張孟丹 余鐘波 谷黃河 朱奎

摘 要：以黃土高原半干旱區(qū)的無定河流域81個雨量站的多年平均、年、月和場次降水量為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，運用泰森多邊形法（Thiessen）、一階全局多項式法（Linear）、反距離加權(quán)法（IDW）、薄板樣條函數(shù)法（TPS）和普通克里格法（Kriging）對降水量數(shù)據(jù)進行了空間插值和交叉驗證，通過對數(shù)據(jù)和驗證指標(biāo)的對比分析，選出無定河流域不同時間尺度數(shù)據(jù)所適用的插值方法。研究表明：①多年平均年降水量和年降水量插值中Kriging法插值效果最好;②月降水量數(shù)據(jù)插值中IDW法插值效果比較穩(wěn)定;③場次降雨量數(shù)據(jù)插值中，Kriging法插值效果比較穩(wěn)定;④對不同時間尺度的降水量數(shù)據(jù)插值，Thiessen法插值效果差，Linear法插值結(jié)果圖概化性強、所反映的降水空間信息較少，IDW法對月降水量數(shù)據(jù)的插值誤差適中、插值效果比較穩(wěn)定，TPS法對極值比較大的月降水量數(shù)據(jù)插值存在一定的優(yōu)勢、插值圖局部光滑性較好，Kriging法對多年平均和年降水量數(shù)據(jù)插值效果最好。

關(guān)鍵詞：泰森多邊形法;一階全局多項式法;反距離加權(quán)法;薄板樣條函數(shù)法;普通克里格法;交叉驗證;Morans I指數(shù);無定河流域

中圖分類號：P332.1 文獻標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2021.04.006

引用格式：張孟丹，余鐘波，谷黃河，等.無定河流域降水量空間插值方法比較研究[J].人民黃河，2021，43（4）：30-37，99.

Abstract： In this paper， five spatial interpolation methods， such as the Thiessen polygon method， the first order linear method， IDW method （Inverse Distance Weighting）， TPS method （Thin Plate Spline function） and ordinary Kriging method， were compared and validated based on the different time scales （the multi-year average， yearly， monthly and daily） precipitation from 81 precipitation stations in the Wuding River Basin in the semi-arid Loess Plateau. Through the comparative analysis of the data and the verification indicators， the interpolation methods suitable for different time scale precipitation in this region were selected. The results indicate that： a） the Kriging method has higher accuracy for multi-year average and yearly precipitation; b） for the monthly precipitation， the IDW method shows a better result; c） the Kriging method has better performance in the precipitation events with higher spatial autocorrelation; d） overall， the Thiessen method has a worse interpolation performance. The linear interpolation results are disappointing in most cases and show limited spatial information. The IDW method has a moderate interpolation error for monthly precipitation， and shows stable interpolation performance. The TPS method has certain advantages in the interpolation of monthly precipitation with better performance on extremum and local information. Kriging method shows the best performance in interpolating multi-year average and yearly precipitation.

Key words： Thiessen Polygon method; Global Polynomial （1st order） method; Inverse Distance Weighting method; Thin Plate Spline Function method; ordinary Kriging method; cross-validation; Morans I index; Wuding River Basin

降水量是研究流域水文、水資源必要的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，是水文模型中最重要的輸入因子。準(zhǔn)確的降水時空分布信息對提高徑流模擬和洪峰預(yù)測的精度等至關(guān)重要[1-4]。隨著分布式流域水文模型的發(fā)展，有限觀測站點的資料密度遠不能滿足模型對高精度降水空間分布信息的需求[5]，采用合適的空間插值方法對離散的站點數(shù)據(jù)進行空間插值以獲取區(qū)域降水的精確空間分布信息是解決此問題的有效途徑[6]。空間插值方法多種多樣且各有優(yōu)劣，在實際應(yīng)用中，并不存在一種普適性的插值方法。不同插值方法對不同研究區(qū)域的不同降水?dāng)?shù)據(jù)所得的插值效果不同，彭曉芬等[7]對云南省年均降雨量進行插值，得出反距離加權(quán)法插值精度高于普通克里格法插值精度;秦偉良等[8]采用反距離加權(quán)法和普通克里格插值法對江蘇省揚州市1999—2008年各年1月的月降水量插值，發(fā)現(xiàn)普通克里格插值法效果更好;任志勇[9]對遼寧省某市日降水量進行插值，得出距離反比加權(quán)法的插值精度比克里格插值法和樣條函數(shù)法的插值精度高。

現(xiàn)有文獻對黃土高原各流域降水量插值方法適用性的研究較少。萬龍等[10]用克里格法和薄板樣條函數(shù)法對黃土高原河龍區(qū)間的降水量進行了插值研究，但有關(guān)黃土高原范圍內(nèi)插值方法多時間尺度的綜合比較研究較少。筆者選用泰森多邊形法、一階全局多項式插值法、反距離加權(quán)法、薄板樣條函數(shù)法和普通克里格法5種插值方法對黃土高原無定河流域多年平均、年、月和場次降水量進行插值比較，以期為無定河流域分布式水文模型的構(gòu)建提供參考。

1 研究區(qū)概況與數(shù)據(jù)預(yù)處理

1.1 研究區(qū)概況

本文以黃土高原半干旱區(qū)無定河流域為研究對象。無定河流域是黃河中游一級支流，干流全長491 km，流域面積為30 261 km2，地理坐標(biāo)位于東經(jīng)108°18′—111°45′、北緯37°14′—39°35′，位于陜西省北部與內(nèi)蒙古自治區(qū)交界處。整個流域高程為583～1 834 m，地勢起伏大，從西北向東南傾斜。

無定河流域位于東部季風(fēng)氣候區(qū)和西北干旱氣候區(qū)的過渡帶，屬干旱半干旱地區(qū)，氣候?qū)贉貛Т箨懶约撅L(fēng)氣候。年平均氣溫為7.9～11.2 ℃，年水面蒸發(fā)量為1 700～2 000 mm。該流域降水量具有量少、集中、強度大的特點，年平均降水量為300～550 mm，由東南向西北遞減，呈東多西少的特點;年際變化大，年內(nèi)分布不均，春季干旱，夏、秋季節(jié)降水較多，且65%的降水量集中在7—9月，冬季降水稀少[11-12]。

1.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

選取流域內(nèi)81個雨量站1980—2000年逐日降水量數(shù)據(jù)。在81個雨量站中，有69個雨量站數(shù)據(jù)在1980—2000年是連續(xù)的，有12個雨量站存在部分天數(shù)缺測現(xiàn)象，本文采用近雨量站的同日降雨量進行插補，以保證插值基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的連續(xù)性。DEM數(shù)據(jù)（90 m×90 m分辨率）來源于中國科學(xué)院計算機網(wǎng)絡(luò)信息中心地理空間數(shù)據(jù)云平臺（http：//www.gscloud.cn/）。

流域范圍內(nèi)海拔583～800 m的低海拔區(qū)域集中在流域東南部的河流出口附近，1 600～1 834 m的高海拔區(qū)域主要為高山地區(qū)。受地形限制，這兩部分區(qū)域沒有布設(shè)氣象站點，故而在研究區(qū)800～1 600 m海拔范圍內(nèi)，將各站點以海拔每升高100 m劃分一級高程帶，共分為8級。在保證空間分布均勻的條件下，每帶各取1個代表性較好的站點作驗證站。每次取1個驗證站，其余站點作為插值站對該站點進行插值，插值站和驗證站分布如圖1所示，選取8個雨量站的實測數(shù)據(jù)進行插值效果驗證（見圖1）。

降雨場次的劃分與相鄰場次降雨的最小間歇時間的選擇有關(guān)，以IETD（Inter-Event Time Definition）表示，降雨間歇時間小于IETD的，視為同一場雨。IETD的選擇，需考慮研究范圍的大小和自然降雨間歇的實際情況，可以為1 d、2 d或3 d等。一般來說，研究范圍較大時，則IETD可選擇較大的值[13]。本研究選取的IETD為3 d。

2 空間插值方法與驗證方法介紹

2.1 空間插值方法

根據(jù)測量值與預(yù)測值是否一致，空間插值方法可分為精確性插值和非精確性插值，精確性插值有IDW法、TPS法，非精確性插值有Linear法、Kriging法。根據(jù)插值原理不同可分為統(tǒng)計插值（如Kriging法）、函數(shù)插值（如Linear法、IDW法和TPS法）以及幾何法插值（如Thiessen法）等[14]。

本研究采用泰森多邊形法（Thiessen）、一階全局多項式法（Linear）、反距離加權(quán)法（IDW）、薄板樣條函數(shù)法（TPS）以及普通克里格法（Kriging）對無定河流域的實測降水?dāng)?shù)據(jù)進行空間插值，并選用交叉驗證法對插值結(jié)果進行驗證。

2.1.1 泰森多邊形法

泰森多邊形法（Thiessen）又叫最近鄰點法，是由荷蘭氣候?qū)W家A·H·Thiessen提出的一種根據(jù)離散分布的氣象站的降水量來計算平均降水量的方法，即將所有相鄰氣象站連成三角形，作這些三角形各邊的垂直平分線，將每個氣象站周圍的若干垂直平分線圍成一個多邊形，用這個多邊形內(nèi)所包含的唯一一個氣象站的降雨量來表示這個多邊形區(qū)域內(nèi)的降雨量，適用于分布均勻、空間變異性不明顯的樣本點[15]。

2.1.2 一階全局多項式法

一階全局多項式法又稱為線性插值方法（Linear），在一個三維坐標(biāo)系中，X、Y坐標(biāo)表示樣本點的經(jīng)度和緯度，Z坐標(biāo)表示樣本點的降雨量。根據(jù)待模擬站點的空間位置和線性函數(shù)模擬其降雨量，幾乎不需要前提假設(shè)[16]。

2.1.3 反距離加權(quán)法

反距離加權(quán)法（IDW）是基于相近相似的原理，以待模擬點與樣本點間的距離冪次方的倒數(shù)為權(quán)重進行加權(quán)平均，離待模擬點越近的樣本點被賦予的權(quán)重越大。此方法適用于樣本點分布均勻且密集的情況[8]。

2.1.4 薄板樣條函數(shù)法

薄板樣條函數(shù)法（TPS）采用以經(jīng)度和緯度為雙變量的二次樣條函數(shù)進行插值，公式如下：

采樣數(shù)據(jù)局部變異性較大時，該方法難以保證數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性[10]。

2.1.5 普通克里格法

普通克里格法（Kriging）假設(shè)數(shù)據(jù)變化呈正態(tài)分布，通過對數(shù)據(jù)的空間分析獲取權(quán)重值，插值的整個過程相當(dāng)于對未知區(qū)域化變量Z的期望值進行加權(quán)滑動求取平均值的過程。此方法適用于空間相關(guān)性較好的采樣點[10，17]。

2.2 驗證方法

交叉驗證法，首先假定每一待模擬點的要素值未知，采用周圍樣點的值來估算，然后計算與實際觀測值相比內(nèi)插值的誤差，以此來評判估值方法的優(yōu)劣。本文將5種插值方法得到的插值結(jié)果與樣本點數(shù)據(jù)比較，分析在研究區(qū)內(nèi)各種插值方法的優(yōu)劣[18]。

采用平均絕對誤差MAE、平均相對誤差MRE、均方根誤差RMSE和一致性指標(biāo)A（見表1）等4項指標(biāo)評價插值結(jié)果的精度[19]。

2.3 數(shù)據(jù)空間自相關(guān)分析方法

采用全局型Morans I指數(shù)反映研究區(qū)降水量數(shù)據(jù)的空間自相關(guān)程度。

3 插值結(jié)果驗證與分析

采用上述5種插值方法對無定河流域多年平均年降水量、年降水量、月降水量和場次降雨量進行了空間插值，并運用交叉驗證法進行了檢驗，選用MAE、MRE、RMSE和A作為指標(biāo)對插值結(jié)果進行驗證分析。

3.1 研究區(qū)多年平均年降水量插值結(jié)果驗證與分析

無定河流域?qū)儆跍貛Т箨懶约撅L(fēng)氣候區(qū)，受西北高、東南低地勢特征影響，濕潤氣團難以到達。多年平均年降水量（1980—2000年）呈由東南向西北逐漸減少的空間分布趨勢，如圖2所示。多年平均年降水量的插值數(shù)據(jù)中極值比為1.74、均值為352.50 mm，Morans I指數(shù)值為0.166、Z（I）為5.514，具有明顯的空間正相關(guān)性。5種方法插值成果空間分布趨勢大致相同，Linear法非精確性插值，以線性函數(shù)進行降水量模擬，插值圖呈明顯的條帶狀;Thiessen法與IDW法所得流域內(nèi)多年平均年降水量局部突變區(qū)域較多且IDW方法的插值圖“牛眼”現(xiàn)象顯著;TPS法和Kriging法的插值成果圖趨勢性較明顯，帶區(qū)分明且TPS法對極值降水量插值更細(xì)致。

由圖3可知Thiessen法、Linear法和IDW法插值效果相差不大，TPS法和Kriging法插值效果相近，且Kriging法的模擬值靈敏度和極值情況比TPS法好。當(dāng)插值原理較為簡單時，非精確性插值的Linear法準(zhǔn)確度差，Thiessen法極值情況和靈敏度較差，IDW法插值效果適中。

進一步對驗證站點的誤差值進行比較，圖4表明Thiessen法、Linear法和IDW法對多年平均年降水量所得模擬值的誤差大小接近，數(shù)據(jù)點在45°線附近波動，但幅度較大。而TPS方法和Kriging方法對多年平均年降水量所得模擬值的誤差存在強相關(guān)性，數(shù)據(jù)點在45°線附近波動且幅度較小，驗證站點中TPS法誤差與Kriging法的誤差大致相同，誤差在-50～80 mm之間。如圖2（a）和圖4所示，驗證站中站點2的實測降水量是局部極小值，5種插值方法對其模擬所得值誤差均較大。綜上可見，5種空間插值方法對多年平均年降水量插值效果依次為：Kriging法> TPS法> IDW法> Linear法≈Thiessen法。

3.2 研究區(qū)年降水量插值結(jié)果驗證與分析

考慮雨量站數(shù)據(jù)的連續(xù)性，如圖5所示，從1980—2000年中選取雨量站數(shù)據(jù)連續(xù)性效果較好的豐水年（1985年，473.38 mm）、平水年（1987年，344.80 mm）和少水年（1999年，247.88 mm），運用5種插值方法進行插值，并對插值結(jié)果進行比較分析。

3組年降水量數(shù)據(jù)Morans I指數(shù)值均大于0，且Z（I）值均大于1.96，表明降水量具有較顯著的空間自相關(guān)性，見表2。

如圖6所示，Thiessen法、IDW法和TPS法的插值成果圖中局部極值信息描繪較細(xì)致，Thiessen法和IDW法模擬降水量范圍與采樣點最值范圍相同，TPS法模擬雨量范圍大于采樣點最值范圍。Linear法插值模擬降水量的數(shù)值區(qū)間較小，1985年模擬最大年降水量為557 mm，缺600 mm以上的降水量帶;1987年的最大模擬年降水量為434 mm，缺440～480 mm的降水量帶;少水年1999年模擬值在211～275 mm之間，缺320 mm以上降水量帶。Kriging法對空間自相關(guān)性較好的1985年和1987年的年降水量的空間信息刻畫較好，趨勢分布明顯且局部極值表現(xiàn)詳細(xì)，但對空間自相關(guān)較差的1999年年降水量插值效果較差，插值成果圖反映的空間信息模糊，趨勢性不明顯。

圖7表明，1985年年降水量插值效果依次為Kriging法>Linear法> IDW法> TPS法>Thiessen法;1987年年降水量插值效果依次為Linear法>Kriging法≈IDW法> TPS法≈Thiessen法;1999年5種插值效果均較差，Kriging法> IDW法> TPS法>Linear法>Thiessen法。

3組年降水量數(shù)據(jù)中，Thiessen法插值誤差大，效果差，插值準(zhǔn)確度最低;Linear法插值效果不穩(wěn)定，對空間自相關(guān)性較好的1985年和1987年的年降水量插值效果較好，對1999年的年降水量插值誤差大;IDW法插值效果適中且穩(wěn)定;3組采樣數(shù)據(jù)極值比均大于2，極值均相差200 mm以上，局部變異性大，TPS法插值難以保證數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，TPS法整體插值效果較差;插值數(shù)據(jù)均具有顯著的相關(guān)性，Kriging法插值效果較好。

3.3 研究區(qū)月降水量插值結(jié)果驗證與分析

無定河流域降水量年內(nèi)分布不均，冬、春季干旱，降水稀少;夏、秋季降水較多，65%的降水量集中在7—9月[11]。在流域月尺度降水量插值研究中，以1985年、1987年和1999年3個典型年的7月份降水量作為插值對象。3組月尺度降水量數(shù)據(jù)的Morans I指數(shù)值均大于0，且Z（I）值均大于1.96，表明這3組數(shù)據(jù)均存在顯著的空間自相關(guān)性，見表3。

如圖8所示，相對前兩種時間尺度數(shù)據(jù)而言，月降水量數(shù)據(jù)插值成果圖空間分布趨勢性較弱。1985年7月，Thiessen法、IDW法、TPS法和Kriging法4種插值方法所得的插值圖中雨量帶的空間分布大致相同，流域西南部、中部、西北部以及東北局部降水量較大;1987年7月，雨量帶分布存在一定的差異，TPS法和Thiessen法所得插值圖中，流域東部存在暴雨中心且分布較廣，而其余3種方法所得的插值圖中流域東部小范圍甚至沒有出現(xiàn)類似情況;1999年7月降水量分布較為散亂，除Linear法外，其他4種插值方法的插值成果圖均存在許多小范圍強降雨區(qū)域。

圖9表明，1985年7月月降水量插值效果依次為IDW法≈Linear法>Kriging法>TPS法>Thiessen法;1987年7月月降水量插值效果依次為Thiessen法>TPS法>Kriging>IDW法>Linear法;1999年7月月降雨量的5種插值效果均較差，Thiessen法總體插值效果好，TPS法MRE和RMSE值最大、A值卻最高，TPS法插值準(zhǔn)確度低，但消除異常值的敏感度高，Linear法和Kriging法插值效果較差。

月降水量的插值中，Thiessen法插值效果較差，但對極值比較大的1987年7月月降水量插值效果較好;Linear法插值效果不穩(wěn)定，對1985年7月月降水量插值效果較好，對1987年7月月降水量插值MRE值高達0.897，插值準(zhǔn)確度低，對極值比較大的數(shù)據(jù)插值時極大值偏小且極小值偏大;IDW法插值效果適中且穩(wěn)定，3組采樣數(shù)據(jù)極值差距較大;TPS法插值難以保證準(zhǔn)確性，插值效果不穩(wěn)定，但對1987年7月月降水量插值效果最好，消除異常值的靈敏度較高;Kriging法插值效果不穩(wěn)定，3組數(shù)據(jù)中A值均相對偏低，消除異常值的靈敏度較差。

3.4 研究區(qū)場次降雨量的插值結(jié)果驗證與分析

以81個雨量站1985年7月和8月（共62 d）逐日降雨量數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，繪制逐日降雨量過程線，如圖10所示。設(shè)日降雨量小于0.5 mm為無雨。選取2場降雨（第7天—第16天，第27天—第36天）進行插值分析比較。

1985年7—8月的2場降雨暴雨中心位置不同，第1場的暴雨中心位于流域西南部，5種插值方法的成果圖趨勢性大致相同，如圖11所示。其中IDW法局部極值較多，呈點狀分布，TPS法和Kriging法成果圖大致相同。第2場的暴雨中心位于東北部，中部降雨量較少，5種插值方法成果圖中最大雨量帶的范圍各有不同。

兩場降雨數(shù)據(jù)插值中，MRE值均較大，在0.297～0.542之間。Thiessen法插值誤差較大，效果不好;Linear法插值效果不穩(wěn)定，對局部極值情況較少的第2場是最優(yōu)的插值方法;IDW法插值效果不穩(wěn)定，第2場中A值僅為0.413，消除異常值敏感度最差;TPS法插值效果不穩(wěn)定，對極值比較大的第2場降雨量插值誤差較大，MRE值達0.542;Kriging法插值效果最穩(wěn)定，各項驗證指標(biāo)值適中，如圖12所示。

4 結(jié) 論

采用Thiessen法、Linear法、IDW法、TPS法和Kriging法等5種插值方法對無定河流域81個雨量站的多年平均、年、月和場次的降水量數(shù)據(jù)進行插值分析，并采用交叉驗證法對插值結(jié)果進行了驗證分析，在同一研究區(qū)內(nèi)，各插值方法對不同時間尺度降水?dāng)?shù)據(jù)的適用性不同。

（1）多年平均年降水量空間自相關(guān)性顯著，插值成果空間變化趨勢明顯，空間上呈由東南向西北逐漸減少的分布趨勢。插值效果與插值方法原理的復(fù)雜程度有關(guān)。Kriging法插值效果比TPS法、IDW法、Linear法和Thiessen法都要好。其中TPS法與Kriging法驗證指標(biāo)值接近，但Kriging法插值準(zhǔn)確度更高。對多年平均年降水量插值時，應(yīng)優(yōu)選Kriging法。

（2）年降水量插值中Thiessen法插值誤差較大，準(zhǔn)確度較差;Linear法受插值數(shù)據(jù)的空間變異性影響較大，對空間變異性較大的年降水量數(shù)據(jù)插值效果差;IDW法各項驗證指標(biāo)值適中;TPS法對空間變異性較大數(shù)據(jù)的插值存在一定的優(yōu)勢;Kriging法插值誤差較小，插值效果較好且穩(wěn)定。對年降水量插值時，應(yīng)優(yōu)選Kriging法。

（3）月降水量插值中，Thiessen法插值效果較差，但對空間變異性較大的月降水量插值效果較好;Linear法插值效果不穩(wěn)定，對空間變異性較大的數(shù)據(jù)插值時，模擬極值準(zhǔn)確度較低，極大值偏小、極小值偏大;IDW法插值效果適中且穩(wěn)定;TPS法插值效果不穩(wěn)定，但消除異常值的靈敏度較高，模擬值值域范圍大于樣本值值域范圍;Kriging法插值效果不穩(wěn)定，3組數(shù)據(jù)中A值均相對偏小，消除異常值的靈敏度較差。對月降雨量插值時，應(yīng)優(yōu)選IDW法。

（4）場次降雨量插值中，Thiessen法插值誤差較大，效果不好;Linear法、IDW法和TPS法插值效果不穩(wěn)定，插值效果不理想。Linear法對局部極值情況較少、空間變異性小的數(shù)據(jù)插值效果較好;TPS法對極值比較大的場次降雨量插值誤差較大，模擬值值域范圍大于樣本值值域范圍，模擬的準(zhǔn)確度低;Kriging法插值效果最為穩(wěn)定，各項驗證指標(biāo)值適中。對場次降雨量插值時，應(yīng)優(yōu)選Kriging法。

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【責(zé)任編輯 張 帥】