王佰超，許鎮(zhèn)全，王德民，路先亭

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

傳統(tǒng)的齒輪為單自由度傳動(dòng)，如圓柱齒輪、圓錐齒輪等都只能傳遞軸線相對(duì)位置不變的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，但不能滿足新興領(lǐng)域?qū)Χ鄠鲃?dòng)自由度的要求，如機(jī)器人、仿生和矢量推進(jìn)技術(shù)領(lǐng)域[1]，多自由度齒輪由此發(fā)展。

多自由度齒輪也稱為球齒輪，現(xiàn)有漸開(kāi)線環(huán)形齒球齒輪具有2運(yùn)動(dòng)自由度[2]，克服Trallfa球齒輪具有傳動(dòng)原理誤差和加工難度大的缺陷，但無(wú)法實(shí)現(xiàn)相交軸間的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)傳遞[3]。而另一種雙自由度半球型錐齒輪[4]結(jié)構(gòu)，可實(shí)現(xiàn)變相交軸夾角的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)傳遞，同樣具備2運(yùn)動(dòng)自由度，該球齒輪副避免由圓錐齒輪組合機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)雙自由度所帶來(lái)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和龐大的體積，且彌補(bǔ)漸開(kāi)線環(huán)形齒球齒輪無(wú)法繞其極軸進(jìn)行回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)傳遞的缺陷，可用于機(jī)器人手腕、仿生關(guān)節(jié)等機(jī)構(gòu)。

對(duì)于半球型錐齒輪的研究，目前只是對(duì)其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，未對(duì)其嚙合原理進(jìn)行研究，以及缺少齒面數(shù)學(xué)模型。在漸開(kāi)線環(huán)形齒球齒輪齒面形成原理基礎(chǔ)上，基于雙參數(shù)齒面包絡(luò)原理，提出了一種半球型錐齒輪的設(shè)計(jì)方法，完善多自由度球齒輪副的二維回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)傳遞形式。

1 半球型錐齒輪嚙合原理

半球型錐齒輪副間的嚙合傳動(dòng)相當(dāng)于一對(duì)節(jié)球間的純滾動(dòng)。如圖1所示，半球型錐齒輪副實(shí)現(xiàn)任意相交軸交角?的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)傳遞，其中0

圖1 半球型錐齒輪副傳動(dòng)

考慮到圓錐齒輪的齒面可由冠輪齒面包絡(luò)生成[5]，半球型錐齒輪齒面可由具有雙運(yùn)動(dòng)參數(shù)的冠輪與齒輪的共軛運(yùn)動(dòng)中生成。冠輪節(jié)圓平面與節(jié)球相切，節(jié)圓中心為回轉(zhuǎn)軸與節(jié)圓平面的交點(diǎn)。在任意軸交角位置，半球型錐齒輪與冠輪的嚙合相當(dāng)于厚度為無(wú)限小的圓錐齒輪與冠輪間的傳動(dòng)。

由于半球型錐齒輪副在一定軸交角位置下的嚙合等價(jià)于一對(duì)厚度無(wú)限小的圓錐齒輪傳動(dòng)，即半球型錐齒輪的端面齒廓與圓錐齒輪相同，故一對(duì)半球型錐齒輪副在一定軸交角下的當(dāng)量齒輪為錐齒輪。根據(jù)上述分析，半球型錐齒輪副的嚙合在端面內(nèi)進(jìn)行的，因此其正確嚙合條件為在各軸交角?下，該齒輪的端面模數(shù)與壓力角分別相同，即：

式中，?1和?2為半球型錐齒輪副端面齒廓節(jié)錐角，且?1+?2=?。由于半球型錐齒輪與圓錐齒輪的端面齒廓相同，則在各軸交角下的重合度與其當(dāng)量圓錐齒輪相同。

2 冠輪齒面方程

冠輪為圓錐齒輪在節(jié)錐角為π/2時(shí)的特殊情況，此時(shí)節(jié)錐表面為圓平面。將冠輪作為產(chǎn)形齒條，在共軛運(yùn)動(dòng)中包絡(luò)出半球型錐齒輪的工作齒面。采用坐標(biāo)變換方法[6]推導(dǎo)出冠輪的齒面方程。如圖2所示，坐標(biāo)系原點(diǎn)均在節(jié)錐平面中心，z3軸垂直節(jié)錐平面，輪齒兩齒側(cè)表面關(guān)于平面y3O3z3對(duì)稱，y1,y2軸過(guò)節(jié)點(diǎn)且位于齒側(cè)表面。

圖2 冠輪齒廓

在坐標(biāo)系S0(x0,y0,z0)中，冠輪齒面任一點(diǎn)p表示為[0,ρ,0]T，其中ρ為p點(diǎn)矢量長(zhǎng)度。坐標(biāo)系S0到S3的變換矩陣為：

式中，L30為坐標(biāo)系S0到S3的變換矩陣；θp為節(jié)圓齒厚，且θ=θp/2。根據(jù)上式，冠輪的齒面方程為：

3 半球型錐齒輪齒面方程

圖3為冠輪與半球型錐齒輪的共軛運(yùn)動(dòng)模型，冠輪工作齒面作為產(chǎn)形齒條包絡(luò)出半球型錐齒輪齒面[7]。垂直冠輪節(jié)圓平面的z1t軸在初始位置與半球型錐齒輪節(jié)球的z20軸重合。冠輪從初始位置以速度V10移動(dòng)，同時(shí)以角速度ω(1)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)φ1，則半球型錐齒輪分別以角速度ω(3)和ω(2)轉(zhuǎn)動(dòng)β和i?φ1。

圖3 冠輪與半球型錐齒輪運(yùn)動(dòng)模型

為了描述上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程，建立輔助坐標(biāo)系S1t(x1t,y1t,z1t)和S2t。固定系S20繞x20軸轉(zhuǎn)動(dòng)β至坐標(biāo)系S2t，再繞z2t轉(zhuǎn)動(dòng)i?φ1至坐標(biāo)系S2t；坐標(biāo)系S1t隨同節(jié)圓平面移動(dòng)，再繞z1t軸轉(zhuǎn)動(dòng)φ1至坐標(biāo)系S1。各坐標(biāo)系之間的變換矩陣為：

式中，M201為從坐標(biāo)系S1到S20的變換矩陣，M220與之同理。

根據(jù)雙參數(shù)包絡(luò)原理，采用運(yùn)動(dòng)法推導(dǎo)冠輪與半球型錐齒輪的嚙合方程[8]。在固定系S20下，冠輪齒面與半球型錐齒輪齒面接觸點(diǎn)處相對(duì)速度為：

將式（3）、式（4）、式（6）和式（7）代入嚙合方程中，用Mathematica符號(hào)計(jì)算軟件得出：

因此，半球型錐齒輪的齒面方程為：

根據(jù)冠輪與半球型錐齒輪的共軛運(yùn)動(dòng)分析，冠輪作為產(chǎn)形齒條刀具以速度V10移動(dòng)的同時(shí)，又以角速度ω(1)作切削運(yùn)動(dòng)，所加工的半球型錐齒輪分別以角速度ω(3)和ω(2)作進(jìn)給運(yùn)動(dòng)。因此，加工機(jī)床需具有兩條獨(dú)立運(yùn)動(dòng)鏈，同時(shí)ω(3)是關(guān)于運(yùn)動(dòng)參數(shù)β的函數(shù)變量，導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)鏈復(fù)雜且在一般機(jī)床上加工困難，甚至無(wú)法加工，可采用多軸數(shù)控機(jī)床進(jìn)行加工。

4 半球型錐齒輪有限元分析

上述由冠輪作為產(chǎn)形齒條所包絡(luò)出的半球型錐齒輪齒面大小由冠輪齒數(shù)與節(jié)球半徑?jīng)Q定，選取冠輪的齒數(shù)為12，傳動(dòng)比i=1，壓力角為20°。半球型錐齒輪的節(jié)球半徑r=21。根據(jù)上述半球型錐齒輪齒面方程，采用Matlab編程仿真出半球型錐齒輪的完整齒廓如圖4所示。

圖4 半球型錐齒輪完整齒廓

將半球型錐齒輪齒面坐標(biāo)數(shù)據(jù)保存在記事本中，并修改為后綴為*.ibl文件格式，導(dǎo)入至ProE中[9]。利用邊界混合命令將曲線族分別形成左右手邊輪齒表面，再通過(guò)相關(guān)曲面編輯將齒面合并實(shí)體化生成輪齒。最終得到三維實(shí)體模型，如圖5所示。

圖5 半球型錐齒輪副

將半球型錐齒輪副實(shí)體模型導(dǎo)入至ANSYS Workbench的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)模塊中，選擇材料的彈性模量E=2×105MPa，泊松比μ=0.3。為了提高計(jì)算精度和效率，輪齒參與嚙合部分網(wǎng)格劃分密集，非嚙合區(qū)域則較為稀疏[10]。根據(jù)輪齒實(shí)際接觸情況設(shè)置為摩擦接觸，摩擦系數(shù)設(shè)為0.1，并對(duì)齒輪副的主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的回轉(zhuǎn)軸分別施加大小為M=100 N?m的力矩和2 rad/s的角速度，其中在相交軸交角分別為20°和60°下的應(yīng)力云圖如圖6-圖7所示。

圖6 ?=20°時(shí)半球型錐齒輪應(yīng)力圖

圖7 ?=60°時(shí)半球型錐齒輪應(yīng)力圖

在各個(gè)相交軸夾角下，最大齒面接觸應(yīng)力與齒根彎曲應(yīng)力仿真結(jié)果如表1所示。

表1 齒面接觸應(yīng)力與齒根彎曲應(yīng)力

根據(jù)齒輪應(yīng)力仿真結(jié)果圖分析可知，半球型錐齒輪副為點(diǎn)接觸。當(dāng)相交軸夾角逐漸增大時(shí)，由于接觸點(diǎn)向齒頂移動(dòng)和端面齒廓模數(shù)減少，最大接觸應(yīng)力與齒根彎曲應(yīng)力逐漸增大。當(dāng)軸交角為160°時(shí)，由于輪齒厚度過(guò)小，接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力發(fā)生突變。

5 結(jié)論

（1）根據(jù)對(duì)半球型錐齒輪副的傳動(dòng)原理分析，將冠輪作為產(chǎn)形齒條，推導(dǎo)出半球型錐齒輪齒面方程，并利用Matlab和Pro/E建立齒輪實(shí)體模型，驗(yàn)證了齒面方程正確性。

（2）半球型錐齒輪副為點(diǎn)接觸。當(dāng)相交軸夾角增大時(shí)，由于接觸點(diǎn)向齒頂移動(dòng)和端面齒廓模數(shù)減少，輪齒接觸應(yīng)力與齒根彎曲應(yīng)力增大。當(dāng)軸夾角接近180°時(shí)，應(yīng)力發(fā)生突變。