史亦凡，管小榮，李回濱，李 仲

(南京理工大學 機械工程學院, 南京 210094)

隨著近些年來各行各業(yè)對機器人技術(shù)日益增長的需求，以及機器人產(chǎn)業(yè)的飛速發(fā)展，催生了研發(fā)更智能機器人來滿足日常生活、生產(chǎn)中的各種需求。與傳統(tǒng)工業(yè)機器人相比，外肢體機器人可操作性性更強，它可以直接聽從人下達的指令，彌補了人體手臂存在的不足。美國麻省理工大學的Federico Parietti等人開發(fā)出了一種多余機械外肢(Supernumerary Robotic limb,SRL)，其主要功能包括復(fù)雜作業(yè)環(huán)境下的人體支撐、改善人體步態(tài)平衡、協(xié)助作業(yè)等，應(yīng)用場景包括飛機制造、建筑工地、老年人生活輔助以及步態(tài)平衡等[1-3]。日本慶應(yīng)大學的Yamen Saraiji等人設(shè)計了一種名為MetaLimbs的外肢體機器人，使用了足部的彎曲傳感器檢測腳趾的彎曲用于控制靈巧手，并應(yīng)用運動跟蹤系統(tǒng)檢測穿戴者足部位置用于控制手臂末端位置[4-5]。美國佐治亞理工學院Roozbeh Khodambashi等人研制了一種四自由度的單臂外肢體機器人并將研究成果應(yīng)用到打擊樂器的演奏[6]。

由于大多數(shù)機器人系統(tǒng)相對復(fù)雜，其運動學和動力學建模具有一定的難度，在對多自由度機器人建立運動模型的過程中，例如關(guān)節(jié)摩擦等很多非人為因素都會造成計算結(jié)果的誤差。在機器人的控制方法研究中，建立準確的數(shù)學模型具有至關(guān)重要的作用，所以研究一種高效的機器人建模方法具有十分重要的意義?，F(xiàn)有大多數(shù)研究機器人數(shù)學模型的方法是基于D-H法。通過建立各個關(guān)節(jié)的局部坐標系來推導出末端相對于基礎(chǔ)坐標系的位置.但對于每個局部坐標系的建立，操作復(fù)雜，運算繁瑣，且沒有明顯的幾何意義。相對于D-H法，運用旋量理論建立機器人數(shù)學模型只需要建立物體坐標系和工具坐標系，更適合于描述機器人整體的運動過程，更加方便實用[7]。

本文運用旋量理論建模方法，建立了外肢體機器人的運動學以及動力學模型。并通過動力學模型設(shè)計了外肢體機器人模糊補償控制器，對外肢體機器人期望軌跡進行跟蹤。這些研究內(nèi)容對深刻認識外肢體機器人具有十分重要的意義，也對研究其他串聯(lián)機器人的運動學及動力學問題具有一定的參考價值。

1 外肢體機器人設(shè)計

外肢體機器人三維模型如圖1，結(jié)構(gòu)如圖2所示，采用三連桿結(jié)構(gòu)，由前臂、后臂、基座以及3個驅(qū)動電機組成。外肢體機器人通過立柱電機和兩個關(guān)節(jié)電機帶動末端夾持器按照規(guī)劃的運動軌跡來運動，從而幫助用戶來完成一系列單人難以完成的復(fù)雜任務(wù)。外肢體機器人整體有3個自由度，底座高0.2 m，前臂和后臂的最小長度為0.3 m，為了提高外肢體機器人對不同任務(wù)的通用性，前后臂長度均為可調(diào)節(jié)，以適用于不同的任務(wù)場景和用戶。

圖1 外肢體機器人三維模型示意圖

圖2 外肢體機器人結(jié)構(gòu)示意圖

2 外肢體機器人運動學分析

2.1 機器人運動學建模

簡化外肢體機器人機構(gòu)，以基座為原點建立基礎(chǔ)坐標系S，以外肢體末端建立工具坐標系T，如圖3所示[8-9]。

圖3 外肢體機器人機構(gòu)運動坐標系

θ=0時基礎(chǔ)坐標系與工具坐標系的變換為：

(1)

轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)運動旋量為：

(2)

取軸線上的點：

(3)

運動旋量為：

(4)

根據(jù)指數(shù)積公式可求得機械臂的運動學模型：(記ci=cosθisi=sinθi)

(5)

(6)

(7)

(12)

用指數(shù)積公式展開各式得：

(8)

機械外肢體的姿態(tài)矩陣：

(9)

r11=c1,r12=s1(s2s3-c2c3)

r13=-s1(c2s3+s2c3),r21=s1

r22=c1(c2c3-s2s3),r23=c1(c2s3+s2c3)

r31=0,r32=-c2s3-s2c3,r33=c2c3-s2s3

機械外肢體末端的位置向量：

(10)

其中記：

p11=c2s1(l0s3+l1(c3-1))-l0(c2s1s3+

c3s1s2)-(l1+l2)(c2c3s1-s1s2s3)-

s1s2(l1s3-l0(c3-1))+l0s1s2

p21=(l1+l2)(c1c2c3-c1s2s3)+l0(c1c2s3+

c1c3s2)-c1c2(l0s3+l1(c3-1))+

c1s2(l1s3-l0(c3-1))-l0c1s2

p31=l0(c2c3-s2s3)-l0(c2-1)-(l1+l2)·

(c2s3+c3s2)+c2(l1s3-l0(c3-1))+

s2(l0s3+l1(c3-1))

2.2 機器人運動學仿真

利用MATLAB機器人工具箱創(chuàng)建外肢體機器人模型，我們可以通過仿真外肢體機器人裝配壁掛板時的場景(如圖4)來定義外肢體機器人初始狀態(tài)關(guān)節(jié)變量和目標狀態(tài)關(guān)節(jié)變量。仿真完成得到外肢體機器人末端相對于基座的位姿，即此時外肢體機器人的運動學正解，外肢體機器人運動學模型如圖5所示，其中各個關(guān)節(jié)的位置曲線、速度曲線和加速度曲線如圖6所示。

圖4 外肢體機器人使用場景示意圖

圖5 外肢體機器人運動學模型示意圖

圖6 各關(guān)節(jié)位置曲線、速度曲線和加速度曲線

將目標狀態(tài)關(guān)節(jié)變量代入機器人運動學正解式中，得到表1所示機器人末端位移的運動學方程計算結(jié)果與基于 D-H 理論的MATLAB建模仿真結(jié)果。其中p11、p21、p31為理論值，即為運用旋量理論建立的外肢體數(shù)學模型計算出的結(jié)果；x、y、z為仿真值，即為運用MATLAB機器人工具箱建立的外肢體機器人模型仿真結(jié)果。

由以上數(shù)據(jù)可以看出，運動學方程計算結(jié)果與MATLAB建模仿真結(jié)果之間誤差不超過1%，驗證了外肢體機器人運動學方程的準確性和可行性，同時也證明了基于旋量理論的運動學建模方法在比采用傳統(tǒng)的D-H法更加簡化的同時還能保證其準確性。通過圖6可以看出，外肢體機器人的速度曲線以及加速度曲線均較為平滑，且各關(guān)節(jié)及末端能夠平穩(wěn)地由初始狀態(tài)運動到最終狀態(tài)，說明外肢體機器人能夠較為平穩(wěn)的完成假設(shè)任務(wù)。運動學模型的正確建立也為動力學模型的構(gòu)建和運動控制提供了參考依據(jù)[10]。

3 外肢體機器人動力學分析

3.1 機器人動力學建模

運動學分析已經(jīng)求得了外肢體各個關(guān)節(jié)的運動旋量：

(11)

如圖7所示，在各個連桿的質(zhì)心處建立一個坐標系，坐標軸的方向與連桿慣性的主軸方向相同：

(12)

(13)

(14)

圖7 機器人機構(gòu)動力學坐標系

為計算外肢體的慣性矩陣，需要先計算各連桿的雅可比矩陣。經(jīng)具體計算后得：(記：ci=cosθi,cij=cos(θi+θj),si=sinθi,sij=sin(θi+θj))

(15)

(16)

(17)

系統(tǒng)的慣性矩陣為：

(18)

其中：

M12=0,M13=0,M21=0

M31=0

根據(jù)慣性矩陣計算得出哥式力和離心力：

(19)

經(jīng)計算可得非零的Γijk值為：

Γ113=(Iy3-Iz3)c23s23

c23s23-m3(l1c2+r2c23)(l1s2+r2c23)

Γ131=(Iy3-Iz3)c23s23-m3r2s23(l1c2+r2c23)

c23s23-m3(l1c2+r2c23)(l1s2+r2c23)

Γ223=-l1m3r2s3

重力矩陣為：

(20)

至此，完成外肢體動力學建模。

3.2 機器人動力學仿真

根據(jù)外肢體機器人幫助工人裝配壁掛板時的場景，可以通過MATLAB編程計算出動力學模型每個關(guān)節(jié)的理論力矩。各個關(guān)節(jié)的理論驅(qū)動力矩計算值如圖8所示。

圖8 各關(guān)節(jié)理論驅(qū)動力矩計算值曲線

在ADAMS中對機器人模型添加質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量和材料屬性等信息，在基座和地面之間添加固定約束，對每個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)添加旋轉(zhuǎn)副。將前面各關(guān)節(jié)角度變化值導入ADAMS中作為驅(qū)動函數(shù)，每個關(guān)節(jié)添加兩個傳感器以約束關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)的范圍。ADAMS虛擬樣機模型如圖9所示，仿真得到各關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩曲線如圖10所示。由于虛擬樣機模型與理論動力學模型有一定差距，但通過外肢體機器人動力學模型計算結(jié)果和ADAMS仿真結(jié)果對比可以看出兩種結(jié)果具有相似性，證明了所建立的動力學模型的準確性。進一步，從各個關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩曲線也可以看出在整個運動過程中，驅(qū)動各關(guān)節(jié)的力矩都在較小的范圍內(nèi)變化，因此認為在這個過程中沒有出現(xiàn)沖擊載荷的現(xiàn)象，證明了使用外肢體機器人完成具體任務(wù)的可行性[11]。

圖9 外肢體機器人Adams虛擬樣機模型

圖10 各關(guān)節(jié)仿真驅(qū)動力矩曲線

3.3 基于動力學模型的模糊補償控制

通過已知的動力學模型設(shè)計一種模糊自適應(yīng)控制器，并通過對外肢體期望軌跡的跟蹤來驗證模糊自適應(yīng)控制器的可行性。由于在外肢體機器人系統(tǒng)中，每個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)或多或少都具有摩擦特性，在外肢體動力學模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)基于傳統(tǒng)模糊補償?shù)目刂品椒▉碓O(shè)計控制律[12]。

模糊自適應(yīng)控制律設(shè)計為：

(21)

模糊系統(tǒng)設(shè)計為：

(22)

取控制器設(shè)計參數(shù)為：λ1=λ2=λ3=10,KD=20I,Γ1=Γ2=0.000 1取系統(tǒng)初始狀態(tài)為：

q1(0)=q2(0)=q3(0)=0

(23)

(24)

取摩擦項為：

(25)

在魯棒控制律中取W=diag[2,2,2]，模糊系統(tǒng)權(quán)值中每個元素初值取0.1。

控制目標是三關(guān)節(jié)的輸出q1、q2和q3能夠分別跟蹤期望軌跡qd1=0.3sint、qd2=0.3sint和qd3=0.3sint。仿真結(jié)果如圖11、圖12和圖13。

圖11 各關(guān)節(jié)角度跟蹤曲線

圖12 各關(guān)節(jié)摩擦及其補償曲線

圖13 各關(guān)節(jié)控制輸入曲線

由圖11、圖12和圖13所示仿真曲線可以看出，在外肢體機器人控制系統(tǒng)中，采用考慮了摩擦補償?shù)淖赃m應(yīng)模糊控制，外肢體機器人各關(guān)節(jié)的位置和速度都能夠很好的跟蹤預(yù)期軌跡。同時表明，模糊補償?shù)目刂品椒ň哂恤敯粜院?，精度高等特點，具有較好的控制效果，從而實現(xiàn)對外肢體機器人預(yù)期軌跡的高精度跟蹤，為外肢體機器人電機選型和控制器參數(shù)選擇提供了一定的理論依據(jù)。

4 結(jié)論

1) 基于旋量理論構(gòu)建了外肢體機器人運動學和動力學模型，驗證了模型的準確性；為外肢體機器人設(shè)定具體工作任務(wù)，并根據(jù)任務(wù)對外肢體機器人各關(guān)節(jié)位置、速度和加速度進行了分析，不會出現(xiàn)沖擊載荷，證明了使用外肢體機器人完成具體任務(wù)的可行性；

2) 基于摩擦的模糊補償控制器的研究和仿真，實現(xiàn)了對外肢體機器人預(yù)期軌跡的高精度跟蹤，為以后電機選型和控制器參數(shù)選擇提供了理論依據(jù)。

3) 外肢體機器人系統(tǒng)的運動學、動力學特性分析對于外肢體機器人動態(tài)性能和靜態(tài)特性的研究及其控制具有重要意義，也為提升外肢體機器人的工作精度、穩(wěn)定性、空間分辨率等方面奠定了基礎(chǔ)。