李宏貞

數(shù)學(xué)教學(xué)中存在這樣的情況，學(xué)生沒有理解某個知識點，并不是態(tài)度問題，也不是教師講解不深刻的問題，而是學(xué)生在理解這個知識的過程中在某個點上“卡”住了。這個點是學(xué)生在某個具體知識上理解的障礙點，解決了這個“攔路虎”，問題就迎刃而解。不少教師忽視了學(xué)生的卡點問題，往往把學(xué)生對知識的不理解歸結(jié)于學(xué)習(xí)態(tài)度問題，忽視了學(xué)生真正需要幫助的卡點問題，沒有真正去了解學(xué)生“卡”住的原因，沒有因人施策，導(dǎo)致學(xué)生掌握不了這個知識。筆者對某小學(xué)四年級全體學(xué)生進行了一個學(xué)期的研究，通過輔導(dǎo)學(xué)生解決錯題的方式進行觀察和反思，將學(xué)習(xí)中的卡點歸納為三類并提出解決策略。

一、陳述性卡點

陳述性卡點就是由于學(xué)生陳述性知識缺乏所造成的對某個知識點的理解障礙。所謂陳述性知識就是“是什么”的知識，指的是一般的事實、原理等知識，陳述性知識大致上與傳統(tǒng)的知識概念相當。陳述性卡點是最普遍的卡點，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)因為陳述性知識的缺乏，往往導(dǎo)致錯題的發(fā)生。

題目：一個三角形的兩個內(nèi)角分別是84°和48°，它的第三個角是（??），這是一個（??）三角形。

這是一道比較容易解答的題目，只要掌握了三角形兩個基本的陳述性知識“三角形的內(nèi)角和為180°”“銳角三角形是三個角都小于90°的三角形”，問題就可迎刃而解。但恰恰有些學(xué)生沒記住這兩個陳述性知識。第一個陳述性知識“三角形的內(nèi)角和為180°”是四年級下學(xué)期新學(xué)的知識，有些學(xué)生雖然課堂上掌握了，但課后遺忘了;第二個陳述性知識是四年級上學(xué)期的知識，由于學(xué)習(xí)間隔時間太長，學(xué)生也忘記了。而教師往往忽視陳述性知識容易遺忘的特點，對第一個知識，認為經(jīng)過課堂上對內(nèi)角和為180°的推理分析和動手實踐，學(xué)生肯定能掌握，即使不理解，也能記住，沒有針對性地對這個新學(xué)的知識作必要的強化訓(xùn)練;對第二個知識，沒有意識到需要進行復(fù)習(xí)，加強與新知識的聯(lián)系。

解決陳述性卡點的課堂教學(xué)策略是強化策略和先行組織者策略。根據(jù)遺忘曲線規(guī)律，遺忘的進程很快，并且先快后慢。根據(jù)這個定律，學(xué)習(xí)要經(jīng)常復(fù)習(xí)，不定時復(fù)習(xí)。教師對于新知識，特別是核心知識，需要在課堂上及時強化，課后不定時復(fù)習(xí)。

所謂的先行組織者，是指在學(xué)習(xí)新知識之前，為學(xué)生呈現(xiàn)一個引導(dǎo)性材料，這個材料有助于學(xué)生對新知識的理解。教師在講解三角形內(nèi)角和之前，可以讓學(xué)生復(fù)述鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形三者之間的聯(lián)系與區(qū)別，作為學(xué)習(xí)三角形的引導(dǎo)性材料，然后分小組探究這三類三角形內(nèi)角和的規(guī)律，再歸納出三角形內(nèi)角和為180°這一知識點。解決陳述性卡點的教學(xué)策略見表1。

二、程序性卡點

程序性卡點就是由于學(xué)生程序性知識缺乏所造成的對某個知識點的理解障礙。所謂程序性知識是“如何做”的知識，通常以一系列要遵循的步驟的形式出現(xiàn)。它包括技能、算法、技術(shù)和方法的知識，還包括用于決定何時運用不同程序的標準的知識。簡單來說，程序性知識就是“怎么做”的知識。造成學(xué)生學(xué)習(xí)出現(xiàn)卡點的第二類原因是程序性知識缺乏，下例就屬于這種情況。

例：如圖1，求出：∠1=（???），∠2=（???）。

以∠1的求解為例，這個問題的卡點就是程序性卡點，學(xué)生雖然知道三角形的內(nèi)角和為180°，也知道直角三角形的兩個銳角和為90°，但就是不知道如何求∠1，或者沒能意識到可以通過三角形三個內(nèi)角之間的關(guān)系來求∠1，這就是程序性知識缺乏造成的卡點。解決這道題的程序性知識為：（1）識別出∠1處在直角三角形中。（2）識別出圖中的55°角和∠1同處于同一個直角三角形中，它們的和為90°。（3）用90°減去55°得出∠1的數(shù)值。解決程序性知識缺乏造成的程序性卡點，需要學(xué)生掌握條理化解決問題的程序并實現(xiàn)深度的理解。

小學(xué)的數(shù)學(xué)問題，一般是結(jié)構(gòu)良好的問題，結(jié)構(gòu)良好的問題就是有明確的問題條件和標準化的解決方案。教師需要把解決問題的過程進行梳理，以幫助學(xué)生理順邏輯思維，把解決問題的步驟條理化，讓學(xué)生容易理解，習(xí)得解決問題的規(guī)則，并通過課堂練習(xí)，用這些規(guī)則解決問題。通過訓(xùn)練，規(guī)則變成了技能，也就解決了程序性卡點，掌握了解決此類問題的專門領(lǐng)域的程序性知識。學(xué)生課堂上的理解往往是淺層次的理解，規(guī)則和技能會隨著時間迅速遺忘或者退化，為了實現(xiàn)深度的理解以及讓程序性知識進入長時記憶，除了當堂的強化練習(xí)外，課堂上的表現(xiàn)性評估活動也很重要。所謂的表現(xiàn)性評估就是通過學(xué)生的表現(xiàn)（解釋、闡明、表演等）實現(xiàn)對學(xué)生是否理解及理解程度的判斷。通過表現(xiàn)性評估，能夠使學(xué)生在加強對知識理解的同時加強選擇性記憶，促進知識從工作記憶進入長時記憶，是從學(xué)生的角度解決程序性知識缺乏、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的良好方法。課堂語言設(shè)計上，簡單來說，就是如下的對話：“這個解題步驟你懂了嗎？”“懂了。”“那好，講給教師（同桌、小組成員）聽。”教學(xué)設(shè)計，一定程度上是促進學(xué)生主動表現(xiàn)的設(shè)計。程序性卡點及課堂解決方案見表2。

三、策略性卡點

策略性卡點就是由于學(xué)生策略性知識缺乏所造成的對某個知識點的理解障礙。策略性知識是有關(guān)學(xué)習(xí)、思維和解決問題的一般策略的知識。策略性知識決定學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)能力的高低，學(xué)習(xí)能力高的學(xué)習(xí)者更加善于利用認知策略來幫助理解知識。特別是在面臨著復(fù)雜問題的時候，采取有效的策略，可以迅速地抓住問題的本質(zhì)，抓住問題解決的關(guān)鍵點，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐子诶斫獾暮唵螁栴}，從而實現(xiàn)深度理解。

例如雞兔同籠問題：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？

教師如果過于簡單化處理，僵化地講解，例如強調(diào)“設(shè)雞求兔”或“設(shè)兔求雞”，學(xué)生雖然不理解，但照搬解法，也能求解出來，但如果換一個問題情境，學(xué)生就有可能不知所措。對這道題的教學(xué)，追求理解才是有效的教學(xué)，策略性知識缺乏是學(xué)生解決這道復(fù)雜問題的障礙，不懂得抓住問題的關(guān)鍵點，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換為簡單問題，不能透過問題看本質(zhì)，導(dǎo)致策略性卡點。解決這個卡點，教師要給學(xué)生提供一個理解問題的支架，也就是策略性知識。對這道題進行分析，教材給出的解法是：

（1）如果籠子里都是雞，那么就有8×2=16只腳，這樣就多出26-16=10只腳;

（2）一只兔比一只雞多2只腳，也就是有10÷2=5只兔;

（3）所以籠子里有3只雞，5只兔。

對這種解法的理解，學(xué)生最不懂的地方是：為什么用10除以2，能得到兔的數(shù)量？這是這個問題的卡點，要理解這一點，教師需要給學(xué)生提供策略性知識。教師可轉(zhuǎn)換成以下問題：小明家里養(yǎng)了幾只兔子，每只兔子有4條腿，他要算家里兔子的腿總共有多少條，但不小心每只兔算少了兩條腿，一共算少了10條腿，問小明家里養(yǎng)了多少只兔？這道題對小學(xué)四年級學(xué)生來說很簡單，先做這題，再來講雞兔同籠“設(shè)雞求兔”“設(shè)兔求雞”的解法，學(xué)生就較為容易理解，這就是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換成簡單問題的學(xué)習(xí)策略。

對于復(fù)雜問題的理解，教師通過提供策略性知識，幫助學(xué)生解決卡點是必要的。但由于復(fù)雜問題情境的多樣性，需要進一步進行變式練習(xí)，鞏固策略性知識的掌握，同時加深對此問題情境的理解，最終掌握這類問題的解決方法。對于復(fù)雜問題的變式練習(xí)，要掌握好情境改變的程度，設(shè)計兩個變式的情境，一個跟原問題差別很小的問題情境，例如這道題改變動物的類別、數(shù)量、文句的表達方式，但基本的情境（兩種動物一種四條腿一種兩條腿、已知頭和腳的數(shù)量）沒有變，這種情境筆者稱為“類情境”，原始題目的情境相應(yīng)稱為“原情境”;另外一種是解決問題的方法沒有變，但情境有比較大的變化（例如不再是動物），這種情境筆者稱為“它情境”。復(fù)雜問題的變式練習(xí)，要從原情境的練習(xí)，過渡到類情境的練習(xí)，再過渡到它情境的練習(xí)，這樣的設(shè)計，才符合學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)原理，才能使學(xué)生由淺到深、層層深入地理解知識的本質(zhì)，最終達到對一類問題的完全洞悉。

注：本文系廣東省教育科研“十三五”規(guī)劃2018年度課題“基于深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)微課程設(shè)計研究”（課題批準號：2018YQJK013）研究成果。

責任編輯 羅 峰