顧曉雨,李 力

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

作為多自主體系統(tǒng)分布式協(xié)調(diào)控制中的最重要和基礎(chǔ)的問(wèn)題，多自主體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題因?yàn)槠湓诙鄠€(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而備受關(guān)注。多自主體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題主要應(yīng)用于分布式估計(jì)、傳感器網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)融合、無(wú)人機(jī)的編隊(duì)控制、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的資源分配[1]等。一致性，即自主體通過(guò)與鄰居自主體相互通信交換信息，最終所有自主體的狀態(tài)都達(dá)到一致。已有的文獻(xiàn)從自主體的模型、時(shí)延、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、控制策略等角度研究了多自主體系統(tǒng)的一致性[2]。

本文中研究的平均一致性跟蹤問(wèn)題要求所有自主體的最終狀態(tài)跟蹤自主體參考輸入的平均值。平均一致性跟蹤問(wèn)題顯然不同于平均一致性問(wèn)題，傳統(tǒng)的平均一致性問(wèn)題要求自主體最終狀態(tài)收斂到自主體初始狀態(tài)的平均值。Freeman[3]等分別比較了針對(duì)解決靜態(tài)平均一致性跟蹤問(wèn)題的比例平均一致性算法和解決動(dòng)態(tài)平均一致性跟蹤問(wèn)題的比例積分平均一致性算法，并得出結(jié)論：比例積分算法對(duì)于常數(shù)參考輸入和變化緩慢的參考輸入具有更好的效果。受文獻(xiàn)[3]的啟發(fā)，Bai[4]等分析了針對(duì)常數(shù)參考輸入的比例積分平均一致性跟蹤算法的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并利用內(nèi)部模型原理將比例積分平均一致性算法拓展到更一般的情況，使自主體可以跟蹤幾類時(shí)變的參考輸入。對(duì)于具有常數(shù)參考輸入的一階多自主體系統(tǒng)，Shan和Liu[5]考慮了部分自主體缺少參考輸入的平均一致性跟蹤問(wèn)題，并給出了相應(yīng)的算法。利用廣義奈奎斯特判據(jù)，分別給出了在對(duì)稱連通拓?fù)湎拢灾黧w有無(wú)通信時(shí)延的收斂條件。Shao和Tian[6]針對(duì)具有非匹配參考輸入的一階多自主體系統(tǒng)提出了平均一致性跟蹤算法，但是該算法要求所有自主體知道自主體的數(shù)量以及所有的參考輸入。

在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，自主體常常因?yàn)殚g歇通信和受限的感知能力而只能周期性地相互通信，最終導(dǎo)致離散或者采樣數(shù)據(jù)的情況。基于采樣數(shù)據(jù)的一致性問(wèn)題引起了研究者的廣泛興趣，并應(yīng)用代數(shù)圖論、矩陣論和隨機(jī)矩陣的性質(zhì)等方法研究了各種限制情況下的一致性問(wèn)題?，F(xiàn)有的研究結(jié)果表明，采樣數(shù)據(jù)控制策略不僅可以極大地減少通信損耗，還可以提高系統(tǒng)對(duì)于由系統(tǒng)連接故障和傳輸時(shí)延引起的切換拓?fù)涞聂敯粜?。然而，基于采樣?shù)據(jù)的一致性跟蹤效果與采樣間隔密切相關(guān)。

受前人研究的啟發(fā)，我們提出并分析了2種情況下的基于采樣數(shù)據(jù)控制的比例積分平均一致性跟蹤算法。第1種情況是所有自主體都具有常數(shù)參考輸入，第2種情況是部分自主體有常數(shù)參考輸入而剩下的自主體沒(méi)有常數(shù)參考輸入。利用矩陣論的知識(shí)，給出了第1種情況在平衡拓?fù)湎率諗康狡骄恢滦愿櫟某湟獥l件。相應(yīng)地，針對(duì)第2種情況，運(yùn)用頻域分析的方法給出了連接拓?fù)錇闊o(wú)相連通拓?fù)湎聺u進(jìn)達(dá)到平均一致性跟蹤的充分條件。

1 問(wèn)題描述

1.1 自主體模型

本文研究的一階自主體系統(tǒng)的模型如下：

(1)

式中：xi(t)∈R和ui(t)∈R分別是自主體i的狀態(tài)和控制輸入。

本文的目標(biāo)就是設(shè)計(jì)一種控制算法，使得對(duì)于任意的參考輸入φi,i=1,2,…,n，有：

(2)

即所有自主體漸進(jìn)達(dá)到平均一致性跟蹤。

1.2 需要引理

引理1：對(duì)于n階方陣M，N，P，Q，如果MP=PM，那么：

(3)

引理2：對(duì)于如下的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式：

g(s)=s2+(ξ1+iσ1)s+ξ0+iσ0

(4)

式中：ξ1，σ1，ξ0和σ0為常實(shí)數(shù)。

當(dāng)且僅當(dāng)ξ1>0和ξ1σ1σ0+ξ12ξ0-σ02>0成立時(shí)，g(s)是穩(wěn)定的。

2 主要結(jié)論

2.1 匹配參考輸入的平均一致性跟蹤

在許多應(yīng)用場(chǎng)景中，因?yàn)閿?shù)字傳感器和基于計(jì)算機(jī)的控制，盡管自主體的模型是連續(xù)的，自主體的控制器只有在離散采樣時(shí)刻獲得采樣數(shù)據(jù)。為了實(shí)現(xiàn)平均一致性跟蹤，考慮一種在離散采樣時(shí)刻獲得采樣數(shù)據(jù)并且控制輸入是基于零階保持器的平均一致性跟蹤算法。假設(shè)采樣周期是T=tk+1-tk，提出如下的分布式算法：

(5)

式中：φi∈R和ηi∈R是自主體i的常數(shù)參考輸入和內(nèi)部狀態(tài)；在平均一致性跟蹤算法(4)中，ηi(t)的作用是消除自主體的跟蹤誤差；γ>0，kP>0和kI>0是控制增益；xi(tk)和xj(tk)均為在采樣時(shí)刻tk獲得的狀態(tài)信息。

(6)

其中f(t)定義如下:

f(t)=kIθi(tk)(t-tk)+ω

(7)

通過(guò)計(jì)算得到在算法(4)下的多自主體系統(tǒng)(1)的閉環(huán)形式為：

(8)

(9)

接下來(lái),針對(duì)基于采樣數(shù)據(jù)的模型(8)，給出相應(yīng)的結(jié)論。

(10)

接下來(lái)，推導(dǎo)多自主體系統(tǒng)在平衡且強(qiáng)連通拓?fù)湎逻_(dá)到平均一致性跟蹤的條件。

證明：首先分析一階多自主體系統(tǒng)(9)的收斂性。

令ψ(k)=[ψ1(k),…,ψn(k)]T，φ(k)=[φ1(k),…,φn(k)]T，z(k)=[ψT(k),φT(k)]T，可得：

z(k+1)=Δz(k)

(11)

式中：

對(duì)拉普拉斯矩陣L進(jìn)行基本行變換和列變換：

(12)

下面分析下列方程的根的情況:

det(λI2n-2-Δ)=0

(13)

根據(jù)引理1，式(12)等價(jià)于：

det{(λ-α)(λ-1)In-1+[β(λ-1)·(1-α)+

(14)

方程(14)等價(jià)于：

(1-α)+kIT(λ-1)+kI(1-α)T]}=0

(15)

接下來(lái)，考察下列方程的根：

(λ-α)(λ-1)+[β(λ-1)(1-α)+

(16)

(17)

根據(jù)引理2，當(dāng)且僅當(dāng)定理1中的(1)和(2)成立時(shí)，方程(17)的根都在左半復(fù)平面，即在連接拓?fù)錆M足假設(shè)1的情況下，一階多自主體系統(tǒng)漸進(jìn)達(dá)到平均一致性跟蹤。

第2步，證明最終達(dá)到一致的決策值是常數(shù)參考輸入的平均值。由先前的證明可知，一階多自主體系統(tǒng)已經(jīng)漸進(jìn)達(dá)到了一致，即當(dāng)k→∞時(shí)，x1(k)=x2(k)=…=xn(k)，對(duì)于i=1,…,n，有：

(18)

即:

(19)

可以得到：

(20)

η1(k)+η2(k)+…ηn(k)=η1(0)+η2(0)+…ηn(0)

(21)

2.2 非匹配參考輸入的平均一致性跟蹤

在實(shí)際工程應(yīng)用場(chǎng)景中，多自主體系統(tǒng)中只有部分自主體獲得了參考輸入，而剩余的自主體沒(méi)有參考輸入。Shan和Liu[5]研究了連續(xù)通信中一階多自主體系統(tǒng)的平均一致性跟蹤問(wèn)題，所以我們?cè)谶@部分研究了在采樣數(shù)據(jù)控制下的情形。

針對(duì)第2種情況，將算法(4)修改成了如下形式：

(22)

其中當(dāng)i=1,…,m時(shí)，δi=1；而當(dāng)i=m+1,…,n時(shí)，δi=0。控制目標(biāo)表示如下：

(23)

(24)

(25)

得到上述系統(tǒng)的特征方程：

(26)

(27)

(28)

證明：根據(jù)引理2和文獻(xiàn)[5]中定理1的證明，方程(19)在z=1處有1個(gè)單根。當(dāng)z≠1時(shí)，通過(guò)計(jì)算可得：

令：

(29)

需要證明F(z)根的模都小于1。根據(jù)文獻(xiàn)[7]中的廣義奈奎斯特判據(jù)，如果對(duì)于ω∈(0,π)，ρ(L)Co(0∪gl(ω),l=1,2)沒(méi)有包含(-1,j0)點(diǎn)，則F(z)的零點(diǎn)都在以原點(diǎn)為中心的單位圓內(nèi)。對(duì)于對(duì)稱圖，根據(jù)拉普拉斯矩陣的定義，可知L=LT≥0。根據(jù)文獻(xiàn)[8]中的引理4，可以得到：

ρ(L)Co(0∪gl(ω),l=1,2

(30)

如果ρ(L)Co(0∪gl(ω),l=1,2)沒(méi)有包含(-1,j0)點(diǎn)，F(xiàn)(z)的零點(diǎn)除了1個(gè)在z=1以外，其余的根都在以原點(diǎn)為中心的單位圓內(nèi)。剩下的證明過(guò)程類似于定理1，在此不再贅述。

3 仿真實(shí)例

在這部分，提供了數(shù)值仿真以驗(yàn)證前面得到的理論結(jié)論的有效性。

首先考察了第1種情況由4個(gè)自主體構(gòu)成的一階多自主體系統(tǒng)，其通信拓?fù)涫瞧胶馇覐?qiáng)連通的，如圖1所示。

圖1 平衡且強(qiáng)連通拓?fù)?/p>

圖2 自主體的位置

接下來(lái)考察第2種情況中由4個(gè)自主體構(gòu)成的多自主體系統(tǒng)，其通信拓?fù)涫菍?duì)稱連通拓?fù)?，?jiàn)圖3。

圖3 對(duì)稱連通拓?fù)?/p>

圖4 自主體的狀態(tài)

圖5 奈奎斯特曲線ρ(L)Co(0∪gl(ω),l=1,2)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)于具有常數(shù)參考輸入的一階多自主體系統(tǒng)提出了基于采樣數(shù)據(jù)的比例積分平均一致性跟蹤算法。首先運(yùn)用矩陣論和圖論的知識(shí)論證并給出了多自主體系統(tǒng)在平衡且強(qiáng)連通拓?fù)湎逻_(dá)到平均一致性跟蹤的充要條件。然后針對(duì)部分自主體缺少參考輸入的情況，提出了改進(jìn)的平均一致性跟蹤算法，并根據(jù)頻域分析方法給出了多自主體系統(tǒng)在對(duì)稱連通拓?fù)湎逻_(dá)到平均一致性跟蹤的充分條件。