程壽國 ，劉 毅 ，蘇春芳 ，劉洪斌

（1.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院，上海 200072；2.江陰職業(yè)技術(shù)學(xué)院 a.機(jī)電工程系，b.計算機(jī)科學(xué)系，江蘇 江陰 214405；3.國家電網(wǎng)湖北省電力有限公司 五峰縣供電公司，湖北 宜昌 443413）

0 引言

橡膠材料的阻尼特性和非線性特性研究已經(jīng)引起了許多學(xué)者的關(guān)注.Balasubramanian 等［1］研究了橡膠矩形板阻尼與三種不同耗散模型的關(guān)系，并用激光多普勒測振儀進(jìn)行了驗(yàn)證.Menga 等［2］討論了幾何參數(shù)和材料參數(shù)對橡膠層滾動軸承動態(tài)特性的影響，他們發(fā)現(xiàn)周期性和非周期性動力學(xué)響應(yīng)同時存在.Gong等［3］研究了車身低頻模態(tài)的平順性和振動能量對橡膠元件環(huán)境溫度降低的影響.為了保證車輛在一定速度下具有良好的乘坐舒適性，他們提出了橡膠部件工作的合理環(huán)境溫度范圍.Luo［4］和Shi［5］還研究了橡膠彈簧模型的非線性動力學(xué)在車輛動力學(xué)中的應(yīng)用.Xiao等［6-8］提出了往復(fù)壓縮機(jī)出現(xiàn)故障時的非線性動力學(xué)問題，他們研究了平動關(guān)節(jié)的間隙、旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的間隙和考慮活塞桿為柔性桿時多種情況下的非線性動力學(xué)行為.Zhao等［9］介紹了往復(fù)式壓縮機(jī)平面間隙剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)的仿真與優(yōu)化問題.

以上學(xué)者主要研究了橡膠件的靜力學(xué)問題和剛性桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動中的非線性動力學(xué)問題.本文主要分析帶有橡膠連桿的平行四邊形機(jī)構(gòu)的動力學(xué)行為，并用有限元法對其進(jìn)行剛?cè)狁詈戏治?，為含橡膠構(gòu)件的動力學(xué)研究和含大變形構(gòu)件的非線性研究提供參考.

1 含橡膠連桿的平行四邊形機(jī)構(gòu)簡介

圖1 為平行四邊形機(jī)構(gòu)示意圖.曲柄OA 是一個驅(qū)動曲柄，它以恒定速度旋轉(zhuǎn).連桿AB 的材料為橡膠，BC桿為從動曲柄.驅(qū)動曲柄OA的長度與從動曲柄BC的長度相同.連桿AB的長度與機(jī)架桿OC的長度相同.當(dāng)OA，AB，BC 和OC 均為剛性桿時，則OA 和BC 的轉(zhuǎn)速完全相同，即輸入轉(zhuǎn)速和輸出轉(zhuǎn)速相同.當(dāng)桿AB為橡膠材料時，橡膠材料的特性使得桿AB往往不能被認(rèn)為是一個剛性桿.在桿OA的驅(qū)動下，連桿AB 將發(fā)生較大的變形和彎曲，使得桿BC 的動力特性比全剛體時復(fù)雜得多.圖2 為橡膠連桿AB 的尺寸圖.連桿AB的有效長度為220 mm，連桿厚度為10 mm，呈細(xì)長孔狀（延長孔）.在桿AB兩側(cè)的半圓中心分別開一個直徑為15 mm 的軸承孔，兩個軸承孔與各自相連的兩個曲柄軸承孔平面鉸連接.曲柄OA 和曲柄BC的形狀相似，旋轉(zhuǎn)鉸中心的距離為100 mm.

圖1 平行四邊形機(jī)構(gòu)示意圖

圖2 橡膠連桿AB的尺寸圖

2 含橡膠連桿的平行四邊形機(jī)構(gòu)動力學(xué)分析

為了研究橡膠連桿的材料特性，本文采用有限元法將橡膠連桿生成了柔性體.利用SimDesigner 軟件調(diào)用MSC-Nastran 求解器計算橡膠連桿的大變形，并在動態(tài)仿真前將連桿作為柔性體激活.通過軟件仿真，可以一次計算出許多動態(tài)參數(shù).本文以從動曲柄的Y 方向位移、速度、加速度和角速度為研究對象，圖3為主動曲柄轉(zhuǎn)速為75 r/min時橡膠連桿平行四邊形機(jī)構(gòu)從動曲柄的動力學(xué)響應(yīng)時域圖.

圖3 主動曲柄轉(zhuǎn)速為75 r/min時橡膠連桿平行四邊形機(jī)構(gòu)從動曲柄的動力學(xué)響應(yīng)時域圖

從圖3（a）可以看出，剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)與全剛體平行四邊形系統(tǒng)的位移曲線幾乎重合，說明橡膠桿材料柔性對Y方向位移的影響不大.

從圖3（b）可以看出，剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)與全剛體平行四邊形系統(tǒng)的速度曲線相比較在上下頂點(diǎn)處有一些波動，波動約在三個周期（每個周期0.8 s）左右消失，大約從第七個周期開始逐漸增強(qiáng)，這也反映了橡膠材料的阻尼特性.從速度-時間動力響應(yīng)時域圖可以看出，波動逐漸減小，經(jīng)過一段時間后逐漸增大.

圖3（c）是全剛體系統(tǒng)和剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)在Y方向加速度的時域圖.在剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)中，加速度約在前三個周期時間內(nèi)的波動非常明顯，遠(yuǎn)大于圖3（a）和圖3（b）中的波動.研究還表明，加速度對橡膠材料的特性非常敏感，變化劇烈.從圖中還可以看出，前三個周期變化較大，然后波動變化逐漸減小.在曲柄轉(zhuǎn)動3～5 s時間內(nèi)，變化不大，與速度的時域圖狀態(tài)相似.可以近似地認(rèn)為，前3 s的加速度變化是非周期性的，3～5 s是周期性的，5 s后的非周期性信號和波動變化是逐漸增強(qiáng)的.

圖3（d）是角速度的時域圖.圖中實(shí)線為全剛體（7.853 rad/s）系統(tǒng)從動曲柄的角速度.角速度時域圖與加速度時域圖在Y 方向的變化趨勢相似.轉(zhuǎn)動開始時，波動較大，約3 s后開始減小，3～5 s接近周期性信號，5 s后波動逐漸增大.

3 系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別

3.1 相圖觀測法

相圖觀測法是判斷系統(tǒng)運(yùn)動穩(wěn)定性最直接的方法之一.如果系統(tǒng)在多個運(yùn)動周期中的相圖是同一條閉合曲線，則可以認(rèn)為系統(tǒng)是周期性運(yùn)動.如果相圖是一條多周期、無重復(fù)的曲線，則系統(tǒng)運(yùn)動可視為非周期性運(yùn)動.它是否是混沌運(yùn)動，還需要用其他判據(jù)進(jìn)一步分析.圖4為從動曲柄的運(yùn)動響應(yīng)相圖.

圖4 從動曲柄的運(yùn)動響應(yīng)相圖

圖4 （a）是從動曲柄中心點(diǎn)Y 方向速度和加速度的相圖.全剛體系統(tǒng)的速度和加速度的相圖是非常平坦的橢圓形狀，剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的位移和加速度相圖變化劇烈.

圖4（b）是從動曲柄中心點(diǎn)Y 方向位移和加速度的相圖.全剛體系統(tǒng)的位移和加速度相圖近似于一條100 mm長的 “線段” ，剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的位移和加速度相圖圍繞這條線段跳躍并劇烈變化.

圖4（c）是從動曲柄中心點(diǎn)Y 方向位移和速度的相圖，與前兩個相圖相比，相圖清晰得多.從圖中可以看出，帶有橡膠連桿的從動曲柄的運(yùn)動是混沌的.

3.2 計算最大Lyapunov指數(shù)的判別法

計算最大Lyapunov 指數(shù)是判斷系統(tǒng)是否混沌的定性方法之一.如果計算得到的系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于零，通?？梢杂脕砼袛嘞到y(tǒng)的運(yùn)動是混沌的.

將從動曲柄Y方向加速度仿真計算的數(shù)據(jù)導(dǎo)出到MATLAB軟件中，通過WOLF方法計算最大Lyapunov指數(shù).圖5 為當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)速為75 r/min 時的Lyapunov 譜，求得的最大Lyapunov 指數(shù)為0.018.圖6 為當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)速為60，90，120 r/min時，求得的最大Lyapunov指數(shù)分別為0.024 6，0.067 6和0.063 3.

在上述四種速度下計算得到的最大Lyapunov指數(shù)均為正數(shù)，可以判斷從動曲柄的運(yùn)動是混沌的.

圖5 轉(zhuǎn)速為75 r/min時的Lyapunov指數(shù)

圖6 轉(zhuǎn)速為60，90，120 r/min時的Lyapunov指數(shù)

4 結(jié)論

本文采用有限元法對柔性體進(jìn)行建模，并利用動力學(xué)仿真軟件對帶橡膠連桿的平行四邊形機(jī)構(gòu)的動力學(xué)行為進(jìn)行了計算.通過分析Y 方向加速度和從動曲柄角速度的時域圖，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在運(yùn)動時間上同時存在周期性運(yùn)動和非周期性運(yùn)動.利用相圖和最大Lyapunov 指數(shù)判斷系統(tǒng)中從動曲柄的運(yùn)動是混沌的.