□楊明嵐

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》十分強(qiáng)調(diào)數(shù)與運(yùn)算的一致性，主要包括感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性和體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性兩個(gè)方面。在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，要建立數(shù)的概念與數(shù)的運(yùn)算之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，通過(guò)數(shù)的意義理解數(shù)的運(yùn)算，突出“數(shù)”與“運(yùn)算”的一致性。

整數(shù)的除法運(yùn)算是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算，除法運(yùn)算的意義依附于乘法運(yùn)算，其核心是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的均分。那么，如何在整數(shù)除法運(yùn)算教學(xué)中滲透運(yùn)算的一致性呢？下面以人教版教材三年級(jí)下冊(cè)“除數(shù)是一位數(shù)的除法”單元為例展開單元整體教學(xué)的研究。

一、教材內(nèi)容分析

（一）除法運(yùn)算

人教版教材分三個(gè)階段編排除法運(yùn)算：第一階段“整數(shù)除法”，其實(shí)質(zhì)是將被除數(shù)按不同計(jì)數(shù)單位進(jìn)行分解，并利用分配律進(jìn)行解構(gòu)再細(xì)分；第二階段“小數(shù)除法”，其實(shí)質(zhì)是“披著小數(shù)外衣的整數(shù)除法運(yùn)算”；第三階段“分?jǐn)?shù)除法”，目的是建立與整數(shù)除法的關(guān)系，貫通整數(shù)與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。

除法運(yùn)算的一致性體現(xiàn)為計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相除，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相除。將“除數(shù)是一位數(shù)的除法”教學(xué)單元置于“除法運(yùn)算”的結(jié)構(gòu)中進(jìn)行整體考量，凸顯了內(nèi)容的整體性、原理的一致性及目標(biāo)的進(jìn)階性。

（二）整數(shù)除法運(yùn)算

對(duì)于整數(shù)除法運(yùn)算，人教版教材依次編排了“表內(nèi)除法”“有余數(shù)的除法”“除數(shù)是一位數(shù)的除法”“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”等內(nèi)容。在二年級(jí)下冊(cè)“表內(nèi)除法（一）”和“表內(nèi)除法（二）”單元，學(xué)生第一次接觸除法，理解除法的含義，認(rèn)識(shí)除法是乘法的逆運(yùn)算；在“有余數(shù)的除法”單元，學(xué)生第一次接觸除法豎式；到三年級(jí)下冊(cè)“除數(shù)是一位數(shù)的除法”單元，學(xué)生開始理解除法豎式的算理與算法；最后，在四年級(jí)上冊(cè)“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元，除數(shù)由一位數(shù)擴(kuò)展至多位數(shù)。整個(gè)“整數(shù)除法運(yùn)算”（如圖1）通過(guò)橫向打通知識(shí)脈絡(luò)，與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系。

圖1

（三）除數(shù)是一位數(shù)的除法

“除數(shù)是一位數(shù)的除法”是“整數(shù)除法運(yùn)算”中的關(guān)鍵單元，具有承上啟下的作用。本單元按照“口算除法—筆算除法—用估算解決問(wèn)題”的順序編排教學(xué)內(nèi)容。這樣的編排序列在實(shí)際教學(xué)中有一定的合理性，但結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)來(lái)分析，有兩個(gè)問(wèn)題值得探討：一個(gè)是口算除法中編排的例題難度較小、梯度過(guò)緩，導(dǎo)致多數(shù)學(xué)生只關(guān)注除的“結(jié)果”，而忽視除的“理”和“過(guò)程”。從算理與算法間的關(guān)系看，口算除法的算法是筆算除法的算理。另一個(gè)是知識(shí)板塊缺少銜接，不利于內(nèi)容的整體關(guān)聯(lián)。首先，口算除法與表內(nèi)除法關(guān)聯(lián)不夠。教學(xué)口算除法應(yīng)與表內(nèi)除法均分的過(guò)程密切聯(lián)系，如針對(duì)教材提供的素材“10 張一沓的彩紙”，就需要讓學(xué)生經(jīng)歷“為什么選擇6 個(gè)十均分，而不選擇60 個(gè)一均分”的深度思考。其次，筆算除法與口算除法關(guān)聯(lián)不夠，學(xué)生不理解“有口算方法了為何還要學(xué)豎式方法”。

二、學(xué)情分析

在遵循學(xué)科邏輯的基礎(chǔ)上，教學(xué)時(shí)還要遵循學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)。為精準(zhǔn)把握“除數(shù)是一位數(shù)的除法”單元中學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，了解學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)疑難點(diǎn)，筆者在教學(xué)前組織了一次單元知識(shí)的前測(cè)，隨機(jī)抽取80名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，具體情況如下。

測(cè)試題目1：口算120÷3=、66÷3=，用自己的方法清楚地表示計(jì)算的過(guò)程。

測(cè)試結(jié)果顯示，兩道口算題學(xué)生的正確率達(dá)97.5%。部分學(xué)生用橫式來(lái)表示計(jì)算過(guò)程，如“120÷3”，因?yàn)?2÷3=4，所以120÷3=40；又如“66÷3”，因?yàn)?0÷3=20，6÷3=2，所以20+2=22。部分學(xué)生用圓圈圖（120 個(gè)圓圈）、小棒圖（120 根小棒）圈出結(jié)果。少部分學(xué)生用12捆小棒圈出均分的結(jié)果。

測(cè)試題目2：筆算69÷3=、72÷3=、327÷3=，用列豎式的方法表示計(jì)算的過(guò)程。

測(cè)試結(jié)果顯示：只有約12.5%的學(xué)生能正確運(yùn)用除法豎式進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)訪談得知，他們是通過(guò)看書、父母告知等途徑習(xí)得計(jì)算方法的；約18.8%的學(xué)生是將加、減、乘的豎式書寫（從上往下寫）經(jīng)驗(yàn)遷移至了除法豎式；約46.3%的學(xué)生用一層的除法豎式書寫。分析測(cè)試結(jié)果可知，多數(shù)學(xué)生不會(huì)用多層豎式書寫，不理解除法豎式中每一步的含義。

前測(cè)結(jié)果表明，學(xué)生口算的正確率非常高。從技能層面看，學(xué)生能自主遷移運(yùn)用乘法口訣進(jìn)行計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算的技能；從理解層面看，有少部分學(xué)生能解釋這樣運(yùn)算的道理，但多數(shù)學(xué)生只關(guān)注除的“結(jié)果”，而忽視除的“理”?；谏鲜龇治觯瑢W(xué)生學(xué)習(xí)本單元內(nèi)容時(shí)存在三方面的難點(diǎn)：一是理解口算除法時(shí)，對(duì)把被除數(shù)按計(jì)數(shù)單位分解成若干個(gè)部分（如66可以看作6個(gè)十和6個(gè)一），再均分每部分單位的個(gè)數(shù)（如先分6 個(gè)十，平均分成3 份，每份是2 個(gè)十；再分6 個(gè)一，平均分成3 份，每份是2 個(gè)一）的理解存在障礙；二是對(duì)除法豎式的價(jià)值理解、算理理解和豎式的含義無(wú)法同步匹配，即在理解除法豎式每一個(gè)數(shù)的含義、每一層均分的含義上存在困難；三是在除法豎式中，隨著被除數(shù)的增大，商的位數(shù)增多（出現(xiàn)商中間有0的情況），學(xué)生在運(yùn)用多層記錄的方式進(jìn)行計(jì)算時(shí)遇到了挑戰(zhàn)。因此，教師需要進(jìn)一步思考兩個(gè)問(wèn)題：一是如何遷移數(shù)的意義，深度理解除法的意義；二是如何獲得算理的支持，理解除法豎式每一步的含義。

三、單元教學(xué)框架重構(gòu)

（一）單元核心概念提煉

核心概念指向數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)的主干部分，能反映學(xué)科對(duì)象本質(zhì)關(guān)聯(lián)的內(nèi)容。本單元內(nèi)容由“數(shù)的意義”引申出“數(shù)的結(jié)構(gòu)”，即“數(shù)＋計(jì)數(shù)單位”。其中，“計(jì)數(shù)單位”是數(shù)的構(gòu)成的核心。據(jù)此，本單元的核心概念可提煉為“均分計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)”，也就是對(duì)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的運(yùn)算。在此基礎(chǔ)上，確立“除數(shù)是一位數(shù)的除法”的單元目標(biāo)：（1）通過(guò)數(shù)的意義的遷移，自主探索“除數(shù)是一位數(shù)的除法”的算法和算理，并能靈活選擇合適的算法解決實(shí)際問(wèn)題；（2）在探索一位數(shù)除多位數(shù)的方法及估算方法的過(guò)程中，提高運(yùn)算能力和推理意識(shí)，積累數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗(yàn)。

（二）單元核心內(nèi)容重構(gòu)

基于以上分析，筆者對(duì)“除數(shù)是一位數(shù)的除法”單元的教學(xué)內(nèi)容作了適度的調(diào)整（如表1）。

表1

重構(gòu)后的教學(xué)內(nèi)容主要有如下變化。

1.聯(lián)系數(shù)的意義，理解除法運(yùn)算的原理

從運(yùn)算的意義看，數(shù)的運(yùn)算源自數(shù)的意義，即對(duì)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的運(yùn)算。因此，筆者將“均分計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)”確立為單元核心概念，以此串聯(lián)本單元的課時(shí)學(xué)習(xí)。重構(gòu)后的理解算理課是本單元的關(guān)鍵板塊，筆者有機(jī)整合“口算除法”的3 個(gè)例題，設(shè)計(jì)“分一分1（每一位都能均分）”“分一分2（某一位不能均分）”兩個(gè)學(xué)習(xí)進(jìn)階活動(dòng)，讓學(xué)生借助“分小棒”的過(guò)程，在求同尋異中理解被除數(shù)按計(jì)數(shù)單位進(jìn)行“拆—除—合”的運(yùn)算過(guò)程，體會(huì)快捷計(jì)數(shù)的價(jià)值。

2.關(guān)聯(lián)計(jì)數(shù)原理，遷移筆算除法的技能

從運(yùn)算的一致性看，加、減、乘、除運(yùn)算都是“數(shù)”計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的運(yùn)算。本單元的“筆算除法”是形成算法的關(guān)鍵板塊，筆者嘗試聯(lián)系“口算除法”中“分小棒”的過(guò)程，設(shè)計(jì)“除法豎式”的三個(gè)學(xué)習(xí)進(jìn)階活動(dòng)，將“分小棒”的過(guò)程與除法豎式分層記錄的過(guò)程結(jié)合起來(lái)，幫助學(xué)生理解豎式的含義；同時(shí)建立“加法、減法、乘法、除法”豎式之間的聯(lián)系，讓學(xué)生理解豎式是記錄計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的運(yùn)算，感悟運(yùn)算原理的一致性，實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，促進(jìn)學(xué)生思維的結(jié)構(gòu)化發(fā)展。

四、單元教學(xué)課堂實(shí)踐

基于上述分析，筆者圍繞單元重構(gòu)后的3個(gè)關(guān)鍵課例進(jìn)行例證。

【課例1】分一分1（每一位都能除盡）

1.回顧舊知，理解意義

教師直接出示題目：口算6÷3=、69÷3=。問(wèn)題1：6個(gè)一平均分成3份，均分了幾次？

問(wèn)題2：按照6÷3 的分法，69 個(gè)一平均分成3份，需要均分幾次？

2.畫圖表征，理解算理

教師布置學(xué)習(xí)任務(wù)：有沒有一種簡(jiǎn)便的分法能讓69÷3分的次數(shù)最少，可以畫一畫、寫一寫。

對(duì)比分析：這些作品（如圖2）中有什么相同的地方？

圖2

3.關(guān)聯(lián)方法，遷移技能

教師出示題目：口算369÷3=、6369÷3=。

問(wèn)題1：這兩道題目分別需要均分幾次？

問(wèn)題2：均分的道理和69÷3一樣嗎？如果是五位數(shù)、六位數(shù)呢？

【課例2】分一分2（某一位不能除盡）

核心環(huán)節(jié)教學(xué)：對(duì)比溝通，理解算理的一致性。

教師布置學(xué)習(xí)任務(wù)：分一分，圈一圈，清楚地表示兩次分的過(guò)程。

全班交流反饋：均分的過(guò)程中遇到了什么新問(wèn)題？你們是怎么解決的？

師：你們是怎樣均分的？

生：42÷3 是將十位的4 個(gè)十平均分成3 份，每份分到1 個(gè)十，還剩1 個(gè)十，再把1 個(gè)十拆成10 個(gè)一，與個(gè)位的“2個(gè)一”合起來(lái)再分（如圖3）。

圖3

生：43÷3的分法和42÷3的分法基本一樣，不一樣的是43÷3分到最后個(gè)位還有余數(shù)1（如圖4）。

圖4

師：是的，個(gè)位有余數(shù)。那如果還要繼續(xù)均分，怎么辦？

生：把個(gè)位的余數(shù)“1”變成更小的計(jì)數(shù)單位后再分。

生：均分24÷3 時(shí)，十位的“2 個(gè)十”不夠平均分成3份，所以要把2個(gè)十變成20個(gè)一，和個(gè)位的4個(gè)一合成24個(gè)一后再分。

小結(jié)：被除數(shù)是幾位數(shù)就均分幾次，不夠分的時(shí)候，先將大的計(jì)數(shù)單位細(xì)分成小的計(jì)數(shù)單位再繼續(xù)均分，除法就是將計(jì)數(shù)單位細(xì)分再不斷均分的過(guò)程。

【課例3】除法豎式1（被除數(shù)是兩位數(shù)）

1.數(shù)形結(jié)合，理解豎式

教師布置學(xué)習(xí)任務(wù)：用豎式記錄69÷3 兩次均分小棒的過(guò)程和結(jié)果。

教師用課件演示兩次均分小棒的過(guò)程（如圖5）。

對(duì)比學(xué)生用豎式記錄的多種方法（如圖6）。

圖6

問(wèn)題1：哪一個(gè)豎式把剛才兩次均分小棒的過(guò)程毫無(wú)遺漏地記錄下來(lái)了？

問(wèn)題2：結(jié)合口算除法中兩次分小棒的過(guò)程，哪個(gè)豎式能顯示兩次均分小棒的過(guò)程？

問(wèn)題3：②號(hào)豎式和③號(hào)豎式有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

小結(jié)：第一次分完6 捆小棒后沒有剩余，可記為“0”（如圖7），這樣就能毫無(wú)遺漏地把兩次均分的過(guò)程都記錄下來(lái)。

圖7

2.思維關(guān)聯(lián)，深化算理

教師布置學(xué)習(xí)任務(wù)：用豎式計(jì)算42÷3=、43÷3=、24÷3=。

問(wèn)題1：你能在豎式中找到兩次均分的過(guò)程嗎？

問(wèn)題2：第一次均分的過(guò)程中遇到了什么問(wèn)題？你是怎么解決的？

3.內(nèi)容關(guān)聯(lián)，關(guān)注一致

教師布置學(xué)習(xí)任務(wù)：用豎式計(jì)算69÷30。

問(wèn)題：你能在豎式中找到每次均分的過(guò)程嗎？

“除數(shù)是一位數(shù)的除法”單元是整數(shù)除法的關(guān)鍵單元。教學(xué)時(shí)，可以“均分計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)”這一核心概念統(tǒng)攝整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，通過(guò)3個(gè)例證內(nèi)容滲透運(yùn)算的一致性，讓學(xué)生理解“除數(shù)是一位數(shù)的除法”的算理與算法，向前聯(lián)系“表內(nèi)除法”的均分經(jīng)驗(yàn)，向后連接“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”“小數(shù)除法”，將本單元置于整體教學(xué)中，凸顯知識(shí)原理的一致性。