劉兆斌 李凱 曾天海 王鋒 宋新兵 邵彬 鄒健

(北京理工大學(xué)物理學(xué)院, 北京 100081)

在孤立的兩體復(fù)合系統(tǒng)中, 討論其中一體的變化如何影響另一體的狀態(tài), 有助于了解單粒子混合態(tài)與純態(tài)的關(guān)系.本文討論5 個(gè)孤立的一維類氫原子模型系統(tǒng), 原子核的質(zhì)量互不相同.這5 個(gè)兩體(電子與原子核)復(fù)合系統(tǒng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都處于糾纏態(tài), 其中電子狀態(tài)都用約化密度矩陣表示的混合態(tài)描述.在原子核質(zhì)量趨近無窮大的一維氫原子模型中, 電子處于純態(tài).為比較這里的純態(tài)和混合態(tài), 在位置表象中計(jì)算了這些混合態(tài)的純度、它們分別與純態(tài)的保真度、以及所有這些態(tài)的相干性.研究表明, 原子核的質(zhì)量越大, 純度和保真度越接近1, 混合態(tài)的相干性與純態(tài)的也越接近.這樣的純態(tài)及其相干性可以是這種混合態(tài)及其相干性的近似, 并與原子核及庫侖相互作用有關(guān).

1 引 言

單個(gè)粒子可以處于純態(tài)或混合態(tài).在量子信息傳輸中, 單粒子的初始純態(tài)一般會(huì)變?yōu)榛旌蠎B(tài).很難制備單粒子純態(tài), 得到的一般是混合態(tài).如何得到接近純態(tài)的混合態(tài)是個(gè)有意義的問題.在孤立的氫原子模型中, 假設(shè)原子核質(zhì)量趨近無窮大, 則其電子處于純態(tài).但考慮氫原子核的質(zhì)量, 那么, 核與電子處于糾纏態(tài)[1,2](即不能寫成原子核狀態(tài)與電子態(tài)的直積態(tài)), 電子處于混合態(tài).對(duì)于不同的類氫原子, 其核質(zhì)量不同, 它們的電子混合態(tài)也會(huì)不同.核質(zhì)量越大, 電子混合態(tài)自然越接近相應(yīng)的純態(tài).本文定量討論混合態(tài)與純態(tài)是如何接近的.

討論5 個(gè)一維類氫原子系統(tǒng), 它們具有相同的電子和庫侖相互作用勢(shì)能, 而原子核的質(zhì)量不同.假設(shè)前兩個(gè)原子的核質(zhì)量與電子的比為10 和100,后三個(gè)是氕、氘和氚原子, 質(zhì)量比約為1836, 2 ×1836 和3 × 1836.它們均可以看成兩體復(fù)合系統(tǒng),這些兩體復(fù)合系統(tǒng)都處于糾纏態(tài), 可以用密度矩陣表示.對(duì)密度矩陣的一部分求跡, 得到的約化密度矩陣[3,4]表示另一部分的狀態(tài)為混合態(tài).在假設(shè)的原子核質(zhì)量為無窮大的一維氫原子中, 電子處于純態(tài).把這5 種情形的電子混合態(tài)及其相干性與純態(tài)及其相干性進(jìn)行比較.比較的方式是用純度[5]、保真度[6?10]和相干性[11?22]進(jìn)行定量計(jì)算.根據(jù)定義, 純度定量表征混合態(tài)中的純態(tài)“含量”.純度越高, 越接近純態(tài); 純度為1 的即為純態(tài).保真度可以用來定量比較兩個(gè)量子態(tài)的接近程度.若值為1,則兩個(gè)態(tài)相同.量子態(tài)的相干性與選取的表象有關(guān), 若在所選的表象中為本征態(tài), 則沒有相干性;純態(tài)的相干性表征干涉的對(duì)比度; 而對(duì)于一個(gè)混合態(tài), 相干性則表征了所有純態(tài)成分的干涉或相干的大小總和.

本文第2 節(jié)引用一維類氫原子的兩體模型, 計(jì)算第一激發(fā)態(tài)及其與第二激發(fā)態(tài)的疊加態(tài)中的電子混合態(tài)密度矩陣.第3 節(jié)計(jì)算這些混合態(tài)的純度、與相應(yīng)純態(tài)之間的保真度、以及用l1norm 定量的混合態(tài)和純態(tài)的相干性.

2 模 型

這里采用簡(jiǎn)單的孤立一維氫原子模型[1,23,24].用薛定諤方程求解這樣的兩體問題, 可以分成質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)兩部分.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于自由粒子運(yùn)動(dòng).文獻(xiàn)[3]指出, 自由粒子的初始能量可以為零.因此, 設(shè)質(zhì)心不動(dòng), 為坐標(biāo)原點(diǎn).只需考慮相對(duì)運(yùn)動(dòng).對(duì)于原子核質(zhì)量趨近無窮大的一維氫原子,文獻(xiàn)[23,24]給出了其定態(tài)薛定諤方程的波函數(shù)偶宇稱和奇宇稱的表達(dá)式:

其中F為合流超幾何函數(shù),a是玻爾半徑,和都是實(shí)函數(shù).

歸一化的第一與第二激發(fā)態(tài)偶宇稱波函數(shù)的疊加態(tài)可寫成

當(dāng)考慮原子核的質(zhì)量時(shí), 第一激發(fā)態(tài)偶宇稱波函數(shù)變?yōu)?/p>

第一與第二激發(fā)態(tài)偶宇稱波函數(shù)的疊加態(tài)變?yōu)?/p>

其中xe和xp分別是電子和原子核的位置坐標(biāo);mp是原子核質(zhì)量;b′和c′是相應(yīng)第一和第二激發(fā)態(tài)偶宇稱波函數(shù)的歸一化常數(shù), 數(shù)值大小隨所取的原子核質(zhì)量的大小不同而不同, 并能通過求全空間概率為1 得到具體數(shù)值.和都是實(shí)函數(shù).相應(yīng)的密度矩陣為:和假設(shè)電子為粒子1, 原子核為粒子2.對(duì)粒子2 部分求跡可得到電子的約化密度矩陣表示電子的混合態(tài).在位置表象中, 位置有連續(xù)本征值譜[4], 相應(yīng)的約化密度矩陣元分別表示為

其中xe和分別表示約化密度矩陣的行和列.

3 純度、保真度和相干性計(jì)算

3.1 純度的計(jì)算

混合態(tài)的純度的一種定義[5]為

在位置表象中, 求跡寫成積分.對(duì)于約化密度矩陣其純度計(jì)算公式可分別表示為

按照上述 ? =1 ,e=1 ,me=1 的設(shè)定, 當(dāng)積分區(qū)間取 [?20,20] 范圍內(nèi)時(shí), 第一激發(fā)態(tài)和疊加態(tài)偶宇稱波函數(shù)所表示的概率非常接近1, 所以電子的積分區(qū)間取 [?20,20].根據(jù)兩體問題的運(yùn)動(dòng)關(guān)系, 相應(yīng)的原子核的積分區(qū)間取為其中mp是原子核的質(zhì)量.

考慮5 個(gè)一維類氫原子系統(tǒng)， 分別計(jì)算了原子核質(zhì)量取不同值時(shí)，電子混合態(tài)的純度的變化趨勢(shì), 即的變化趨勢(shì).

圖1 為純度變化趨勢(shì)圖, 可以看出, 原子核的質(zhì)量越大, 電子混合態(tài)的純度越高, 并非常接近1.對(duì)于氕、氘和氚原子, 電子混合態(tài)都近似于某個(gè)純態(tài).反之, 說明一個(gè)純態(tài)是由混合態(tài)近似而來的.

圖1 純度變化趨勢(shì)圖, 橫坐標(biāo)表示原子核質(zhì)量和電子質(zhì)量之比 (a) 第一激發(fā)態(tài); (b) 疊加態(tài)Fig.1.Purity vs.the ratio of mass between nucleus and electron: (a) The first excited state; (b) the superposition of the first and the second excited states.

3.2 保真度的計(jì)算

混合態(tài)與純態(tài)之間的保真度定義[9]為

兩個(gè)保真度變化趨勢(shì)如圖2 所示.

從圖2 可以看出, 原子核的質(zhì)量越大, 保真度越大, 電子混合態(tài)與相應(yīng)的純態(tài)也越接近.在氕、氘和氚原子情形, 保真度都接近1, 說明電子混合態(tài)都近似于純態(tài).反之, 說明這兩個(gè)純態(tài)都是由相應(yīng)混合態(tài)近似而來的.

圖2 保真度變化趨勢(shì)圖, 橫坐標(biāo)表示原子核質(zhì)量和電子質(zhì)量之比 (a) 第一激發(fā)態(tài); (b) 疊加態(tài)Fig.2.Fidelity vs.the ratio of mass between nucleus and electron: (a) the first excited state; (b) the superposition of the first and the second excited states.

3.3 相干性的計(jì)算

量子態(tài)的相干性是相對(duì)特定表象而言的.在能量表象中, 這里的電子第一激發(fā)態(tài)是能量本征態(tài),沒有相干性.但在位置表象中, 第一激發(fā)態(tài)是位置本征態(tài)的疊加態(tài), 是有相干性的.第一與第二激發(fā)態(tài)的疊加態(tài)在這兩個(gè)表象中, 都有相干性.這里也采用位置表象.量子態(tài)l1norm 相干性定義[13]為:在采用位置表象后, 求和改成積分的形式

從圖3 可以看出, 原子核的質(zhì)量越大, 電子混合態(tài)的相干性與相應(yīng)純態(tài)的相干性越接近.也說明氕、氘和氚原子中, 電子混合態(tài)的相干性都近似于相應(yīng)純態(tài)的相干性.

圖3 相干性變化趨勢(shì)圖, 橫坐標(biāo)表示原子核質(zhì)量和電子質(zhì)量之比 (a)第一激發(fā)態(tài); (b)疊加態(tài)Fig.3.Coherence vs.the ratio of mass between nucleus and electron: (a) The first excited state; (b) the superposition of the first and the second excited states.

3.4 討 論

與純度和保真度不同的是, 這里得到的電子混合態(tài)的相干性不是隨原子核質(zhì)量的增大而增大, 而是相反.這可以做如下解釋: 在特定表象中, 若純態(tài)是本征態(tài), 則沒有相干性; 而混合態(tài)的成分中,有不同本征態(tài)的相干疊加態(tài), 則相干性不為零.例如, 某一表象有三個(gè)本征態(tài)基矢{φ1, φ2, φ3}, 若純態(tài)是其中任一本征態(tài), 則相干性為零; 而混合態(tài)中出現(xiàn)純態(tài)的概率為1/3, 出現(xiàn)純態(tài)的概率為2/3, 則相干性不為零.說明混合態(tài)的相干性可以大于純態(tài)的相干性.

雖然相干性變化規(guī)律與保真度不同, 但仍然說明這兩個(gè)純態(tài)的相干性都是由相應(yīng)混合態(tài)近似而來的.這里的電子混合態(tài)及其相干性, 都是與原子核及它們的庫侖相互作用勢(shì)能有關(guān)的.這是因?yàn)檫@樣的兩體復(fù)合系統(tǒng)的哈密頓量含有原子核的動(dòng)能算符和庫侖相互作用勢(shì)能算符, 電子與原子核的糾纏態(tài)就與原子核質(zhì)量和庫侖相互作用有關(guān).若原子核質(zhì)量很大, 它就近似不動(dòng)或它的狀態(tài)近似不變,庫侖相互作用勢(shì)能也近似為電子的外場(chǎng)庫侖勢(shì)能.換一個(gè)角度看, 原子核與電子的糾纏態(tài)近似為核的不變狀態(tài)與電子態(tài)的直積態(tài)[25?30].這樣, 電子的純態(tài)就是近似的, 這個(gè)純態(tài)及其相干性就與原子核及它們的庫侖相互作用勢(shì)能有關(guān).

這個(gè)特例有可能推廣到其它孤立的兩體復(fù)合系統(tǒng)中進(jìn)行定量計(jì)算.其一體保持為微觀體不變,相互作用勢(shì)能也不變, 而另一體由微觀體換成宏觀體.那么, 微觀體在宏觀體的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng), 其狀態(tài)近似為純態(tài), 并在一些表象中顯示相干性.因此,這個(gè)純態(tài)及其相干性與宏觀體有關(guān), 并與相互作用勢(shì)能(即近似的外場(chǎng))有關(guān).

4 結(jié) 論

本文利用純度、保真度和相干性, 對(duì)一維類氫原子中的電子狀態(tài)隨核質(zhì)量的變化進(jìn)行了定量計(jì)算.結(jié)果表明, 一維類氫原子核質(zhì)量趨近無窮大的電子純態(tài)及其相干性, 可以由一維類氫原子中電子的混合態(tài)及其相干性近似而來.這種電子混合態(tài)及其相干性與原子核及它們的庫侖相互作用勢(shì)能有關(guān), 因而, 電子的這種純態(tài)及其相干性也是如此.說明存在單粒子的一些純態(tài)及其相干性是混合態(tài)及其相干性的近似, 并且這些態(tài)及其相干性與其他物體及相互作用有關(guān).