孫曉陽, 徐 潤

(曲阜師范大學數(shù)學科學學院,273165,山東省曲阜市)

0 引 言

近兩個世紀以來,分數(shù)階微積分的研究主要集中在純數(shù)學上. 然而近幾十年來,分數(shù)階微分方程在光熱系統(tǒng),電化學,控制,多孔介質(zhì),電磁等模型的研究中得到了越來越多的應用. 分數(shù)階微分方程的定性與定量理論已成為當前研究的熱點之一.

在對分數(shù)階微分方程定性性質(zhì)的研究中有很多重要問題,其中一個主要問題是解(或正解)的存在唯一性[1-13]. 目前,許多論文致力于研究分數(shù)階微分方程邊值問題解的唯一性. 一些論文利用非線性分析方法研究了微分方程和微分方程組解的唯一性,如Banach壓縮原理,混合單調(diào)算子不動點定理,極大值定理,u0-正算子和線性算子理論等；另一部分研究了分數(shù)階非線性方程組和分數(shù)階微分系統(tǒng). Zhenzhen Yue 和 Yumei Zou 研究了依賴于一階導數(shù)分數(shù)階微分方程[14]

其中1<α≤2 且f∈C([0,1]×2,).

在文獻[14]的基礎(chǔ)上,研究了如下分數(shù)階微分系統(tǒng)

(1)

其中3<α≤4 且f∈C([0,1]×3,,).定義為標準Riemann-Liouville積分的導數(shù)

其中n-1≤α

(H)f:[0,1]×3→是一個連續(xù)函數(shù)且存在常數(shù)A,B,C>0 使得下式成立

|f(t,u1,v1,w1)-f(t,u2,v2,w2)|≤A|u1-u2|+B|v1-v2|+C|w1-w2|,t∈[0,1].

1 準備工作

定義1.1 函數(shù)f:[0,1]→的α>0 階Riemann-Liouville分數(shù)階積分由以下式子給出

且右側(cè)定義在(0,∞) 上.

定義1.2 本文定義以下3個函數(shù)

(2)

引理1.1[5]令G如(2)式所示,則有下式成立

為了證明以下定理,通過計算得到了下面兩個式子

tα-2[B(α-1,α-2)+2t2α-3B(α-1,α-1)]≤

tα-2[B(α-1,α-2)+2B(α-1,α-1)],

tα-2B(α-2,α-2)+2t2α-4B(α-2,α-1)≤

tα-2[B(α-2,α-2)+2B(α-2,α-1)],

則E1×E2×E3是范數(shù) ‖(u,v,w)‖E1×E2×E3,‖(u,v,w)‖E1×E2×E3的Banach空間且被定義為

‖(u,v,w)‖E1×E2×E3=max{‖u‖E1,‖v‖E2,‖w‖E3}.

令w=u″,v=u′,由系統(tǒng)(1)得

其中1<α-2≤2.

定義算子T如下所示

T(u,v,w)=(T1(u,v,w),T2(u,v,w),T3(u,v,w)),(u,v,w)∈E1×E2×E3.

T1,T2,T3分別定義為

(3)

對于 (u,v,w)∈E,由引理1和(H)條件,得出

對于一個常數(shù)θ>0. 這表明T1在E中有很好的定義. 也能證明T2和T3有很好的定義. 因此,邊值問題解的存在性等價于T在不動點的存在性. 接下來,只考慮Banach空間E=E4×E2×E3的不動點.

引理4[14]令a,d∈[0,1),b,c∈[0,+∞),且滿足 (1-d)(1-a)>bc. 那么系統(tǒng)

有一個解 (λ,θ), 且λ∈(0,1),θ>0.

2 主要結(jié)果

首先給出以下記號

a21=A[B(α-1,α-2)+2B(α-1,α-1)],a22=B[B(α-2,α-2)+B(α-2,α-1)],

a23=C[B(α-3,α-2)+B(α-3,α-1)].

現(xiàn)在通過Banach壓縮映射原理來證明解的唯一性.

定理1 假設(shè)條件 (H) 成立,a11,a12,a13,a21,a22,a23, 滿足下列條件

a11<1,a22+a23<1,(1-a11)[1-(a22+a23)]>(a12+a13)a21，

則BVP (1) 有唯一解.

證明由引理4,存在λ∈(0,1) 和θ>0，使得以下系統(tǒng)成立

(4)

在E=E4×E2×E3上應用壓縮映射原理. 設(shè)

由 (3),(4) 和條件 (H),有

由 ‖·‖E4的定義,有

類似的,有

上述結(jié)果是由不動點定理給出的解的唯一性結(jié)果. 在上述過程中,我們遇到的困難是如何用引理4來處理高階微分方程. 本文將w化為常數(shù)M來處理這類依賴于二階導數(shù)的分數(shù)階微分方程唯一解的問題.