（南京理工大學 電子工程與光電技術學院，江蘇 南京 210094）

引言

光學平面面形的相對測量結果受干涉儀參考平晶面形精度的影響，絕對檢驗技術能夠分離出參考平晶的面形誤差，實現(xiàn)平晶面形的高精度檢測。G.Schulz 和J.Schwider 最早提出了三平板互檢法，獲取一條直徑方向上的絕對面形分布[1]，韓森等人在此基礎上增加一次旋轉測量，得到全面形分布[2]。三平板互檢法在測量過程中需要更換參考鏡，操作不便。繼而發(fā)展出兩平板絕對檢驗方法，主要包括偽剪切法[3-5]、旋轉平移法[6-10]及兩平板三面互檢法[11-12]。Keenan 提出偽剪切方法，平移待測鏡得到絕對面形偏差，再通過積分得到絕對面形分布，但是在平移過程中容易引入額外傾斜，無法重建待測波面的離焦和像散項[3]。Fujimoto 提出旋轉平移法，在偽剪切方法的基礎上增加一次旋轉測量，重建了像散項誤差，仍然不能恢復離焦項[6]。徐晨等人提出了兩平晶三面互檢的絕對檢驗方法，通過提前測量測試平晶的折射率非均勻性，結合Zernike 多項式得到絕對面形低頻分布[11]。在此基礎上，孫文卿分別從空域和頻域使用圖像旋轉算法和快速傅里葉變換方法解算波面，此時圖像旋轉算法集中于低頻波面的求解[12]。

本文采用基于N次圖像旋轉法的兩平晶三面互檢方法，對平晶的三維絕對面形進行求解，結果中包含了中頻波段的面形誤差。推導了算法的理論誤差，仿真計算了虛擬旋轉次數(shù)和算法精度之間的關系，通過優(yōu)化旋轉角度和增加虛擬旋轉次數(shù)，降低了算法誤差，提高了算法精度。分析了旋轉角度、像素錯位和平晶折射率非均勻性誤差對檢測精度的影響。

1 原理

圖1給出了兩平晶三面互檢法測量原理，平晶Ⅰ為參考平晶，平晶Ⅱ為測試平晶，這4次干涉測量可以用以下方程式表示：

式中：Mn(n=1,2,3,4)為測得的波面數(shù)據(jù)；δ(x,y)表示平晶Ⅱ折射率非均勻性導致的偏差；n表示光學元件的折射率；[?]?表示將波面繞光軸z旋轉 ?角。

圖1 兩平晶三面互檢法的原理圖Fig.1 Schematic of two-flat crystal three-sided mutual test method

通常情況下，任意一個圓形光學元件的三維波面誤差函數(shù)都能分解為旋轉不變項和旋轉變化項[13]，將（1）式中的波面函數(shù)分解為旋轉不變項和旋轉變化項2 部分，此時根據(jù)（1）式的前3 項旋轉不變項方程，可以直接求解出待測平晶絕對面形中的旋轉不變項。

對于面形中的旋轉變化項，可以采用N次圖像旋轉法求解。N次圖像旋轉法是基于Evans 提出的旋轉平均法的思想[14]，構造遞推公式，利用M3和M4兩次測量數(shù)據(jù)，對旋轉變化項進行N次虛擬旋轉。其中，等效最小旋轉角度φ為實際旋轉角度?與360°的最大公約數(shù)，虛擬旋轉次數(shù)

定義旋轉變化項序列Pj(0 ≤j≤N)，其中P0為M3的旋轉變化項，P1為M4的旋轉變化項，并利用迭代法構造出該計算序列的遞推公式：

式中：[?]θ表示波面數(shù)據(jù)中與旋轉角度θ有關的旋轉變化項，將待測波面C的旋轉變化項Cθ用極坐標Zernike 多項式表示（m≠0），并對前N項進行疊加平均：

使用歐拉公式對其中的余弦項和正弦項進行化簡求和，當m≠kN(k=1,2,3······)時，（3）式中的余弦求和項與正弦求和項均為0，只剩下kNθ項，并記作CkNθ，因此旋轉平均的結果可以記作：

當忽略kNθ項誤差時，可以得到待測波面的旋轉非對稱部分，其中kNθ項與旋轉次數(shù)N密切相關，即N次圖像旋轉法的理論誤差。將求解的旋轉不變項和旋轉變化項相加，得到待測平晶的絕對面形分布。

2 仿真分析

本文以150 mm 口徑平晶的實測表面數(shù)據(jù)作為原始波面數(shù)據(jù)，對N次圖像旋轉法進行仿真計算，將原始波面記為A、B和C，根據(jù)兩平晶三面互檢法的測量步驟，翻轉、旋轉和疊加運算后得到4次測量結果，并根據(jù)N次圖像旋轉算法進行求解。

根據(jù)現(xiàn)有文獻可知[15]，在平晶絕對檢驗中旋轉角度常取54°，此時等效最小旋轉角為18°，圖像虛擬旋轉次數(shù)為20次，原始波面、計算波面及計算波面與原始波面點對點相減得到的殘差波面的PV、RMS值由表1給出。計算波面的PV值和RMS值數(shù)據(jù)也與原始波面基本一致，殘差波面的PV值為2 nm，僅為原始波面PV值的3.33%；殘差波面的RMS值為0.179 nm，僅為原始波面RMS值的4.15%。

表1 兩平晶三面互檢中旋轉角度為54°時的各波面數(shù)據(jù)Table1 Wavefront data at 54 ° rotation angle of two-flat crystal three-sided mutual test nm

盡管54°被論證為光學實驗中采用Zernike 多項式法進行面形恢復的最佳角度[16]，但是N次圖像旋轉法的理論誤差kNθ項與旋轉次數(shù)密切相關，虛擬旋轉次數(shù)越多，算法的理論計算精度越高，本文將針對N次圖像旋轉法中的虛擬旋轉次數(shù)N進行仿真分析。

N次圖像旋轉法中的旋轉次數(shù)與等效最小旋轉角有關，根據(jù)等效最小旋轉角的定義，旋轉次數(shù)的取值范圍為360°的24組公約數(shù)。表2為部分旋轉次數(shù)下的殘差波面的PV值和RMS值。圖2給出了旋轉次數(shù)和殘差波面RMS值之間的關系，當旋轉次數(shù)小于40次時，殘差波面的RMS值隨著旋轉次數(shù)的增加而大幅度下降，當旋轉次數(shù)大于40次時，殘差波面的RMS值下降趨勢趨于平緩。

表2 N次圖像旋轉法的不同旋轉次數(shù)下的殘差波面數(shù)據(jù)Table2 Residual wavefront data with different rotation times nm

圖2 N次圖像旋轉法中旋轉次數(shù)與殘差波面均方根值的關系Fig.2 Relationship between rotation times and RMS of residual wavefront

圖3為旋轉角度分別為48°、54°和63°時的殘差波面，面形分布呈螺旋對稱狀，對應的虛擬旋轉次數(shù)N分別為15次、20次和40次，隨著虛擬旋轉次數(shù)的增加，殘差波面的RMS值逐漸下降，并且殘差波面的中高頻成分增多，符合理論誤差kNθ項的規(guī)律。同時隨著旋轉次數(shù)的增加，計算機內(nèi)的波面旋轉插值誤差不斷累積，導致邊緣誤差不斷增大，并且計算時間大幅增加，但是提高的精度有限，因此旋轉次數(shù)并不能取值過大。綜上所述，本文選取63°為優(yōu)化旋轉角度，當旋轉角度由54°優(yōu)化為63°時，圖像的虛擬旋轉次數(shù)N由20次增加為40次，計算精度由0.179 nm 降低到0.141 nm，提高了圖像旋轉算法的精確度。

圖3 48°、54°和63°不同旋轉角度下求解的殘差波面Fig.3 Residual wavefront at different angles:48°，54° and 63°

3 實驗

使用ZYGO GPI XP型斐索干涉儀進行N次圖像旋轉法的兩平晶三面互檢實驗研究，實驗裝置如圖4所示。該干涉儀的工作波長 λ=632.8 nm，CCD的分辨率為640 pixel×480 pixel，利用擴束系統(tǒng)將干涉儀的有效口徑擴展至Ф150 mm。參考平晶為ZYGO 干涉儀自帶的標準平晶（平晶Ⅰ），測試平晶為一塊自制的融石英標準平晶（平晶Ⅱ），將平晶Ⅰ的工作面、平晶Ⅱ的2個表面分別記為A、B 和C。實驗中干涉腔用封閉罩隔離，避免氣流與溫度波動的干擾，干涉腔內(nèi)的溫度為20.2℃，濕度為51.8%，干涉腔長為80 mm。

圖4 實驗裝置圖Fig.4 Schematic diagram of experimental device

實驗過程中進行4次干涉測量，分別是：1）表面A與表面B的干涉，2）表面A與表面C的干涉，3）表面A 在平晶Ⅱ繞y軸翻轉180°后與表面C的干涉，4）表面A 在平晶Ⅱ繞z軸逆時針旋轉 ?角后與表面C的干涉。具體得到的4次測量波面如圖5所示，其中第2次測量中測試光束需要透過平晶Ⅱ，圖5（b）的波面數(shù)據(jù)因為折射率非均勻性而引入波差，因此需要對待測平晶進行折射率非均勻性測量并將其消除。

圖5 兩平晶三面互檢實驗的測量波面Fig.5 Measured wavefront of two-flat crystal three-sided mutual test

在ZYGO 干涉儀上采用絕對測量法[17]對折射率非均勻性進行測量，并在測量過程中應盡量保持平晶Ⅱ的位置姿態(tài)與絕對檢驗實驗中一致，減小位置誤差對測量結果的影響。圖6為計算得到的折射率非均勻性引入的波面誤差，PV值為0.051λ，RMS值為0.005 4λ，平晶Ⅱ的厚度d為30 mm，折射率非均勻性引入的波差是光程差信息，折射率非均勻性的標準評價參數(shù)

圖6 Ф150 mm 平晶Ⅱ的折射率非均勻性波差分布Fig.6 Heterogeneity wave-aberration distribution of refractive index of Ф150 mm flat-crystal Ⅱ

將測試平晶的折射率非均勻性波差扣除后，利用基于N次圖像旋轉法的兩平晶互檢程序進行計算，得到的絕對面形分布如圖7所示。

圖7 N次圖像旋轉法恢復的的絕對面形分布圖Fig.7 Absolute surface shape distribution recovered by Nposition image rotation method

為了驗證實驗結果的準確性，提取平晶Ⅱ前表面B水平和垂直方向2條直徑上的絕對面形，與傳統(tǒng)三平晶互檢法得到的2條輪廓線上的絕對面形分布進行對比。如圖8所示，N次圖像旋轉法的正交直徑上的輪廓分布與傳統(tǒng)三平晶法結果吻合良好，輪廓的起伏走向基本一致,如表3所示，PV值偏差低于2.3 nm，RMS值偏差小于0.5 nm，證明了N次圖像旋轉法的兩平晶三面互檢方法的可靠性。

圖8 Ф150 mm 平晶水平垂直方向輪廓線上的絕對面形對比Fig.8 Comparison of absolute surface shape on horizontal and vertical profiles of Ф150 mm flat-crystal

表3 絕對檢驗恢復的Ф150 mm 平晶水平垂直輪廓線數(shù)據(jù)對比（單位：nm）Table3 Comparison of horizontal and vertical profiles data of Ф150 mm flat-crystal

4 討論

4.1 旋轉誤差

實驗過程中被測平晶進行機械旋轉時，會存在一定的旋轉角度誤差，影響旋轉角度的準確性。在理論旋轉角度63°上疊加額外的角度偏差作為實際旋轉角度，進行數(shù)值模擬分析，以實際角度下的殘差波面相對于理論角度下殘差波面的PV值和RMS值偏差作為平晶旋轉角度誤差對測量結果影響的評價指標。如圖9所示，由于存在邊緣旋轉插值誤差，PV值變化不大，但隨著旋轉角度偏差的增加，RMS值的偏差逐漸增大。當角度偏差達到1°，面形誤差的RMS值低于0.7 nm。因此旋轉角度偏差并非該兩平晶絕對檢驗算法的主要誤差源，在實驗過程中將旋轉架的機械精度控制在0.3°以內(nèi)，殘差波面的RMS值偏差低于0.2 nm，可以忽略旋轉角度誤差的影響。

圖9 旋轉角度偏差和面形精度誤差的關系Fig.9 Relationship between rotation angle deviation and surface shape accuracy error

4.2 像素錯位誤差

如圖10所示，當待測平晶具有一定楔角時，測量過程中的光線發(fā)生偏折，在測量平晶折射率非均勻性時，數(shù)據(jù)存在一定的像素錯位。偏折距離d可近似表示為d≈L(n?1)β，其中L為待測平晶后表面到反射平晶的距離，n為待測平晶的折射率，β為待測平晶的楔角。實驗中150 mm 口徑的待測平晶的楔角為15′，根據(jù)干涉圖像素量換算后，偏折距離應小于1個像素，像素分辨率約為0.323 mm/pixel，則控制L小于148 mm 即可。因此在對待測平晶進行折射率非均勻性測量時，只要控制待測平晶與反射平晶的距離，像素錯位不會對測量結果造成影響。

圖10 折射率非均勻性測量過程中光線偏折示意圖Fig.10 Schematic diagram of deflection of light ray during measuring refractive index heterogeneity

4.3 平晶折射率非均勻性誤差

在兩平晶三面互檢實驗中，待測平晶折射率非均勻性波差與待測波面的旋轉不變項的求解有關，將折射率非均勻性波差的旋轉不變分量記作δr(x,y)，待測波面的旋轉不變項可以表示為

因此折射率非均勻性引入的算法誤差為δr(x,y)/2n，以150 mm口徑平晶為例，折射率非均勻性引入的波差的旋轉不變項的PV值為8.59 nm，引入算法誤差的PV值為2.86 nm，通過數(shù)值仿真分析平晶折射率非均勻性誤差對算法的影響。

仿真波面為150 mm 平晶實驗表面數(shù)據(jù)作為原始波面數(shù)據(jù)，PV值為32.45 nm，RMS值為3.41 nm，設平晶厚度為30 mm，光學平晶折射率非均勻性的標準評價參數(shù) (?n)max=1.08×10?6。將原始波面數(shù)據(jù)進行翻轉、旋轉和疊加運算后得到4次測量結果。不考慮折射率非均勻性誤差時，直接對測量數(shù)據(jù)進行求解，得到的殘差波面如圖11（a）所示。表4給出了PV值和RMS值；考慮平晶折射率非均勻性誤差時，將折射率非均勻性引入的波差扣除后，得到的計算波面和殘差波面如圖11（b）所示，表5給出了PV值和RMS值；圖11（c）為兩者殘差波面的差值，即折射率非均勻性引入的算法誤差，其PV值為2.67 nm，RMS值為0.52 nm，與理論誤差 δr(x,y)/2n相符。

圖11 兩平晶三面互檢仿真中有無折射率非均勻性誤差時的殘差波面Fig.11 Residual wavefront with or without refractive index heterogeneity error

表4 不考慮折射率非均勻性誤差時仿真過程中的各波面數(shù)據(jù)（單位：nm）Table4 Wavefront data without refractive index heterogeneity error

表5 考慮折射率非均勻性誤差時仿真過程中的各波面數(shù)據(jù)（單位：nm）Table5 Wavefront data with refractive index heterogeneity error

當測試平晶的折射率非均勻性的標準評價參數(shù)(?n)max<1×10?6時，引入的算法誤差的PV值小于2.67 nm，當對折射率非均勻性引入的波差進行測量并扣除后，殘差波面的PV值由3.36 nm 降低至1.86 nm，RMS值由0.54 nm 降低到0.13 nm，能有效提高算法求解的精度。

5 結論

基于N次圖像旋轉法的兩平晶三面互檢方法通過4次實驗測量，在計算機內(nèi)對波面進行N次虛擬旋轉，求解得到被測光學平晶的絕對面形分布，滿足中頻波面的檢測需求。本文結果表明試件旋轉角度取63°，虛擬旋轉次數(shù)N取40次，在保證求解效率的同時，算法精度達到最高。150 mm口徑平晶的實驗結果和傳統(tǒng)三平晶互檢法結果吻合，RMS值偏差小于0.5 nm。對實驗誤差源進行分析，結果表明當平晶旋轉角度偏差控制在0.3°以內(nèi)，RMS值偏差低于0.2 nm。當平晶折射率非均勻性標準評價參數(shù) (?n)max<1×10?6時，折射率非均勻性引入的算法誤差的PV值小于2.7 nm。