淳 慶，華一唯，張承文，賈肖虎

(東南大學建筑學院，江蘇南京 210096)

0 引 言

中國的古建筑木結構體系在世界建筑體系中占有重要地位，歷經(jīng)千百年，具有鮮明的中華民族特色，明顯不同于西方以磚石砌體結構為主的建筑遺產(chǎn)類型。中國的古建筑木結構營造傳統(tǒng)工藝是工匠按世代相沿襲的手法完成從原材料采集、構件加工制作到安裝成型，再到后期裝修和修繕的一套完整技術過程，是勞動人民長期實踐經(jīng)驗的總結，是經(jīng)過長時間的反復運用、不斷改進和創(chuàng)新而形成的較為成熟的工藝技術體系，蘊含著深刻的科學原理。我國現(xiàn)存的古建筑木結構主要有抬梁木構體系、穿斗木構體系和井干木構體系。這些古建筑木結構隨著時間的流逝，受應力效應、環(huán)境效應、疲勞效應、腐朽效應以及材料老化等不利因素的影響，不可避免地產(chǎn)生了損傷累計和抗力衰減，一旦材料或結構嚴重損傷、受強外力作用、自然災害作用達到一定程度，這些古建筑木結構就存在損毀的風險了。因此，對這些古建筑木結構進行科學的結構性能計算，準確地評估其結構安全現(xiàn)狀，盡早地預防損毀的風險，已變得非常迫切了。

目前，國內(nèi)外學者對于古建筑木結構的結構性能研究主要有以下幾方面：在構件研究層面上，徐國明[1]推導出原木椽條在不同荷載組合作用下的最小直徑計算公式，并對采用原木椽條的瓦屋面四種常用工程做法進行了總結，編制了楊木原椽條最小直徑選用表；賴振中[2]以飛檐為研究對象，介紹了飛檐的歷史、形制、藝術價值等，包括早期發(fā)展和演變過程、飛檐做法、結構等；井慶升[3]從歷史的角度對古建筑翼角的演變進行了總結；一些學者[4-7]對于木梁中出現(xiàn)的疊合做法進行了理論分析與試驗研究，得出不同材料、不同尺寸的木梁疊合構件抗彎承載力計算公式。在結構研究層面上，淳慶等[8]通過對南方地區(qū)傳統(tǒng)的穿斗木構體系和抬梁木構體系的典型榫卯節(jié)點和構架的試驗研究，得出兩種木構體系結構的整體性關鍵殘損點指標；李振等[9]參照宋《營造法式》，建立了單、雙、三跨一榀木構架無斗拱有限元模型，對其在相同柱頂配重下進行了低周往復荷載作用下的數(shù)值模擬，研究了各自的承載性能；陳春超[10]以榫卯節(jié)點、單榀木構架和整體結構的受力性能為研究對象，歸納和總結現(xiàn)有研究成果的不足，結合試驗研究、有限元模擬和理論分析對古木結構的整體性能進行了研究；袁建力[11]對墻體與木構架的構造特征、力學性能和布置方案對整體結構抗震性能的影響進行了研究，提出了基于位移控制包括墻體微裂和開裂工作狀態(tài)的古建筑木結構三階段抗震分析方法；李小偉[12]以宋代八架椽分心斗殿堂為原型結構，制作了3榀相似比為1∶4的木構架模型，測試得到木材的材料性質(zhì)和木構架模型在空載、半載和滿載3種工況下的動力參數(shù)；張海彥[13]以殿堂式木構建筑為例，對其獨特的結構形式、節(jié)點特性、動力機制進行了研究，提出了榫卯連接特性的剛度公式和等效黏滯阻尼系數(shù)。而國外學者[14-17]對木結構的計算研究主要針對采用膠合木為材料的木結構。

綜上所述，目前國內(nèi)外學者對于古建筑木結構受力性能的計算方法研究較少，本研究選取古建筑木結構中的主要結構構件作為研究對象，對常見的荷包木椽、拼合木檁條、木梁架的受力性能計算方法進行研究，最后再從整體上對典型木構架的動力特性進行研究，給出其結構基本自振周期的簡化計算公式。研究成果可以為古建筑木結構的結構計算、安全評估、加固修繕設計提供理論依據(jù)。

1 結構受力性能簡化計算方法

1.1 上下椽頭尾搭接的木椽受力簡化計算

在古建筑木結構中，木椽是屋面基層的最底層構件，垂直安放在檁條之上，布椽方式多為上下椽頭尾搭接(圖1)。木椽的類型主要分圓椽、方椽與荷包椽3類。木椽兩端擱置在檁條之上，從結構受力的角度可以假設成兩端簡支的簡支梁模型。在木椽受力性能計算時，通常對木椽的抗彎強度、抗剪強度和撓度進行計算分析，以確定木椽的結構安全性。

圖1 屋面木椽實景照片F(xiàn)ig.1 Photos of roof rafters

對于方椽和圓椽而言，計算較為簡單，本研究不再贅述。在我國江南地區(qū)的傳統(tǒng)木構建筑中，椽子多為荷包椽。荷包椽的結構安全直接關系到屋面的整體安全，在筆者修繕的數(shù)十棟江南地區(qū)傳統(tǒng)木構建筑中，就存在許多荷包椽撓度過大或斷裂的殘損現(xiàn)象，究其原因主要是由于斷面較小而引起的受力問題所致。對于江南地區(qū)傳統(tǒng)木構建筑中常見的荷包椽，由于其不規(guī)則截面形狀，如何求解其截面慣性矩成為計算過程的關鍵所在。本研究針對荷包椽的截面特性，提出一種簡化、快速的計算方法，以便于實際工程中的復核計算。

1.1.1荷包椽截面慣性矩的簡化計算 荷包椽是指圓形截面截去直徑的1/4所留下的弓形截面，是傳統(tǒng)木構建筑中常用的木椽截面形式，如圖2所示。為研究其截面慣性矩的簡化計算方法，采用組合截面的計算方式計算。計算時，采用整圓的截面慣性矩減去上部1/4弓形截面慣性矩并附加移軸慣性矩，以此得到荷包椽截面的慣性矩。

圖2 計算簡圖Fig.2 Structural calculation diagram

按圖2所示的計算簡化與參數(shù)示意圖建立相應的坐標系，首先依據(jù)式(1)計算荷包椽截面中性軸位置xc。

(1)

式中，S1、S2分別為整圓截面、弓形截面的面積；xc1、xc2分別為這兩個截面自身形心軸相對于x軸的坐標。若假設荷包椽切除的弓形高為h，寬為b，整圓截面的半徑為r，那么S1、S2、xc1、xc2可按式(2)至式(5)計算得到，其中弓形的面積和形心位置按拋物線近似估計。

xc1=0

(2)

S1=πr2

(3)

xc2=r-2h/3

(4)

S2=2bh/3

(5)

將式(2)至式(5)代入式(1)可計算得到荷包椽中性軸位置坐標的表達式。

(6)

荷包椽截面慣性矩的計算根據(jù)組合截面慣性矩的移軸定理按式(7)計算。

(7)

式中，Ic1、Ic2分別為整圓截面、弓形截面對自身形心軸的截面慣性矩；dc1、dc2分別為這兩個截面自身形心軸對荷包椽截面中性軸距離。其均可按式(8)至式(11)計算得到，其中弓形截面慣性矩和按半橢圓近似估計。

(8)

Ic1=πr4/4

(9)

(10)

Ic2=46bh3/945

(11)

將式(8)至式(11)代入式(7)可以計算得到荷包椽對自身形心的截面慣性矩表達式。

(12)

荷包椽截面抵抗矩的按式(13)計算。

W=Ic/ymax

(13)

式中，ymax為荷包椽上下邊緣至中性軸距離的較大值，表達式如式(14)。

(14)

當h/2r=1/4時：

Ic≈0.638 8r4

(15)

ymax≈0.932 5r

(16)

W≈0.685 0r3

(17)

1.1.2對檐椽和飛椽的結構意義討論 1) 宋《營造法式》檐口伸出的規(guī)定?！稜I造法式》卷五中述“造檐之制，皆從撩檐枋心出，如椽徑三寸，即檐出三尺五寸；椽徑五寸，即檐出四尺至四尺五寸。檐外別加飛椽，每檐一尺出飛子六寸”。也就是說，從撩檐枋心向外至檐口的伸出，由“檐椽出”和“飛椽出”兩個距離組成，檐椽出按椽徑大小計算，飛椽出按檐椽出的0.6倍計算。

2) 清《工程做法則例》檐口伸出的規(guī)定。無斗拱建筑由檐檁中至飛椽外皮的距離，按0.3倍檐柱高計算；帶斗拱建筑由挑檐桁中至飛椽外皮(按21斗口計算，其中檐椽出占14斗口；飛椽出占7斗口)。

3) 飛椽。飛椽宋稱飛子，它是鋪釘在望板上，楔尾形的檐口椽子，與檐椽成雙配對，飛椽徑與椽子相同，后尾長按出檐長的2.5倍計算。

一般可認為，檐椽由抗彎承載力控制，而飛椽則由撓度控制。下文給出詳細計算推導作為依據(jù)。

在出挑長度相同的情況下，分兩種工況進行計算分析，工況1：僅是檐椽出；工況2：檐椽出+飛椽出。

(1) 工況1。僅是檐椽出時，出挑長度為L1+L2，計算簡圖如圖3所示。

圖3 檐椽出挑(L1+L2)的計算簡圖Fig.3 Calculation diagram of eave rafter with cantilever length of (L1+L2)

此時，最大彎矩為：

(18)

最大剪力為：

V1=q(L1+L2)

(19)

最大撓度為：

(20)

式中,q為木椽均布荷載設計值；qk為木椽均布荷載標準值；E為木椽的彈性模量；I為木椽截面的慣性矩。

(2) 工況2。檐椽出挑L1，飛椽再出挑L2，計算簡圖如圖4所示。

圖4 檐椽出挑L1+飛椽出挑L2Fig.4 Calculation diagram of eave rafter with cantilever length of L1 and flying rafter with cantilever length of L2 overhang of eaves-rafter： L1+ overhang offlying-rafter： L2

此時，最大彎矩為：

(21)

最大剪力為：

V2=q(L1+L2)

(22)

最大撓度為：

(23)

經(jīng)計算比較得，M1>M2，V1=V2，Δ1>Δ2。

計算結果表明，在檐椽的基礎上增加飛椽，不僅可以滿足建筑外觀和構造的要求，而且可以使檐椽的彎矩和撓度均減小，因此檐椽的截面尺寸也可以相應縮小。

表1為檐椽出和飛椽出的最大值，計算時木材強度按照杉木和松木取值，檐椽和飛椽均為方椽，屋面恒荷載標準值取值：琉璃瓦取3.8 kN/m2，筒瓦取3.0 kN/m2，小青瓦取2.4 kN/m2，屋面活荷載標準值取0.7 kN/m2。該表格中的數(shù)據(jù)可供木椽長度設計時參考。

表1 檐椽出和飛椽出的長度最大值Table 1 Maximum cantilever length of eave rafter and flying rafter

1.2 拼合檁條受力簡化計算

古建筑木結構的檁條根據(jù)位置不同可分為脊檁、金檁、檐檁和挑檐檁等類型，檁條與檁條之間一般用燕尾榫縱向拉接，檁條在跨度較大且受力較大時，為增強檁條抗彎性能，其下方會增設隨檁枋(南方又稱連機)形成拼合檁條以滿足承載力和剛度的要求。隨檁枋與檁條之間通常采用近端部硬木銷釘?shù)姆绞竭M行連接，以形成拼合檁條的結構形式，拼合方式如圖5所示。

圖5 拼合檁條模型(檁條+隨檁枋)Fig.5 Calculation model of stitching purlin (purlin with Fang)

在實際做法中，木結構榫卯節(jié)點通常呈半剛性，限制了豎直方向上的位移且具有一定的轉動能力。而在進行拼合檁條截面承載力驗算時，為留足安全富余度且便于計算，故保守考慮將兩端支座簡化為鉸支座。這時若考慮荷載平衡方程及變形協(xié)調(diào)條件，再加以檁條與隨檁枋的的物理方程，便可求出近端部銷栓所受的剪力。

(24)

式中,q為拼合檁條所受均布荷載；d為近端部銷栓至拼合檁條端部距離；L為拼合檁條總長度；Du為檁條直徑；h為隨檁枋高度；A1、A2分別為檁條、隨檁枋的面積；I1、I2分別為檁條、隨檁枋的慣性矩。檁條—隨檁枋拼合檁條的破壞模式可分為兩種：1)銷栓首先破壞，隨后拼合檁條形成疊合檁條，隨著荷載的增大，檁條或隨檁枋最后破壞；2)拼合檁條率先達到極限抗彎強度而破壞。

1.2.1破壞模式1 銷栓先破壞時，上下小件的極限彎矩滿足M1

(25)

式中,A為銷栓截面積，其余參量與式(24)中的參量定義一致。在銷栓破壞后，形成檁條-隨檁枋疊合構件，在小變形情況下，兩梁的曲率相同，則拼合檁條最終破壞時最大彎矩為：

當h>Du(隨檁枋先破壞)時：

M=M1+M2=2fm(I1+I2)/h

(26)

當h≤Du(檁條先破壞)時：

M=M1+M2=2fm(I1+I2)/Du

(27)

1.2.2破壞模式2 單個小件先破壞時的銷栓剪力應滿足N<2fvA/3，因此單個小件先破壞時的最大彎矩為：

當h>Du(隨檁枋先破壞)時：

(28)

當h≤Du(檁條先破壞)時：

(29)

式中,I1、I2分別為檁條、隨檁枋的慣性矩；W1、W2分別為檁條、隨檁枋的彎曲截面系數(shù)；λ數(shù)值為近端部銷栓至拼合檁條端部距離d與拼合檁條總長度L的比值。為簡化表達引入?yún)⒘緾K，表達式如式(30)。

(30)

1.3 三架梁和五架梁受力簡化計算

古建筑木結構民居中的主要受力梁架一般為三架梁和五架梁兩種，木梁與木柱的榫卯連接節(jié)點根據(jù)木構架的不同會有所不同，木梁可以簡化為兩端半剛性連接的梁，其結果可以視作兩端鉸支的梁在外荷載與支座反力彎矩相疊加，其疊加原理圖見圖6。

從圖6的疊加原理，有端部轉角疊加相等的幾何方程：

圖6 三架梁、五架梁支座半剛性彎矩計算簡圖Fig.6 Calculation diagrams for moment calculation of three-purlin beam and five-purlin beam with semi-rigid supports

θi=θpi-θmi(i=1，2)

(31)

若設梁的彎曲剛度為EI，步距為l，則三架梁與五架梁的θpi、θmi可按式(32)和(33)求得。

(32)

(33)

式中,Mr為支座處的彎矩，若設支座處轉動剛度為k，其值應為kθ；代入式(31)可解得θi。

(34)

依據(jù)Mri=kθi及彎矩疊加原理，容易計算得到支座處彎矩Mri及梁的跨中彎矩Mmi：

(35)

(36)

式中,i為梁的線剛度，對于三架梁計算模型i1=EI/2l，對于五架梁計算模型i2=EI/4l。

對比兩端鉸支的簡支梁跨中彎矩，可以發(fā)現(xiàn)當兩端支座處考慮榫卯節(jié)點半剛性后，跨中的彎矩有所減小，而支座處則出現(xiàn)了一定的負彎矩。為了在工程中方便地計算節(jié)點半剛性帶來的跨中彎矩折減以及支座處的負彎矩，引入跨中彎矩系數(shù)和支座彎矩系數(shù)φm、φr，那么跨中彎矩及支座處的負彎矩可以通過簡支梁的跨中彎矩Mm0乘以對應的系數(shù)得到，即：

Mm=φmMm0，Mr=φrMm0

(37)

依據(jù)式(35)和式(36)，容易計算得到φmi、φri的表達式。

對于三架梁：

(38)

對于五架梁：

(39)

1.4 古建筑木結構的基本自振周期簡化計算方法

為研究古建筑木結構在兩個方向基本自振周期的近似計算公式，針對典型開間數(shù)、屋面瓦作及建筑高度的古建筑采用SAP 2000軟件建立了有限元模型進行計算分析，其計算模型如圖7所示，榫卯節(jié)點的轉角剛度半剛性數(shù)據(jù)參見文獻[18-20]，木材的彈性模量按常見的杉木和松木考慮，取值為9 000 N/mm2。對于不同的開間數(shù)，考慮了三開間、五開間兩種常見類型；對于不同的屋面瓦作，考慮了小青瓦和筒瓦兩種常見類型，其中小青瓦屋面恒載取2.4 kN/m2、筒瓦屋面恒載取3.0 kN/m2；對于不同的建筑高度，考慮了明間3.6 m和3.3 m兩種情況，其余尺寸按古建筑的形制中確定的比例關系推算得到，這兩種情況對應的建筑高度分別為4.4 m和4.2 m，柱底為鉸接。

圖7 不同開間木構建筑計算有限元模型Fig.7 Finite element models of traditional timber buildings with different bays

最終，共獲得三開間的4種工況和五開間的4種工況的結構基本自振周期，計算結果如表2所示。

表2 典型木構建筑的基本自振周期Table 2 Basic natural vibration periods of typical traditional timber buildings

從表2中的計算結果可以初步擬合得到典型類型的古建筑木結構在2個方向(進深方向T1、面闊方向T2)的基本自振周期的近似計算公式。

當為三開間時：

T1=η(0.895H-2.665)，T2=η(0.825H-2.407)

(40)

當為五開間時：

T1=η(0.670H-1.748)，T2=η(0.845H-2.563)

(41)

式中，結構基本自振周期單位為s；H為結構建筑高度，單位為m；η為屋面瓦作影響系數(shù)，當屋面瓦作為小青瓦時取1，筒瓦時取1.1。

2 結 論

通過從構件層面到結構層面，一方面，對木椽、木檁條、木梁架進行了結構受力計算研究，給出了受力性能的簡化計算方法；另一方面，研究了常見開間數(shù)的木構架整體動力特性，并給出了其基本自振周期的簡化計算公式，研究成果對古建筑木結構的結構受力計算、結構安全評估及加固修繕設計研究與工程實踐有一定的參考價值和指導意義。

1) 對古建筑木結構中的荷包椽進行了截面特性的研究，得出荷包椽截面慣性矩的簡化計算公式，便于在實際工程中對此類木椽的截面特性進行快速計算。

2) 通過計算分析，給出了工程做法中檐椽與飛椽組合的長度最大值，供設計借鑒參考。

3) 對常見的圓形檁條拼合矩形隨檁枋的拼合檁條構件，給出不同破壞模式下的銷栓剪力與極限彎矩的簡化計算公式，便于在實際工程中進行結構驗算和構件設計。

4) 考慮轉角半剛性，提出了古建筑木結構中的三架梁、五架梁的跨中彎矩和支座彎矩的計算公式。

5) 給出了古建筑木結構中典型三開間、五開間木構架在進深方向和面闊方向的結構基本自振周期近似計算公式。