張哲銘，馬清華，陳 韻，許 琛，王帥為

(西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，西安 710065)

0 引言

隨著現(xiàn)代武器的發(fā)展，在精確打擊目標(biāo)的設(shè)計中，除了命中精度的基本要求外，還要求以特定的落角來打擊目標(biāo)。例如，對于坦克來說，落角約束能使導(dǎo)彈以期望的角度攻擊坦克的薄弱部位，實現(xiàn)更有效的毀傷。而且，隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭的需求，目標(biāo)的機動性越來越強，這就對制導(dǎo)律提出了一定的要求，因此，有必要研究以機動目標(biāo)為對象的制導(dǎo)律。

近年來，具有落角約束的終端制導(dǎo)律引起了越來越多的關(guān)注，國內(nèi)外的學(xué)者進行了許多相關(guān)的研究。文獻[1]針對直升機載空地導(dǎo)彈配裝多種戰(zhàn)斗部時不同落角的需求，利用最優(yōu)控制理論研究了帶有落角控制的制導(dǎo)律；文獻[2]研究了多約束條件下距離加權(quán)最優(yōu)滑模制導(dǎo)律；文獻[3]研究了多約束條件下反演滑模制導(dǎo)律的設(shè)計，能有效實現(xiàn)期望落角和中靶精度；文獻[4]針對空地武器三維空間內(nèi)的制導(dǎo)模型，運用二次型最優(yōu)推導(dǎo)出一種最優(yōu)制導(dǎo)律，在實現(xiàn)落角控制的基礎(chǔ)上，攻角、側(cè)滑角變化平穩(wěn)；文獻[5]將目標(biāo)機動加速度看作未知有界的不確定性，基于非奇異終端滑模和自適應(yīng)滑模干擾觀測器設(shè)計了終端角度約束的制導(dǎo)律；文獻[6]針對導(dǎo)彈攔截機動目標(biāo)時要求限制終端攻擊角度的問題，提出了一種基于擴張干擾觀測器(EDO) 的有限時間收斂制導(dǎo)律。

基于對大機動目標(biāo)跟蹤的需求，文中在最優(yōu)控制理論的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了一種針對機動目標(biāo)的多約束制導(dǎo)律。仿真結(jié)果表明，該制導(dǎo)律對機動目標(biāo)的跟蹤特性良好。

1 導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對運動方程

建立二維縱向平面的導(dǎo)彈與目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型進行制導(dǎo)律的分析，同理可將該分析方法應(yīng)用于側(cè)向平面。

將導(dǎo)彈和目標(biāo)視為兩個質(zhì)點，分析導(dǎo)彈和目標(biāo)在縱向平面內(nèi)的相對運動關(guān)系。彈目運動關(guān)系圖如圖1所示。

圖1 彈目運動關(guān)系圖

由圖1可以得到以下彈目運動方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中:wR，uR分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈加速度在視線方向上的分量；wq，uq分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈加速度垂直于視線方向上的分量。

(5)

式中，aT和aM分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈加速度在視線法向上的分量，針對式(5)建立狀態(tài)方程：

(6)

2 最優(yōu)滑模制導(dǎo)律

2.1 帶有落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律

對于各狀態(tài)變量，起始時刻有：

終端條件為：

x1(tf)=0x2(tf)=0

假設(shè)aT=0，選擇脫靶量和能量控制最小函數(shù)作為最優(yōu)性能指標(biāo)[8]。

(7)

這是一個典型的二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題，由最優(yōu)控制理論可知，最優(yōu)控制的解為：

u*=R-1BTPX*

(8)

選取R=1，u*=aM,式(8)變?yōu)椋?/p>

aM=-BTPX*

(9)

P為滿足以下逆黎卡提微分方程的解:

(10)

令：

則式(10)可以表示為：

(11)

(12)

由式(12)中第三式可得：

(13)

(14)

將式(14)代入式(12)中第二式可得：

(15)

由式(15)可得：

(16)

其中dt=-dTg[8],故式(16)可解為：

(17)

將式(17)代入式(12)中第一式可得：

(18)

由上述推導(dǎo)過程可求得逆矩陣P-1的解：

(19)

從而可得到P的解：

(20)

將式(20)代入式(8)可以得到最優(yōu)控制：

(21)

令x1=q+θf，其中θf為期望落角，給定θf>0，因為終端條件x1(tf)=0，最終落角為負(fù)值。式(21)可變?yōu)椋?/p>

(22)

式(22)即為帶有落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律，式中第二項為傳統(tǒng)比例導(dǎo)引，第一項為角度約束項，保證命中點的落角滿足期望值。

2.2 最優(yōu)滑模制導(dǎo)律

對于變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律而言，首先設(shè)計滑模超平面，使得系統(tǒng)的滑動模態(tài)趨于穩(wěn)定，并滿足最優(yōu)制導(dǎo)律的性能指標(biāo)要求，首先定義滑模面：

(23)

(24)

將aT視為干擾項f(t)，把式(5)、式(21)代入式(24)中可得：

(25)

忽略干擾項，構(gòu)造最優(yōu)趨近律為:

(26)

結(jié)合式(5)，可以解得:

(27)

(28)

可以證明，對于運動目標(biāo)，當(dāng)‖F(xiàn)(t)‖有界時，制導(dǎo)律(如式(28))可以保證制導(dǎo)過程中的穩(wěn)定性[11]。

考慮到干擾項F(t)難以直接測量，這里采用觀測器來補償該干擾項。

3 基于觀測器補償?shù)闹茖?dǎo)律設(shè)計

考慮如下單輸入單輸出系統(tǒng):

(29)

(30)

觀測器如下：

(31)

由此，式(28)可以表示為：

(32)

最終得到的觀測器補償?shù)淖顑?yōu)滑模制導(dǎo)律共有4項，第一項為k=4的比例導(dǎo)引，第二項為角度約束項，第三項為變結(jié)構(gòu)修正項，第四項為干擾項，即目標(biāo)的機動加速度。

4 仿真驗證

對最優(yōu)制導(dǎo)律式(22)及最優(yōu)滑模制導(dǎo)律式(32)進行仿真對比分析。由推導(dǎo)過程可知aM為導(dǎo)彈加速度在視線法向上的分量，而實際制導(dǎo)指令是針對導(dǎo)彈的法向過載給出的，因此對式(22)和式(32)進行轉(zhuǎn)換可得：

(33)

(34)

其中，aM1為最優(yōu)制導(dǎo)律推導(dǎo)得出的導(dǎo)彈法向加速度，aM2是最優(yōu)滑模制導(dǎo)律推導(dǎo)得出的導(dǎo)彈法向加速度，式(33)和式(34)分別是仿真過程中采用的最優(yōu)制導(dǎo)律和最優(yōu)滑模制導(dǎo)律。

仿真條件一：導(dǎo)彈初始位置(0 m，5 000 m)，速度900 m/s；目標(biāo)初始位置(15 000 m，1 000 m)，速度為-720 m/s；加速度aT=0 m/s。初始彈目視線角q=-arctan(4 000/15 000)，重力加速度g=9.81 m/s2，ε=0.01，δ=0.01。期望落角設(shè)置為θf=20°，觀測器常數(shù)L=5 000,λ0=2L1/3,λ1=1.5L1/2,λ2=1.1L。

導(dǎo)彈與目標(biāo)運動軌跡、導(dǎo)彈落角、導(dǎo)彈加速度曲線及目標(biāo)機動加速度和觀測器觀測值如圖2～圖6所示。

圖2 導(dǎo)彈與目標(biāo)運動軌跡

圖3 導(dǎo)彈落角

圖4 視線角速度

圖5 導(dǎo)彈法向加速度

圖6 目標(biāo)機動加速度和觀測器觀測值

仿真結(jié)果表明：針對靜止目標(biāo)，最優(yōu)制導(dǎo)律與最優(yōu)滑模制導(dǎo)律的運動軌跡基本一致，但是最優(yōu)滑模制導(dǎo)律的落角變化更加平滑，視線角速度能平穩(wěn)的收斂到0°/s附近，導(dǎo)彈的法向加速度的變化也十分平穩(wěn)，視線角速度與導(dǎo)彈法向加速度均未像最優(yōu)制導(dǎo)律那樣出現(xiàn)末段跳變現(xiàn)象。說明針對非機動目標(biāo)，該制導(dǎo)律也要優(yōu)于最優(yōu)制導(dǎo)律。

導(dǎo)彈與目標(biāo)運動軌跡、導(dǎo)彈落角、導(dǎo)彈加速度及目標(biāo)機動加速度和觀測器觀測值曲線見圖7～圖11所示。

圖7 導(dǎo)彈與目標(biāo)運動軌跡

圖8 導(dǎo)彈落角

圖9 視線角速度

圖10 導(dǎo)彈法向加速度

圖11 目標(biāo)機動加速度和觀測器觀測值

仿真結(jié)果表明：系統(tǒng)在大的時變干擾下，只要觀測器的增益選的足夠大，最優(yōu)滑模制導(dǎo)律可以保證觀測器觀測值有限時間收斂。與最優(yōu)制導(dǎo)律相比，該制導(dǎo)律的運動軌跡變化幅度要更加平滑，落角的收斂速度快且變化較平緩。視線角速度能夠平穩(wěn)的收斂到0°/s，且未發(fā)生大的跳變。最優(yōu)滑模制導(dǎo)律的導(dǎo)彈法向加速度初始會產(chǎn)生一個比較大的變化(該變化為觀測器收斂到期望觀測值的過程中產(chǎn)生的震蕩)，之后平穩(wěn)變化直至末端收斂到50 m/s2左右(目標(biāo)機動加速度)。最優(yōu)滑模制導(dǎo)律的導(dǎo)彈法向加速度對于干擾(目標(biāo)機動加速度)的跟蹤更好，跟蹤能力明顯優(yōu)于最優(yōu)制導(dǎo)律。

5 結(jié)論

在最優(yōu)控制理論基礎(chǔ)上結(jié)合滑膜變控制理論設(shè)計了最優(yōu)滑模制導(dǎo)律，設(shè)計有限時間擾動觀測器對目標(biāo)機動進行補償。仿真結(jié)果表明設(shè)計的最優(yōu)滑模制導(dǎo)律對機動目標(biāo)的跟蹤狀況優(yōu)于最優(yōu)制導(dǎo)律，視線角速度、落角的變化平滑，能有效跟蹤大機動目標(biāo)，保證精確命中的情況下各曲線保持平滑。該最優(yōu)滑模制導(dǎo)律可以滿足多約束對機動目標(biāo)的跟蹤，滿足現(xiàn)代戰(zhàn)爭的需求。