趙新華,戴騰達(dá),劉 涼,馮建峰,張青云

(天津理工大學(xué) a.天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;b.機(jī)電工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，天津 300384)

0 引言

相對(duì)于傳統(tǒng)數(shù)控機(jī)床，并聯(lián)機(jī)床有剛度大、結(jié)構(gòu)緊湊、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)，所以廣泛的應(yīng)用于高精度、復(fù)雜零部件的打磨加工[1]。少自由度尤其是三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由于制造和控制成本低，所以其在并聯(lián)機(jī)床的應(yīng)用逐漸成為學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[2]中提出一種三自由度并聯(lián)機(jī)床，對(duì)機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行分析，但它含有球鉸，導(dǎo)致關(guān)節(jié)精度制造難度加大和成本提高；針對(duì)渦輪葉片部分難加工的問(wèn)題，提出一種可以對(duì)其進(jìn)行高精度加工的并聯(lián)機(jī)床機(jī)構(gòu)方案[3]，但其組成支鏈多且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)累積誤差大。1983年，Hunt首次成功提出了三自由度的3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)被廣泛用于并聯(lián)機(jī)床、光電跟蹤等領(lǐng)域[4]。黃真、李秦川等提出了螺旋綜合理論和位移子群等理論，使并聯(lián)機(jī)構(gòu)理論體系更加完善[5-6]。文獻(xiàn)[7]中借助螺旋理論，通過(guò)對(duì)力和力矩的效率研究，對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[8]針對(duì)三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)提出一種基于輪廓誤差的同步滑模控制方案，實(shí)現(xiàn)了精確的運(yùn)動(dòng)跟蹤。趙永生、楊彥東等提出了3PSU&S和3UPS&S并聯(lián)機(jī)構(gòu)，定義了機(jī)構(gòu)功率傳遞系數(shù)，以此均值作為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的性能指標(biāo)[9-10]。文獻(xiàn)[11-13]對(duì)不同三自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用矢量閉環(huán)等方法完成了運(yùn)動(dòng)學(xué)的建模。

為此，文中提出一種新型的兩移一轉(zhuǎn)三自由度的非對(duì)稱(chēng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)2RRRU-PRRU，它不含球鉸且兩RRRU分支呈對(duì)稱(chēng)分布，不僅能提高機(jī)構(gòu)響應(yīng)速度、減少驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)累計(jì)誤差，還能保證系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)精度。同時(shí)基于矢量閉環(huán)矢量法建立系統(tǒng)各構(gòu)件之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，并通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析得到了末端軌跡與執(zhí)行構(gòu)件的位置、速度變化規(guī)律，再運(yùn)用ADAMS軟件建立系統(tǒng)的虛擬樣機(jī)仿真模型，最后通過(guò)理論數(shù)值模型和虛擬樣機(jī)仿真模型的交叉驗(yàn)證，印證了模型建立的正確性。

1 機(jī)構(gòu)構(gòu)型分析

1.1 機(jī)構(gòu)描述和坐標(biāo)系建立

機(jī)構(gòu)的初始位型如圖1所示，由支架、動(dòng)平臺(tái)、靜平臺(tái)、移動(dòng)副導(dǎo)軌、兩條RRRU分支和一條PRRU分支構(gòu)成。靜平臺(tái)、移動(dòng)副導(dǎo)軌均固接于支架，RRRU兩分支呈對(duì)稱(chēng)分布。RRRU分支中，虎克鉸(U)與動(dòng)平臺(tái)相連接，轉(zhuǎn)動(dòng)副(R)與靜平臺(tái)相連接。PRRU分支中，移動(dòng)副(P)與移動(dòng)副導(dǎo)軌相連接，虎克鉸(U)與動(dòng)平臺(tái)相連接。

圖1 2RRRU-PRRU虛擬樣機(jī)模型圖

該機(jī)構(gòu)的位置分析模型如圖2所示。在靜平臺(tái)建立靜坐標(biāo)系O-XYZ，在動(dòng)平臺(tái)創(chuàng)建動(dòng)坐標(biāo)系p-uvw。RRRU分支中的轉(zhuǎn)動(dòng)副和虎克鉸中心點(diǎn)依次記為Ai1、Ai2、Ai3和Ai4(i=1,2)。 PRRU分支中移動(dòng)副中心A6與OXY平面的交點(diǎn)記為A5，第二個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副中心記為A7。靜坐標(biāo)系O-XYZ中O為A11A21的中點(diǎn)，X軸由點(diǎn)O指向A21，Y軸由O點(diǎn)指向A5，Z軸滿(mǎn)足右手定則。動(dòng)坐標(biāo)系p-uvw的建立方法與之相同。令OA21=R，PA24=r，OA5=e，A11A12=l1，A12A13=l2，A13A14=l3，A6A7=l4，PA7=l5。

圖2 2RRRU-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

1.2 自由度分析

修正的Kutzbach-Grubler公式能準(zhǔn)確的分析包含局部自由度甚至過(guò)約束的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度。因此，采用此方法來(lái)分析計(jì)算該機(jī)構(gòu)的自由度，其公式表達(dá)式為：

(1)

式中，M為機(jī)構(gòu)的自由度；d為機(jī)構(gòu)的階數(shù),d=6-λ；λ為公共約束數(shù)目；n為構(gòu)件數(shù)目；g為運(yùn)動(dòng)副的數(shù)目；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度；v為冗余約束數(shù)目；ζ為局部自由度數(shù)目。

在該機(jī)構(gòu)中，λ=0；由圖2可知，總構(gòu)件數(shù)n=11；f=1的運(yùn)動(dòng)副數(shù)量為9，f=2的運(yùn)動(dòng)副數(shù)量為3，所以g=12；由于該機(jī)構(gòu)不存在冗余約束和局部自由度，所以v=0，ζ=0。將其代入式(1)，則有：

M=6×(11-12-1)+15=3

以上分析可得該機(jī)構(gòu)具有3個(gè)自由度，根據(jù)圖1構(gòu)型和螺旋理論可知，機(jī)構(gòu)前兩個(gè)支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋為：

(2)

式中 ，s=sin，c=cos，i=1, 2；u1,v1,t1,u2,v2,t2,u3,t3均為實(shí)數(shù)，與支鏈各運(yùn)動(dòng)軸線的空間位置有關(guān)。

第3個(gè)支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋為：

(3)

式中，u4,t4,u5,a1,b1,u6,t7均為實(shí)數(shù)，與第3支鏈各運(yùn)動(dòng)軸線的空間位置有關(guān)。

這3個(gè)支鏈的約束反螺旋為：

(4)

式中，前兩個(gè)約束為約束力偶，方向分別沿第一支鏈和第二支鏈桿件Ai2Ai3(i=1,2)的軸線；第3個(gè)約束為約束力線矢，方向沿X軸向。因此，該機(jī)構(gòu)3個(gè)自由度分別是繞著Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)以及Y軸和Z軸的平動(dòng)。它可用于對(duì)半圓形筒狀工件內(nèi)壁的打磨加工，即在動(dòng)平臺(tái)末端安裝打磨裝置與夾具，將工件固定在加工平臺(tái)上，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)可沿筒狀工件的軸線方向?qū)ぜ?nèi)壁表面進(jìn)行打磨，如圖1所示。

2 機(jī)構(gòu)位置反解

該機(jī)構(gòu)具有兩移一轉(zhuǎn)3個(gè)自由度。因此可用(θ,Py,Pz)3個(gè)參數(shù)來(lái)描述動(dòng)平臺(tái)與靜平臺(tái)的位姿關(guān)系。則動(dòng)坐標(biāo)系P-uvw變換到定坐標(biāo)系O-XYZ的變換矩陣為：

(5)

兩條RRRU分支中定義的關(guān)節(jié)變量，如圖3所示。其中，θi1(i=1,2)為驅(qū)動(dòng)角度，θi2和θi3(i=1, 2)為第二和第三轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

圖3 RRRU分支在不同平面中的關(guān)節(jié)變量(i=1, 2)

根據(jù)幾何法，在XOZ平面內(nèi)該分支的矢量閉環(huán)方程為：

OAi1+Ai1Ai2+Ai2Ai3+Ai3Ai4=OP+PAi4

(6)

將式(6)右端展開(kāi)為:

(7)

將式(6)左端展開(kāi)為:

(8)

聯(lián)立式(7)和式(8)可得:

(9)

根據(jù)式(9)即可得驅(qū)動(dòng)角θi1：

(10)

(11)

式中，K5=K1+K3-K4；

K6=2K2；

K7=K1-K3-K4；

K2=2l1(Pz±rsθ)；

K3=2l1(rcθ-R)；

K4=(l2+l3cθi3)。

從式(11)可以看出，θi3只與動(dòng)平臺(tái)的位置有關(guān)，它有兩種可能的取值；由于K4與θi3有關(guān)，所以K4有兩種取值，由式(10)可知，驅(qū)動(dòng)角θi1則有四種可能的取值。

PRRU分支如圖4所示，其中d為驅(qū)動(dòng)位移，α為支鏈與靜平臺(tái)的夾角。從圖中可知?jiǎng)悠脚_(tái)位置確定時(shí)該分支有兩種位置構(gòu)型，在這里我們選擇A6A7為虛線時(shí)的構(gòu)型，此時(shí)Pz<0。

圖4 PRRU分支所組成平面

在YOZ平面內(nèi)該分支的矢量閉環(huán)方程為：

OP=OA5+A5A6+A6A7+A7P

(12)

將式(12)展成Y和Z方向的兩個(gè)分量式:

(13)

消去α可得:

(14)

綜上所述，驅(qū)動(dòng)角θ11和θ21均有4組反解；PRRU分支中驅(qū)動(dòng)輸入d實(shí)際上有兩組反解。因此，2RRRU-PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解共有32組。

3 機(jī)構(gòu)速度反解

3.1 RRRU分支速度反解

首先，求解RRRU分支的速度反解，對(duì)式(6)兩邊求導(dǎo)可得:

VP=Oωi1×ai+Oωi2×bi+Oωi3×ci+Oωi4×fi

(15)

式中,Vp為動(dòng)平臺(tái)點(diǎn)P的線速度；ωij為第i條支鏈第j個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的角速度；ai為向量Ai1Ai2；bi為向量Ai2Ai3；ci為向量Ai3Ai4；fi為向量Ai4P；

在式(15)兩邊對(duì)向量ci作數(shù)量積，可得：

VP·ci=(0ω1i×ai)·ci+(0ω2i×bi)·ci+(0ω4i×fi)·ci

(16)

將上面數(shù)值帶入式(16)則有：

(17)

將式(17)寫(xiě)成雅克比矩陣形式：

(18)

其中，

(19)

(20)

化簡(jiǎn)整理可得：

(21)

(22)

其中兩分支的φ值分別取180°和0°，所以速度反解:

(23)

3.2 PRRU分支速度反解

在PRRU分支中，對(duì)式(14)兩端求導(dǎo)即可建立該分支的速度方程:

(24)

化簡(jiǎn)整理可得:

T=[Pz-d]

(25)

(26)

即:

(27)

綜上各支鏈的速度反解公式，該機(jī)構(gòu)的速度雅可比矩陣為:

(28)

4 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

為了驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性和研究機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，基于同等條件，將理論模型通過(guò)MATLAB編程求解，并與仿真軟件ADAMS的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。設(shè)虛擬樣機(jī)中打磨裝置的工作面到動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離為H，如圖5所示，則末端執(zhí)行器工作點(diǎn)在動(dòng)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為E=(0 0 -H)T。而在靜坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為:

(29)

即:

(30)

圖5 打磨裝置結(jié)構(gòu)圖

仿真運(yùn)動(dòng)軌跡設(shè)為螺旋線，起點(diǎn)位置為(-0.1, -0.4, -1) m，角速度為2 rad/s，導(dǎo)程為0.05 m，方向?yàn)檠豗軸正方向，范圍為[-0.4,0.4] m，運(yùn)行時(shí)間為8 s，具體運(yùn)動(dòng)軌跡方程為：

(31)

式中,ω為角速度；Ph為導(dǎo)程；t為運(yùn)行時(shí)間。

其余仿真參數(shù)如表1和表2所示。

表1 RRRU支鏈仿真參數(shù)

表2 PRRU支鏈和刀具仿真參數(shù)

4.1 基于MATLAB的數(shù)值仿真模型

基于上述運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，通過(guò)MATLAB軟件進(jìn)行編程求解可得驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)位移隨時(shí)間的變化曲線，如圖6和圖7所示。其中，圖6為并聯(lián)機(jī)構(gòu)RRRU兩分支驅(qū)動(dòng)角隨時(shí)間變化的曲線，而圖7為PRRU分支驅(qū)動(dòng)位移隨時(shí)間變化的曲線。

圖6 RRRU支鏈驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)角位移 圖7 PRRU支鏈驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)位移

由圖6和圖7可知：驅(qū)動(dòng)角和驅(qū)動(dòng)位移的變化過(guò)程平滑且變化規(guī)律呈對(duì)稱(chēng)和類(lèi)似正弦函數(shù)趨勢(shì)，整個(gè)過(guò)程無(wú)突變現(xiàn)象。但兩個(gè)RRRU分支驅(qū)動(dòng)角存在相位差和峰值差，這是因?yàn)闄C(jī)構(gòu)仿真運(yùn)動(dòng)軌跡起點(diǎn)為(-0.1, -0.4, -1) m，即初始位置下驅(qū)動(dòng)角第二支鏈大于第一支鏈，且變化規(guī)律上第二支鏈滯后于第一支鏈。同時(shí)在給定驅(qū)動(dòng)參數(shù)的情況下，RRRU分支兩個(gè)驅(qū)動(dòng)角的變化區(qū)間約為[4.5°, 41.3°]，幅度大約為36.8°；PRRU分支驅(qū)動(dòng)位移區(qū)間約為[-1.46,-1.94] m，幅度約為0.48 m。

RRRU兩分支驅(qū)動(dòng)角速度和PRRU分支移動(dòng)速度隨時(shí)間變化的曲線如圖8和圖9所示。

圖8 RRRU支鏈驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)角速度 圖9 PRRU支鏈驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度

由圖8和圖9可知：在整個(gè)變化過(guò)程中，驅(qū)動(dòng)角速度和移動(dòng)副速度在一定范圍內(nèi)變化，運(yùn)動(dòng)過(guò)程平穩(wěn)，不存在突變情況，整體變化呈類(lèi)似正弦函數(shù)的趨勢(shì)。RRRU分支的驅(qū)動(dòng)角的速度變化區(qū)間為[-31.3,31.2] deg/s，幅度約為62.5 deg/s； PRRU分支驅(qū)動(dòng)速度區(qū)間約為[-0.29, 0.18] m/s，幅度約為0.47 m/s。

通過(guò)數(shù)值仿真模型的結(jié)果可知，驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)位移和速度的仿真結(jié)果均呈現(xiàn)出類(lèi)似正弦函數(shù)的變化趨勢(shì)，且由于仿真軌跡在Y軸上范圍為[-0.4,0.4] m，所以RRRU分支驅(qū)動(dòng)角位移的變化呈對(duì)稱(chēng)趨勢(shì)，而PRRU分支驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)位移呈現(xiàn)出周期性下降趨勢(shì)。因?yàn)槲灰坪退俣鹊臄?shù)值仿真結(jié)果與理論求解的運(yùn)動(dòng)方程相對(duì)應(yīng)，且兩者之間存在著明顯的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，從而驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。

4.2 基于ADAMS軟件的虛擬樣機(jī)仿真模型

利用Unigraphics NX 10.0和ADAMS軟件在同等參數(shù)條件下建立該機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)模型，并對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。虛擬樣機(jī)仿真模型為圖1去除支架和工件的三維模型，之后將其導(dǎo)入ADAMS中，并將MATLAB數(shù)值仿真結(jié)果作為其驅(qū)動(dòng)函數(shù)。利用ADAMS中的Controls等模塊可得到該機(jī)構(gòu)各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的位移、速度仿真曲線和末端工作點(diǎn)的仿真運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10～圖14所示。

通過(guò)ADAMS和MATLAB驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)角位移變化曲線對(duì)比可知： 兩類(lèi)模型的RRRU支鏈和PRRU支鏈的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)位移均呈對(duì)稱(chēng)和類(lèi)似正弦函數(shù)變化趨勢(shì)，且過(guò)程平滑，但由于兩者初始零位不同，導(dǎo)致位移曲線存在位差。根據(jù)圖12、圖13與圖8、圖9的對(duì)比結(jié)果可知，各支鏈驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度變化與MATLAB一致。

圖10 RRRU支鏈驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)角位移

圖11 PRRU支鏈驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)位移

圖12 RRRU支鏈驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)角速度

圖13 PRRU支鏈驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度

從ADAMS仿真結(jié)果上看，虛擬樣機(jī)仿真結(jié)果與MATLAB數(shù)值仿真結(jié)果一致，所以進(jìn)一步對(duì)比驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。同時(shí)由圖14可知：虛擬樣機(jī)仿真軌跡為沿著Y軸運(yùn)動(dòng)的螺旋線，證明該機(jī)構(gòu)具有沿Y和Z軸兩個(gè)平移自由度及繞Y軸的旋轉(zhuǎn)自由度，驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)的可行性。

圖14 末端執(zhí)行器的螺旋線運(yùn)動(dòng)軌跡

5 結(jié)論

(1)運(yùn)用螺旋理論對(duì)該機(jī)構(gòu)自由度進(jìn)行分析，得出其具有兩移一轉(zhuǎn)三個(gè)自由度；基于閉環(huán)矢量法建立該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，分析了末端軌跡與執(zhí)行機(jī)構(gòu)之間的位置和速度關(guān)系。

(2)利用MATLAB軟件建立理論數(shù)值仿真模型。結(jié)果表明：由于運(yùn)動(dòng)支鏈關(guān)節(jié)的差異導(dǎo)致角度變化也不盡相同。其中，RRRU分支驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)角位移變化區(qū)間約為[4.5°, 41.3°]，變化規(guī)律呈對(duì)稱(chēng)分布；PRRU分支驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)移動(dòng)副位移變化區(qū)間約為[-1.46, -1.94] m，變化規(guī)律均呈類(lèi)似正弦函數(shù)的下降趨勢(shì)，并且兩分支驅(qū)動(dòng)角變化規(guī)律存在相位差和峰值差異。

(3)根據(jù)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的速度規(guī)律可知：三條分支的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度與時(shí)間的變化過(guò)程較平滑、無(wú)突變現(xiàn)象，其變化規(guī)律均呈類(lèi)似正弦函數(shù)趨勢(shì)，且位移與速度之間有明顯的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。

(4)利用Unigraphics NX 10.0和ADAMS軟件建立的虛擬樣機(jī)仿真模型與理論數(shù)值仿真模型的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析結(jié)果一致，從而相互印證了模型的正確性，為后續(xù)的動(dòng)力學(xué)研究及控制研究奠定了基礎(chǔ)。