(fù)雜，高階次更容易引起“龍格”效應(yīng)的產(chǎn)生；文獻[8]以抑制機械振動為目標，將遺傳算法與多項式軌跡規(guī)劃相結(jié)合；文獻[9]采用權(quán)重系數(shù)法構(gòu)成目標函數(shù)，并采用粒子群算法對五自由度機械臂進行運動規(guī)劃。以上研究雖然解決了傳統(tǒng)算法難以優(yōu)化高次多項式的問題，但并未考慮智能算法的收斂速率以及陷入局部最優(yōu)的問題。

本文以三菱RV-4FL-D機械手為研究對象，以機器人運動空間的軌跡和分揀作業(yè)的實際工況提出了4-3-4多項式函數(shù)對機械手進行運動軌跡規(guī)劃，使其計算過程簡單，各關(guān)節(jié)的位置、速度、加速度連續(xù)可控。標準的粒子群算法存在前期收斂速度慢，后期容易陷入局部最優(yōu)等問題，本文采用改進的粒子群算法，將標準粒子群中的學習因子由定值改變?yōu)榭梢愿鶕?jù)環(huán)境動態(tài)調(diào)節(jié)的變量，改進后的粒子群算法前期可以快速收斂，后期可以準確收斂到最優(yōu)解。實驗證明，將4-3-4多項式函數(shù)與改進的粒子群算法相結(jié)合的軌跡規(guī)劃方法有效提高了求解的速度與精度，并且保證了效率與穩(wěn)定性的綜合最優(yōu)。

1 多項插值函數(shù)的構(gòu)造

為了保證機械手在軌跡規(guī)劃中的穩(wěn)定性，其位移、速度、加速度隨時間的變化曲線都應(yīng)是連續(xù)可控的，常用的高次多項式函數(shù)為3次、5次、7次多項式，則分別需要對運動位置施加至少4個、6個或8個約束條件[10]。3 次多項式插值是關(guān)節(jié)空間中最基本的插補方法，3次多項式插值能夠保證位移和速度連續(xù)，但未使用加速度約束，所以不能保證加速度連續(xù)，可能會導(dǎo)致關(guān)節(jié)加速度突變產(chǎn)生沖擊。5次多項式能使加速度連續(xù)光滑，但加加速度存在明顯突變。7次多項式雖然可以保證加加速度連續(xù)，但高階次會導(dǎo)致凸包性過差，并且計算量過大。

為了使機械手在作業(yè)中保證運動軌跡整體連續(xù)并增加效率，根據(jù)實際工況需要，將機械手的工作區(qū)間分為三段，采用4-3-4多項式插值函數(shù)，其中在第一、第三階段采用4次多項式進行插值，第二階段采用3次多項式插值。

4-3-4多項式插值位移函數(shù)為：

(1)

式中：i=1,2,3，…,n,n為關(guān)節(jié)數(shù)，q1i、q2i、q3i為第i個關(guān)節(jié)對應(yīng)的第一、第二、第三區(qū)間的位置。其約束條件分別為初始位置、速度、加速度，路徑點1、2的位置，路徑點的位置、速度和加速度保持連續(xù)，終點的位置、速度和加速度共14個。式(1)中所有的系數(shù)可以由上述的約束求出，如式(2)～(4)所示：

(2)

q=[q10 0q2q20 0q3

q30 0q40 0]T

(3)

(4)

式中：

2 改進的PSO算法

在關(guān)節(jié)空間中采用4-3-4多項式函數(shù)進行機械手運動軌跡規(guī)劃，可以得到機械手在各段端點處的位置、速度、加速度的運動軌跡連續(xù)并且可控。但由于在構(gòu)造分段多項式函數(shù)的各工作區(qū)間的時間間隔ti1、ti2和ti3是提前預(yù)設(shè)的，沒有對任意時刻的運動學參數(shù)進行約束，所以不能保證機械手整體的運動平穩(wěn)、減小沖擊。傳統(tǒng)的優(yōu)化方法對于高次多項式而言并不適用，需要采用智能算法對適應(yīng)函數(shù)進行優(yōu)化。本文在使優(yōu)化目標滿足運動學約束的基礎(chǔ)上，采用改進的優(yōu)化算法，在完成指定任務(wù)的基礎(chǔ)上增加機械手的效率和平穩(wěn)性。

2.1 運動學約束與適應(yīng)度函數(shù)

(5)

本文優(yōu)化的目的是使機械手在完成任務(wù)的基礎(chǔ)上增加效率和穩(wěn)定性，所以將運行時間最短作為適應(yīng)度函數(shù)，即：

f(t)=min(ti1+ti2+ti3)

(6)

2.2 改進的PSO優(yōu)化算法

在標準的PSO優(yōu)化算法中，粒子的特征用位置、速度和適應(yīng)度值來表示，速度代表了粒子在不斷迭代中發(fā)生的位移，適應(yīng)度值判定解的質(zhì)量。在粒子向更優(yōu)的特征不斷迭代中，個體極值和全局極值也在不斷更新，更新公式如下：

(7)

(8)

式中：xid為粒子位置，i代表的是粒子群中的一個任意粒子，d代表維度；vid代表上述粒子在相應(yīng)位置處的速度；pid表示的是上述粒子在該條件下個體的最優(yōu)位置；pgd是當前條件下全局最優(yōu)位置。ω為慣性權(quán)重；非負常數(shù)c1、c2為學習因子,r1和r2為[0,1]上均勻分布的隨機數(shù)。

標準PSO算法運算簡單、高效且搜索速率高，但易陷入局部最優(yōu)[11]。根據(jù)式(7)可知，當c1=0時，剩余為社會認知部分，收斂速度較快，但容易陷入局部最優(yōu)；當c2=0時，剩余為個體認知部分，收斂速度較慢。為了更高效地獲得全局最優(yōu)解，本文采用一種動態(tài)的方式給c1和c2賦值，在搜索初期，個體信息的意義大于全局信息，所以c1的取值大于c2，搜索后期為了讓更加快速準確地收斂于全局最優(yōu)，c2的取值大于c1的取值，構(gòu)造的函數(shù)如下：

(9)

式中：t為當前迭代次數(shù)，Tmax是最大迭代次數(shù)。

改進的粒子群算法對機械手關(guān)節(jié)i進行軌跡優(yōu)化的步驟如下：

(1)將由m個粒子組成的種群初始化，以隨機的方式得到粒子的速度和位置。

(2)將m個粒子的參數(shù)代入式(2)～(4)，求出14個參數(shù)aij代入式(1)并對其求導(dǎo)，將得到的當前速度與約束進行比較，如滿足約束，則根據(jù)適應(yīng)度值判斷粒子的優(yōu)劣；如不滿足約束，在選擇最優(yōu)粒子時會將該粒子排除，并且未滿足約束的粒子在不斷迭代過程中會逐漸向最優(yōu)值前進，直到滿足約束。

(3)找出每一個粒子自身到目前為止搜尋到的最優(yōu)位置作為Pd;找出所有粒子當前的最優(yōu)位置，作為Gd。

(4)根據(jù)式(7)、(8)更新粒子的速度和位置，重新構(gòu)成具有新的位置和速度的m個粒子組成的種群。

(5)如滿足迭代終止條件，則計算結(jié)束，得出最優(yōu)適應(yīng)度值，否則返回步驟(2)。

設(shè)定初始粒子數(shù)M=50，初始位置為0～1 s隨機位置，飛行速度為[-2，2]，慣性權(quán)重ω=0.6，r1、r2為[0,1]上的隨機數(shù)，迭代次數(shù)為50。

3 建模仿真實驗

本文以三菱RV-4FL-D機器人為研究對象，實驗平臺如圖1所示。采用標準D-H法建立運動學坐標系模型：以機械手各關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸軸線方向為坐標zi向，軸zi與zi-1的公垂線方向為xi向，yi通過右手定則確定[12]。依據(jù)該方法其具體坐標系如圖2，得到的D-H參數(shù)如表1。

表1中αi表示扭曲度，ai表示桿件長度，di表示桿件偏移量，其中L1=170 mm，L2=280 mm，L3=60 mm，L4=350 mm。應(yīng)用MATLAB仿真軟件內(nèi)Robotics Toolbox工具箱對其建模[13-14]，如圖3所示。

表1 RV-4FL-D機器人D-H參數(shù)

在笛卡爾坐標系下給定機械手的初始位置、路徑點1的位置、路徑點2的位置、終點位置，見表2。

表2 笛卡爾空間路徑

通過逆運動學，將初始點、路徑點、終點由笛卡爾空間表示方式轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)空間表示方式，如表3。

表3 各關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)空間差值點

基本PSO算法的最優(yōu)粒子適應(yīng)度曲線與改進的PSO的適應(yīng)度曲線對比如圖4所示。

由圖4可看出，改進后的PSO算法在前期的收斂速度更快，且適應(yīng)度值小于基本PSO算法約20%，由此可見改進后的算法效果更優(yōu)。

采用改進的PSO算法對4-3-4分段多項式函數(shù)進行以時間為目標的優(yōu)化，關(guān)節(jié)1的最優(yōu)粒子位置迭代過程如下：

對于其他關(guān)節(jié)也同樣采用上述方法進行尋優(yōu)，從而得到各個關(guān)節(jié)的運行最優(yōu)時間，如表4。

表4 各關(guān)節(jié)優(yōu)化結(jié)果

為了保證機械手的各個關(guān)節(jié)以相同的時間到達目標位置，因此選用所有關(guān)節(jié)的各段插值時間的最大值，機械手運行時間為T=1.997 4 s。關(guān)節(jié)1～6的位置、速度和加速度運動軌跡變化曲線分別如圖6～8所示。

由以上仿真結(jié)果分析可得，采用改進后的軌跡規(guī)劃方法能夠縮短整個機械臂的運行時間，并且保證規(guī)劃出來的位移、速度、加速度曲線在整個運動過程中的連續(xù)性在一個較理想的范圍內(nèi)，從而使得在縮短時間的前提下還能繼續(xù)保證整個機械臂的穩(wěn)定運行。

4 結(jié)語

本文提出的軌跡優(yōu)化方法綜合考慮了機械手的效率和平穩(wěn)性指標，提出了4-3-4次多項式插值進行擬合，大幅減少計算的同時，還保證了機械手運行中的位置、速度、加速度連續(xù)可控，解決了文獻[5-6]加速度不連續(xù)帶來的沖擊和文獻[7]計算復(fù)雜，易產(chǎn)生“龍格”現(xiàn)象的問題。相較于采用遺傳算法[8]和基本粒子群算法[9]，改進的PSO算法有效地解決了高次多項式難以用傳統(tǒng)方法優(yōu)化的問題，動態(tài)調(diào)節(jié)的學習因子可以快速準確地收斂到最優(yōu)解。結(jié)果表明，采用4-3-4分段多項式進行軌跡規(guī)劃結(jié)合改進的PSO算法對機械手運動軌跡進行優(yōu)化，軌跡運行時間較只進行多項式軌跡規(guī)劃縮短了約40%，較基本PSO軌跡優(yōu)化縮短了約20%，各關(guān)節(jié)運行過程平穩(wěn)，達到了預(yù)期的優(yōu)化目標。